De acordo com [1], o Teorema da Aplicação Aberta e o Te- orema do Gráfico Fechado foram publicados por Stefan Banach em 1932 no livro Théorie des Opérations Linéaires. Para finalizar o es- tudo, mostraremos que os teoremas citados anteriormente são equi- valentes.
Teorema 5.6. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma transformação linear limitada. São equivalentes as condições:
(i) T é sobrejetiva;
(ii) Existe δ > 0 tal que BF(0, δ) ⊂T (BE(0, 1)); (iii) Existe η > 0 tal que BF(0, η) ⊂ T (BE(0, 1)) ;
(iv) T é aberta.
Demonstração. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma transformação linear limitada.
Vamos primeiramente mostrar que (i) implica em (ii). De fato, suponhamos que T é sobrejetiva. Assim, temos que
F = T (E) = T ∞ [ n=1 BE(0, n) ! = ∞ [ n=1 T (BE(0, n)) = ∞ [ n=1 T (BE(0, n))
Como F é um espaço de Banach, pelo Teorema de Baire (5.2), temos que F é um espaço de Baire. Daí, pela Proposição5.1é de segunda categoria em si mesmo. Logo, existe n ∈ N tal que T (BE(0, n)) tem interior não-vazio, ou seja, existem b ∈ T (BE(0, n)) e r > 0 tal que BF(b, r) ⊂ T (BE(0, n)). Como T (BE(0, n)) é simétrico, temos também que BF(−b, r) ⊂ T (BE(0, n)). Notemos que
De fato, seja y ∈ BF(0, r), então
b + y ∈ BF(b, r) ⊂T (BE(0, n)) e
−b + y ∈ BF(−b, r) ⊂ T (BE(0, n)) Como T (BE(0, n)) é convexo, segue que
y =1
2(b + y) + 1
2(−b + y) ∈T (BE(0, n)), ou seja, concluímos (5.5). De (5.5), obtemos
BF 0, r n ⊂ T (BE(0, 1)).
Desta forma, fazendo δ := nr, temos a afirmação (ii), como quería- mos.
Vamos agora mostrar que (ii) implica em (iii). Suponhamos então que existe δ > 0 tal que BF(0, δ) ⊂ T (BE(0, 1)). Consequen- temente, para cada n ∈N, temos
BF 0, δ 2n ⊂ T BE(0, 1 2n) . Afirmamos que BF 0, δ 22 ⊂ T (BE(0, 1)) (5.6) De fato, se y ∈ BF 0,2δ2 ⊂ T BE(0, 1 22) , então existe x1 ∈ B 0,212 tal que y − T x1∈ BF 0, δ 23 ⊂ T BE(0, 1 23) . Consequentemente, existe x2∈ B 0,213 tal que y − T x1− T x2 ∈ BF 0, δ 24 ⊂ T BE(0, 1 24) .
Procedendo por indução, obtemos uma sequência (xn) em E tal que kxnkE < 1
e y − n X j=1 T xj F < 1 2n+2, (5.7)
para todo n ∈N. Notemos que, para cada k ∈ N, temos k X n=1 kxnkE < k X n=1 1 2 n+1 ≤ +∞ X n=1 1 2 n+1 = 1 2. (5.8) Portanto, a série +∞ X n=1
xné absolutamente convergente. Sendo E espa-
ço de Banach, pela Proposição3.4, temos que
∞ X n=1 xné convergente. Fazendo x := ∞ X n=1 xn, temos de (5.8), que kxkE = +∞ X n=1 xn E ≤ +∞ X n=1 kxnkE ≤ 1 2 < 1, ou seja, x ∈ BE(0, 1). Por outro lado, de (5.7), temos
ky − T xkF = y − +∞ X j=1 T xj F = lim n→+∞ y − n X j=1 T xj F ≤ lim n→+∞ δ 2n+2 = 0
e consequentemente, y = T x ∈ T (BE(0, 1)), concluímos assim (5.6). Desta forma, fazendo η = 2δ2 em (5.6), temos a afirmação (iii), como queríamos.
Vamos mostrar que (iii) implica em (iv). Suponhamos en- tão que existe η > 0 tal que BF(0, η) ⊂ T (BE(0, 1)) e seja U um conjunto aberto não-vazio em E. Vamos mostrar que T (U ) é um con- junto aberto de F . Se b ∈ T (U ), então existe a ∈ U tal que b = T a.
