2.3 Resumo
3.1.1 Takagi-Sugeno Evolutivo
Os sistemas nebulosos baseado em regras (FRB, Fuzzy Rule-Based) chamados de Takagi- Sugeno (TS), s˜ao sistemas nebulosos onde os antecedentes das regras nebulosas s˜ao termos lingu´ısticos e os consequentes s˜ao fun¸c˜oes das vari´aveis dos antecedentes (Takagi e Sugeno; 1985). O modelo Takagi-Sugeno evolutivo (eTS, evolving Takagi-Sugeno) prop˜oe uma atualiza- ¸c˜ao do sistema de forma recursiva. Proposto por Angelov (2002), o modelo eTS determina os antecedentes das regras por um processo de agrupamento n˜ao supervisionado. A estrutura do modelo ´e flex´ıvel, ou seja, a cada novo dado de entrada deve-se decidir como a base de regras ser´a atualizada, ajustando o n´umero de regras e os parˆametros dos antecedentes (Angelov; 2002).
O modelos eTS ´e formado por um conjunto de regras nebulosas do tipo se-ent˜ao, semelhante ao modelo TS, da seguinte forma
Ri : SE xt1 ´e Ai1 E . . . E x t n ´e Ain ENT˜AO y t i = ai0 + ai1x t 1+ · · · + ainx t n,
onde Ri´e a i-´esima regra nebulosa para i = 1, . . . , Lt, Lt´e o n´umero de regras, xt = [xt1, . . . , xtn]T
∈ <n´e o dado de entrada, A
ij ´e a fun¸c˜ao de pertinˆencia associada `a j-´esima vari´avel de entrada
da i-´esima regra nebulosa, yt i ∈ <L
t
´
e a sa´ıda linear do consequente da i-´esima regra e aij s˜ao
os parˆametros do modelo linear da regra i e t ´e o n´umero da itera¸c˜ao.
Cada regra descreve comportamentos locais do conjunto de dados de entrada, aproximando esses comportamentos por modelos lineares. O sistema n˜ao-linear ´e formado pela uni˜ao dos modelos lineares que fazem parte dos consequentes das regras (Angelov e Filev; 2004). O grau de ativa¸c˜ao de cada regra pondera a participa¸c˜ao que o modelo linear local ter´a na sa´ıda total. Os antecedentes das regras nebulosas s˜ao definidos por fun¸c˜oes de pertinˆencia Gaussianas da seguinte forma (Angelov e Filev; 2004)
3.1. Sistemas Nebulosos Evolutivos 19 µij(x t j) = exp − 4 σ2 ij ||xt j − ˇxij|| 2 ! , (3.1) onde µij(x t
j) ´e o grau de pertinˆencia do j-´esima componente do dado de entrada, xt, em Aij, ˇxij
´
e a j-´esima componente do centro ou ponto focal do grupo i, ˇxi, e σij ´e a dispers˜ao da fun¸c˜ao
de pertinˆencia Aij e define a zona de influˆencia do modelo presente na regra i e por fim || · ||
define a distˆancia Euclidiana.
O grau de ativa¸c˜ao da regra nebulosa i ´e definido pela conjun¸c˜ao dos graus de pertinˆencia do dado de entrada nos conjuntos nebulosos dos antecedentes desta regra, µij(x
t j), como segue τi(xt) = n T j=1µij(x t) = n Y j=1 µij(x t) = µ i1(x t 1) × · · · × µin(x t n), i = 1, . . . , L t. (3.2)
A sa´ıda do modelo ´e definida como a m´edia ponderada da sa´ıda de cada regra, como
y = Lt X i=1 λiyi, (3.3) onde λi = τi(xt) . PLt
j=1τj(xt) ´e o grau de ativa¸c˜ao normalizado de cada regra i.
Para atualizar a base de regras, adicionando ou modificando regras existentes, o modelo utiliza-se de um algoritmo de agrupamento recursivo n˜ao supervisionado. O agrupamento ´e realizado no espa¸co de entrada-sa´ıda, z = [xT, yT]T, e a estrutura do modelo ´e atualizada a cada itera¸c˜ao. A base do algoritmo de agrupamento est´a na ideia de representatividade de cada umas das novas entradas, calculada a partir de um potencial (Yager e Filev; 1994a).
