Exemplo 5.12. A tabela registra o fluxo de caixa de três
projetos, Projeto A, Projeto B e Projeto C. Calcule o saldo do projeto considerando a TIR de cada projeto, e verifique a
existência de uma única TIR real e positiva com a regra de Norstrom.
Solução. O fluxo de caixa do Projeto A é do tipo simples, pois há uma única mudança de sinal. Pela regra de Norstrom, o
Projeto A tem uma única TIR positiva, como se deduz da análise dos resultados da última coluna da tabela seguinte. A TIR do Projeto A é 16,5086% ao ano, resultado obtido com
a calculadora financeira. A terceira coluna dessa tabela mostra que o saldo do projeto anual calculado com a TIR é sempre negativo, exceto o último ano que é nulo. O saldo do projeto no final do primeiro ano foi obtido com
e os restantes de forma equivalente .
$8.650,86 $10.000 (1 165086) $3.000
O fluxo de caixa do Projeto B não é do tipo simples, pois há três mudanças de sinal.
Entretanto, pela regra de Norstrom o Projeto B tem uma única TIR positiva, resultados da última coluna da tabela seguinte. A TIR do Projeto B é 14,7313% ao ano, resultado obtido com
a calculadora financeira.
A terceira coluna dessa tabela mostra que o saldo do projeto anual calculado com a TIR é sempre negativo, exceto o último que é nulo.
O fluxo de caixa do Projeto C não é do tipo simples, pois há três mudanças de sinal e, pela regra de Norstrom, o Projeto C não tem uma única TIR positiva, resultados da terceira coluna da tabela seguinte.
As TIR’s do Projeto C são 5%, 20% e 40% ao ano, resultado obtido com a calculadora financeira.
As últimas três colunas da tabela mostram que o saldo do projeto anual calculado com cada uma das três TIR nem sempre é negativo, porém, o último é sempre nulo.
Analisemos os resultados dos três projetos do Exemplo 5.12.
O fluxo de caixa do Projeto A é do tipo simples, tem uma
única TIR e é denominado projeto puro.
O fluxo de caixa do Projeto B é do tipo não-simples, tem
uma única TIR e também é denominado projeto puro.
O fluxo de caixa do Projeto C é do tipo não-simples, tem
três TIR’s e é denominado projeto misto.
De outra maneira, tanto o Projeto A como o Projeto B é um projeto puro, pois seu fluxo de caixa tem uma única TIR e o saldo do projeto calculado com sua TIR é sempre negativo, exceto o último período que é nulo.
O Projeto C é um projeto misto, pois seu fluxo de caixa tem mais de uma TIR e o saldo do projeto calculado com sua TIR nem sempre é negativo ou nulo, exceto o último período que é nulo.
O projeto simples é sempre puro, e o projeto não-simples com uma única TIR também é puro, porém, com mais de uma TIR é um projeto misto.
Dessa constatação, deduz-se que o projeto simples é sempre um projeto puro, entretanto, um projeto puro nem sempre é um projeto simples.
O significado de puro se refere a que o custo inicial do projeto é recuperado parcialmente durante o prazo de análise do
projeto, pelo que o saldo do projeto é sempre negativo.
A qualificação de misto identifica que em alguns períodos do prazo de análise o saldo do projeto será positivo e em outros o saldo do projeto será negativo.
O saldo do projeto positivo significa que nesse período o
projeto devolve para a empresa o custo inicial, remunerado e com lucro extra.
Assim sendo, a empresa tomará emprestado esse saldo do
Porém, no período em que o saldo do projeto é negativo, a empresa aportará o capital necessário que deverá ser
remunerado internamente pelo projeto.
Neste momento se faz necessário responder duas perguntas:
Sendo o saldo do projeto positivo, qual a taxa de juro que
remunera o capital fornecido pelo projeto para financiar novos projetos?
E se o saldo do projeto é negativo, qual a taxa de juro que
remunera o capital que permanecerá internamente investido no projeto?
Analisemos os dois lados da mesma situação. Pelo VPL, durante o prazo de análise, todos os retornos gerados pelo projeto devem ser reinvestidos com a taxa requerida k.
Ao mesmo tempo, o custo inicial que permanece internamente investido é remunerado com a TIR durante o prazo de análise do projeto. Essas propriedades guiam o procedimento de
remuneração do projeto misto.
Sempre que o saldo do projeto for positivo, a remuneração
do capital que financiará outros projetos será realizada com certa taxa requerida k.