Sendo U aberto, temos que existe r > 0 tal que BE(a, r) ⊂ U . Daí, BF(b, rη) = b + rBF(0, η) ⊂ T a + rT (BE(0, 1)
= T (a + rBE(0, 1)) = T (BE(a, r)) ⊂ T (U ).
Logo, T (U ) é um conjunto aberto, e com isso concluímos, T é aberta. Vamos agora mostrar que (iv) implica em (i). Suponhamos por contrapositiva que T (E) ( F . Então, como T (E) é um subespa- ço de F segue, pela Proposição2.1, que T (E) não é um subconjunto aberto de F , o que contradiz o fato de que T é uma transformação aberta. Concluímos com isto que se T é uma transformação aberta,
então T é sobrejetiva.
Com relação ao Teorema 5.7, vale observar que as implica- ções (iii) ⇒ (iv) e (iv) ⇒ (i) são verdadeiras mesmo que E e F sejam espaços normados e T : E → F seja apenas uma transfor- mação linear. Além disso, a implicação (i) ⇒ (iv) é conhecida na literatura como o Teorema da Aplicação Aberta. Mais precisamente, temos o seguinte:
Teorema 5.7 (Teorema da Aplicação Aberta). Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma transformação linear limitada. Se T é sobrejetiva, então T é aberta.
Por meio do Teorema da Aplicação Aberta, podemos de- monstrar o seguinte resultado:
Teorema 5.8 (Teorema da Inversa Limitada). Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma transformação linear limitada. Se T é bijetiva, então T é um isomorfismo topológico.
Demonstração. Suponhamos que T : E → F é bijetiva. Em particu- lar, temos que é sobrejetiva e segue do Teorema da Aplicação Aberta (5.7), temos que T é aberta. Além disso, sendo T bijetiva, também,
Dado arbitrariamente o conjunto aberto U em E, temos que (T−1)−1(U ) = T (U ) é aberto em F . Pela Proposição A.7, temos então que T−1é contínua. Portanto, T é um isomorfismo topológico.
Proposição 5.9. Sejam E e F espaços normados. Se T : E → F uma aplicação contínua, então o gráfico
GT = {(x, y) ∈ E × F : y = T x} é fechado em E × F .
Demonstração. Suponhamos que T : E → F contínua e (xn, T (xn)) uma sequência em Gf que converge para (x, y) ∈ E × F . Pela Pro- posição A.3, temos que xn → x em E e T (xn) → y em F . Como T é contínua, temos que T (xn) → T (x). Pela unicidade do limite, y = T (x) e, assim, (x, y) ∈ Gf. Portanto, Gfé fechado em E×F. Para obtermos a recíproca da Proposição5.9 precisamos a- dicionar as hipóteses de que E e F são espaços de Banach e que T : E → F é uma transformação linear. Desta forma, teremos: Teorema 5.10 (Teorema do Gráfico Fechado). Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma transformação linear. Se o gráfico
GT = {(x, y) ∈ E × F : y = T y} é fechado em E × F , então T é contínua.
Demonstração. Suponhamos que
GT := {(x, y) ∈ E × F : y = T y}
é fechado em E × F . Observemos que, pela ProposiçãoA.4, E × F é um espaço de Banach. Sendo GT um subespaço fechado de E × F e pela Proposição3.1, então GT é um espaço de Banach. Consideremos as projeções canônicas
π1 : E × F → E
e
π2 : E × F → F
(x, y) 7→ π2(x, y) = y.
Vejamos que π1 ∈ L (E × F, E). De fato, sejam arbitraria-
mente (x1, y1), (x2, y2) ∈ E × F e α ∈R, temos que
π1(α(x1, y1) + (x2, y2)) = π1(αx1+ x2, αy1+ y2)
= αx1+ x2
= απ1(x1, y1) + π1(x2, y2).
Logo, π1 é linear. Além disso, para todo x ∈ E, temos
kπ1(x, T x)kE = kxkE ≤ kxkE+ kykF = k(x, y)kE×F,
ou seja, π1 é limitada. De maneira análoga, é possível mostrar que
π2 ∈L (E, F ).