A fun¸c˜ao potencial de um dado, zt, depende de todos os outros dados, atrav´es de uma medida de proximidade como (Angelov e Filev; 2004)
P (zt) = 1 t − 1 t−1 X k=1 exp(−r||zt− zk||2), (3.4)
onde r ´e uma constante positiva e t = 2, 3, . . . o ´ındice dos dados j´a processadas.
A fun¸c˜ao potencial busca encontrar poss´ıveis dados que definam centro de regi˜oes com con- centra¸c˜ao de dados. A Figura 3.1 apresenta a ideia da fun¸c˜ao potencial, onde o potencial do dado B, PB, ´e maior que o potencial de A, PA. Regi˜oes com maior concentra¸c˜ao de dados apresen-
tar˜ao maiores valores de potencial para cada dado. Ou seja, a fun¸c˜ao potencial ´e inversamente proporcional `as distˆancias entre os dados.
20 Cap´ıtulo 3. Sistemas Nebulosos Evolutivos e Aprendizado Extremo
Figura 3.1: Demonstra¸c˜ao do potencial (Lemos; 2011).
como segue Pt(zt) = t − 1 (t − 1)(ϑt+ 1) + γt− 2υt, (3.5) onde ϑt = Pn+m j=1 (z t j)2, γt = Pt−1 k=1 Pn+m j=1 (z k j)2, υt = Pn+m j=1 z t jβjt sendo βjt = Pt−1 k=1z k j, j =
1, . . . , n + m, n e m s˜ao as dimens˜oes do espa¸co de entrada e de sa´ıda, respectivamente.
Os parˆametros ϑt e υt s˜ao calculados a partir de zt, os parˆametros βjt e γt podem ser calculados recursivamente, como
γt= γt−1+
n+m
X
j=1
(zjt−1)2 e βjt = βt−1+ zjt−1. (3.6)
O potencial dos centros dos agrupamentos existentes tamb´em ´e calculado de maneira recur- siva. Como os potenciais s˜ao calculados utilizando todos os dados dispon´ıveis at´e o instante t, a cada chegada de um novo dado, os potenciais dos centros tamb´em mudam. Os potenciais dos grupos s˜ao atualizados de acordo com (Angelov e Filev; 2004)
Pt(ˇzi) = (t − 1)Pt−1(ˇz i) t − 2 + Pt−1(ˇz i) · h 1 +Pn+m j=1 (d t(t−1) j )2 i , (3.7)
onde ˇzi´e o centro do grupo i, i = 1, . . . , Lte d t(t−1)
3.1. Sistemas Nebulosos Evolutivos 21
Para a evolu¸c˜ao da base de regras, compara-se o valor do potencial do novo dado e dos potenciais dos centros de grupo atualizados. Caso o potencial do novo dado seja maior que o potencial de todos os centros de grupo atualizados, o centro de um grupo ser´a atualizado, ou um novo grupo ser´a criado. Se o novo dado est´a pr´oximo o suficiente, segundo a distˆancia Euclidiana, de um centro de grupo existente, o novo dado assumir´a o centro do grupo. Os limiares s˜ao definidos por Angelov e Filev (2004). Caso contr´ario, o novo dado ir´a originar um novo grupo e ser´a centro desse grupo.
N˜ao satisfazendo nenhuma condi¸c˜ao, o novo dado ser´a utilizado para atualizar os parˆame- tros do consequente da regra relacionada ao grupo com menor distˆancia Euclidiana ao novo dado. Essa atualiza¸c˜ao ´e realizada utilizando o algoritmo recursivo de m´ınimos quadrados ou o algoritmo recursivo de m´ınimos quadrados ponderado (Ljung; 1999; Young; 1984). O Algoritmo 3.1 apresenta o procedimento de atualiza¸c˜ao da estrutura do modelo eTS (Lemos; 2011). Algoritmo 3.1 Algoritmo de agrupamento do eTS
ler o primeiro dado
inicializar o primeiro grupo com centro no primeiro dado while existirem entradas do
ler o novo dado
calcular o potencial, P (zt), do novo dado segundo (3.5)
for i = 1, . . . , Lt do
atualizar o potencial do centro ˇzi, P (ˇzi), segundo (3.7)
end for
if P (zt) > P (ˇz
i) then
if zt ´e pr´oximo o suficiente do centro de algum grupo i then zt substitui ˇz
i como centro do grupo i
else
criar um novo grupo com centro zt end if
else
atualizar os parˆametros do consequente da regra com centro de grupo com menor dis- tˆancia Euclidiana.
end if end while