Entretanto, sempre que o saldo do projeto for negativo, o
próprio projeto se encarregará de remunerar o capital
internamente investido com a taxa interna de juro TIJ que é a incógnita da avaliação.
Definidas as características das duas taxas de remuneração do projeto misto falta definir como determinar a TIJ
desconhecida, pois a taxa requerida k é conhecida.
Logo, o objetivo é determinar a TIJ única que, combinada com a taxa requerida k, zera o saldo do projeto no final do prazo de análise como se mostra nos exemplos.
Exemplo 5.13. Calcule a taxa interna de juro TIJ do projeto cujo fluxo de caixa está registrado na tabela considerando a taxa requerida de 10% ao ano.
Solução. As duas taxas internas de juro do projeto foram determinadas no Exemplo 2.36 do Capítulo 2. O saldo do projeto no ano zero será remunerado com a TIJ ainda
desconhecida, pois seu valor é negativo. Dessa maneira, o saldo do projeto no final do primeiro ano SdoPt=1 é obtido
com: 1 1 $1.000 (1 ) $2.550 $1.000 $1.550 t t SdoP TIJ SdoP TIJ
O saldo do projeto no final do primeiro ano é positivo e será remunerado com a taxa requerida k=10%. Dessa maneira, o saldo do projeto no final do segundo ano SdoPt=2 é obtido com:
Para determinar o valor da TIJ temos que estabelecer a condição do saldo do projeto no final do segundo ano como igual a zero ou SdoPt=2=0:
2 1 2 2 (1 ) $1.610 $1.000 $1.550 (1 0,10) $1.610 $1.100 $95 t t t t SdoP SdoP k SdoP TIJ SdoP TIJ 2 $1.100 $1.100 $95 0 0,0864 $95 t Exemplo 5.14. Calcule a taxa interna de juro TIJ do Projeto C do Exemplo 5.12 deste capítulo considerando a taxa requerida de 15% ao ano.
Solução. O saldo do projeto no final do primeiro ano SdoPt=1 é obtido com: 1 1 $10.000 (1 ) $36.500 $10.000 $26.500 t t SdoP TIJ SdoP TIJ
O saldo do projeto no final do segundo ano SdoPt=2 é obtido com:
O saldo do projeto no final do terceiro ano SdoPt=3 é obtido com:
Estabelecendo a condição SdoPt=3=0 se tem:
2 1 2 2 (1 ) $44.100 $10.000 $26.500 (1 0,15) $44.100 $11.500 $13.625 t t t t SdoP SdoP k SdoP TIJ SdoP TIJ 3 2 3 2 3 (1 ) $17.640 $11.500 $13.625 (1 ) $17.640 $11.500 $25.125 $4.015 t t t t
SdoP SdoP TIJ
SdoP TIJ TIJ
SdoP TIJ TIJ
2
Resolvendo essa equação se tem as raízes TIJ1=0,1496 e TIJ2=2,3343 :
A única solução financeira é TIJ1=14,96% ao ano.
O projeto não deve ser aceito, pois TIJ é menor do que a taxa requerida de 15% ao ano: 2 1 2 25.125 25.125 4 11.500 4.015 2 11.500 25.125 28.564,94 0,14956 2,3343 23.000 TJI
A determinação da TIJ do projeto é facilitada com o comando Atingir Meta do Excel, sobre todo nos projetos com prazo de análise maior do que três períodos.
Na planilha Exemplos da pasta Capítulo 5 incluída no CD- Rom que acompanha o livro é calculada a TIJ do projeto do Exemplo 5.14 com ajuda do comando Atingir Meta,
procedimento que pode ser estendido para projetos com fluxo de caixa maiores.
Também, a TIJ pode ser obtida no modelo Taxas Múltiplas da pasta Capítulo 5 incluído no CD-Rom que acompanha o livro, e apresentado no Apêndice 5.4 deste capítulo.
Nesse modelo também é obtida a TIRI com reinvestimento de 100% dos retornos com a taxa requerida.
O método de decisão para aceitar o projeto com a TIJ é coerente com o método da TIR.
O projeto simples é também um projeto puro e há uma única TIR igual à taxa interna de juro TIJ.
No projeto não-simples e puro também há uma única TIR igual a TIJ.
No projeto misto e para uma determinada taxa requerida k há uma única taxa interna de juro TIJ que anula o saldo do
projeto no final do prazo de análise.
Dessa maneira, para decidir se o projeto deve ser aceito, a TIJ do projeto é comparada com o valor de referência da taxa
requerida k, de forma que:
Se TIJ > k , o projeto deve ser aceito.
Se TIJ < k, o projeto não deve ser aceito.