Agora, seja σ1 = π1|GT. Pela ProposiçãoA.6, temos σ1 ∈
L (GT, E). Além disso, temos que σ1 é bijetiva. Portanto, pelo Te-
orema da Inversa Limitada (Teorema 5.8), temos que σ1 é um iso-
morfismo topológico e, daí, a função σ1−1: E → GT
x 7→ σ−11 (x) = (x, T x)
é linear e limitada. Logo, T = π2◦ σ−11 é contínua.
Teorema 5.11. Os seguintes teoremas são equivalentes: (i) Teorema da Aplicação Aberta
(ii) Teorema da Inversa Limitada (iii) Teorema do Gráfico Fechado
Demonstração. O fato de que (i) implica em (ii) já foi demonstrado na demonstração do Teorema da Inversa Limitada (Teorema 5.8).
Além disso, o fato que (ii) implica em (iii) também já foi provado na demonstração do Teorema do Gráfico Fechado (Teorema5.10).
Vamos provar que (iii) implica em (i). Suponhamos que o Teorema do Gráfico Fechado seja verdadeiro e sejam E e F espaços de Banach e T : E → F uma transformação linear e limitada. Supo- nhamos que T seja sobrejetiva. Pelo Lema2.1, existe uma transfor- mação linear limitada injetiva ˜T : E/KerT → F tal que T = ˜T ◦ π em que π : E → E/KerT é a transformação quociente. Se T = ˜T ◦ π é sobrejetiva, temos que ˜T é sobrejetiva e, consequentemente, ˜T é bijetiva. Notemos que, pelo Teorema 3.6, E/KerT é um espaço de Banach e que ˜T−1: F → E/KerT é linear.
Vejamos que GT˜−1 :=
(y, [x]) ∈ F × E/KerT : [x] = T−1y
é fechado em F × (E/KerT ). De fato, se que (y, [x]) ∈GT˜−1, então
existe uma sequência (yn, [xn]) em GT˜−1 tal que (yn, [xn]) → (y, [x]) em F × (E/KerT ). Logo, pela Proposição A.3, yn → y em F e [xn] → [x] em E/KerT . Sendo ˜T é contínua e [xn] = ˜T−1yn, segue que
yn= ˜T [xn] → ˜T [x]
em F. Então, pela unicidade do limite, y = ˜T [x], ou seja, [x] = ˜
T−1y. Assim, (y, [x]) ∈ GT˜−1 e, portanto, GT˜−1 é fechado em F × (E/KerT ).
Pelo Teorema do Gráfico Fechado (Teorema 5.10), concluí- mos que ˜T−1 é contínua e, consequentemente, ˜T é aberta. Sendo π : E → E/KerT uma aplicação aberta, temos que T = ˜T ◦ π é uma aplicação aberta.
Nesse estudo, podemos solidificar e ressignificar os concei- tos estudados durante o curso de graduação. Além disso, estudamos conceitos e resultados não explorados em diversos cursos de gradua- ção e nos quais são vistos majoritariamente em cursos de mestrado e doutorado.
Este trabalho abre diversas possibilidades de estudos futu- ros. Primeiramente, é possível seguir estudando as várias versões do Teorema de Hahn-Banach, dentre elas para o espaço dos núme- ros complexos ou suas versões geométricas. Ainda, podemos estu- dar mais aplicações do Teorema de Hahn-Banach, do Teorema de Banach-Steinhaus, do Teorema da Aplicação Aberta e do Teorema do Gráfico Fechado, como por exemplo, nos espaços separáveis, no espaço normado dos polinômios, nas séries de Fourier, e outros. A- lém disso, é possível continuarmos os estudos na área da Análise Funcional se aprofundando na Teoria dos espaços de Banach ou a- bordando novos conceitos, como a Topologia Fraca, os Espaços de Hilbert e a Teoria Espectral.
[1] BOTELHO, G.; Pellegrino, D.; Teixeira, E. Fundamentos de Análise Funcional. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2015. (Coleção Textos Universitário).
[2] CAMPBELL, Paul J. The origin of “Zorn’s Lemma”. Historia Mathematica, [S.L.], v. 5, n. 1, p. 77-89, fev. 1978. Disponível em: http : / / dx . doi . org / 10 . 1016 / 0315 - 0860(78 ) 90136-2. Acessado em 31 out. 2020.
[3] CIESIELSKI, Krzysztof; MOSLEHIAN, MohammadS. Some Remarks on the History of Functional Analysis. Annals of Functional Analysis. 1, 2010, no. 1, 1–12. Disponível em: https://www.emis.de/journals/AFA/AFA-tex_v1_ n1_a1.pdf. Acessado em 31 out. 2020.
