As tarefas que serão sugeridas para essa área da matemática necessitam de visualiza- ção e compreensão geométrica para serem solucionadas, assim, o GeoGebra configura-se como um complemento de auxílio na resolução das mesmas, de modo que os alunos possam alcançar os objetivos de cada proposta.
Para trabalhar Análise Combinatória com ênfase em Geometria faz-se necessário ter co- nhecimento das propriedades, axiomas e definições de maneira clara para assim solucionar determinadas tarefas. Isso faz do software um grande aliado nessa ação.
5.2.1 Tarefa 07: Encontro no Parque
Um parque de uma cidade é formado por 15 blocos de jardins dispostos como na figura a seguir:
Nesse parque, um jovem sai do ponto R até o ponto S, seguindo sempre da esquerda (E) para a direita (D) e de baixo (B) para cima (C), pelo caminho mais curto, a fim de encontrar-se com a sua namorada. Diante disso, quantos caminhos diferentes ele poderá seguir?
Para essa tarefa, temos como objetivos:
• Relacionar a movimentação do personagem com a localização de pontos no plano car- tesiano a fim de auxiliar a compreensão do caso;
• Aplicar o conceito de permutação para calcular o número de possibilidades de locomoção do indivíduo;
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• Elaborar uma construção que possibilite aos estudantes uma visualização do aconteci- mento.
Diante desse contexto, o software traz a possibilidade de construção de um mecanismo dinâmico que auxilia a visualização dos possíveis caminhos que podem ser tomados pelo rapaz. Ao considerar as duas direções de locomoção do personagem (da esquerda para a direita, de baixo para cima), é possível determinar diversos caminhos que ele pode seguir, e após isso, determinar o número total de caminhos possíveis.
Para além disso, utilizar os conceitos de localização de pontos no Plano Cartesiano se configura como uma ferramenta de auxílio na compreensão do que está sendo solicitado pela tarefa. Para tal, cria-se inicialmente uma representação por meio de pontos no plano para as "esquinas" dos blocos de jardins, e com isso ilustrar os caminhos a serem tomados, e por fim calcular a totalidade deles. Desse modo, o processo de compreensão por parte dos alunos torna-se mais dinâmico, possibilitando um ambiente familiar para eles.
5.2.2 Tarefa 08: Logótipo de uma Empresa
Num concurso de uma empresa, os participantes deveriam criar um logótipo para a sua identidade comercial. Para isso, deveriam utilizar um círculo dividido em quatro setores circu- lares, e combinar cores interessantes, dentre sete que estavam à disposição dos candidatos.
Para concorrer, o projeto deve respeitar algumas condições como: • Uma única cor deve ser usada em cada setor;
• Todos os setores devem estar pintados;
• Setores adjacentes não podem ter a mesma cor;
• O círculo deve ficar pintado com duas, três ou quatro cores. De quantas maneiras diferentes esse círculo pode ficar pintado?
Para essa tarefa, os objetivos são:
• Utilizar o GeoGebra para visualizar algumas das possíveis soluções; • Utilizar os conhecimentos de arranjos simples para solucionar a tarefa.
Situações como essa necessitam de uma reflexão inicial a respeito da importância da or- dem dos elementos, a fim de conhecer qual dos conceitos se aplica na resolução. Nesse caso, como a ordem das cores a serem utilizadas no círculo tem importância, trata-se de um arranjo simples.
Para auxiliar a perceção dos alunos, usa-se o software para ilustrar alguns casos e, em seguida, aplicar as expressões necessárias ao cálculo do número total de possibilidades.
É importante discutir com os alunos sobre as condições exigidas no concurso, relativa- mente ao posicionamento e à quantidade de cores que podem ser utilizadas, uma vez que, diante de tais condições, usar duas, três ou quatro cores dentre as sete disponibilizadas nos darão um número de possibilidades diferente em cada caso, sendo necessário somá-los para obter o total de maneiras.
5.2.3 Tarefa 09: Diagonais de um Polígono Convexo
Seja dado um polígono convexo. Sabendo que uma diagonal de um polígono é um seg- mento cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono, quantas diagonais existem num polígono de n lados?
Para essa tarefa os objetivos a serem alcançados são:
• Compreender geometricamente a situação para calcular o que foi solicitado;
• Compreender o conceito de combinação para chegar à equação necessária ao cálculo; • Utilizar o GeoGebra para amparar na visualização dos polígonos e calcular o número de
diagonais.
Pode-se aproveitar para relembrar as definições e conceitos sobre os polígonos convexos, regulares ou não, para que os alunos tenham mais familiaridade ao trabalhar com o software. Discutir a respeito de casos mais simples (por exemplo: n = 3, n = 4 ou n = 5) para que seja possível inferir como calcular os demais casos sem a necessidade de construir cada um dos polígonos desejados, e assim encontrar a solução para o caso de n lados.
Durante a discussão dos casos mais elementares, os alunos devem perceber que o número de segmentos cujos vértices são os vértices do polígono é dado por uma combinação dos n lados tomados de 2 a 2, ou seja,
C2n= n! 2!(n − 2)! = n(n − 1) (n − 2)! 2! (n − 2)! = n(n − 1) 2 ,
contudo, o professor deve chamar a atenção dos alunos para a situação de que os lados do polígono também estão nessa contagem, portanto deve-se retirar esse número n de lados da
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equação, o que resulta em
d = C2n− n = n! 2!(n − 2)! − n = n(n − 1) 2 − n = n(n − 3) 2 ,
e assim pode-se obter o número total de diagonais de um polígono convexo com qualquer número de lados.