[4] KREYSZIG, Erwin. Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley Sons, 1978. (Wiley Classic Library).
[5] LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. 9. ed. Coleção matemá- tica universitária. Rio de Janeiro: Impa, 2016. 357 p.
[6] LIMA, Elon Lages. Análise Real. Vol. 1, 12. ed. Coleção matemática universitária. Rio de Janeiro: Impa, 2017. 198 p. [7] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. 5. ed. Projeto Eucli-
des. Rio de Janeiro: Impa, 2015. 299 p.
[8] MUJICA, Jorge. Notas de Análise Funcional I. Notas de aula, IMECC - UNICAMP, 2010.
[9] MUNKRES, James. Topology. 2. ed. Harlow: Pearson Edu- cation Limited, 2017.
[10] PIETSCH, Albrecht. History of Banach Spacesand Line- ar Operators. Boston: Birkhäuser, 2007.
Neste apêndice, abordaremos alguns resultados que são u- tilizados ao longo de todo o trabalho. Discutiremos duas famosas desigualdades, proposições da teoria dos espaços de Banach e outros resultados auxiliares.
Teorema A.1 (Desigualdade de Minkowski para somas). Seja 1 ≤ p < +∞ e sejam (x1, x2, . . . , xN), (y1, y2, . . . , yN) ∈RN. Então, N X j=1 |xj+ yj| p 1/p ≤ N X j=1 |xj| p 1/p + N X j=1 |yj| p 1/p .
Teorema A.2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz para so- mas). Seja 1 ≤ p < +∞ e sejam (x1, x2, . . . , xN), (y1, y2, . . . , yN) ∈ RN. Então, N X j=1 |xjyj| ≤ N X j=1 |xj| p 1/p + N X j=1 |yj| p 1/p .
Exemplo A.1. Sejam E e F espaços normados e k.kE×F : E ×F → R a função definida por
k(x, y)kE×F = kxkE+ kykF para (x, y) ∈ E × F . Temos que (E × F, k.kk(x,y)k
E×F) é um espaço
normado.
Proposição A.3. Sejam E e F espaços normados. Então xn→ x e yn→ y se, e somente se, (xn, yn) → (x, y).
Demonstração. Sejam E e F espaços normados. Suponhamos que xn → x e yn→ y. Logo, dado ε > 0 arbitrário, existem n1, n2 ∈ N
tal que se n ∈N, n > n1, então
kxn− xkE < ε 2 e para n > n2, então kyn− ykF < ε 2.
Façamos n0= max {n1, n2}. Assim, se n > n0, temos
k(xn, yn) − (x, y)kE×F = k(xn− x, yn− y)kE×F = kxn− xkE+ kyn− ykF < ε 2+ ε 2 = ε. Portanto, (xn, yn) → (x, y).
Agora, suponhamos que (xn, yn) → (x, y). Logo, dado dado ε > 0 arbitrário, existe n0∈ N tal que n ∈ N, n > n0, então
kxn− xkE+ kyn− ykF = k(xn, yn) − (x, y)kE×F < ε. Logo, para n > n0, temos
kxn− xkE < ε e kxn− xkF < ε.
Portanto, xn→ x e yn→ y.
Proposição A.4. Se E e F são espaços de Banach, então E × F é um espaço de Banach.
Demonstração. Seja (zn) uma sequência de Cauchy em E × F em que zn = (xn, yn). Dado ε > 0 arbitrário, então existe n0 ∈ N tal
que n, m ∈N, n, m > n0, então
kxn− xmkE+ kyn− ymkF = kzn− zmkE×F < ε.
Logo, (xn) e (yn) são sequência de Cauchy em E e F , respectiva- mente. Como E e F são espaços de Banach, (xn) e (yn) convergem em E e F , respectivamente. Pela Proposição A.1, temos que (zn) converge em E × F e, portanto, E × F é um espaço de Banach. Proposição A.5. Sejam E, F e G espaços normados. Se U : E → F e V : U (E) → G são aplicações abertas, então V ◦ U : E → G é uma aplicação aberta.
Demonstração. Sejam U : E → F e V : U (E) → G são aplicações abertas. Suponhamos X ⊂ E é um conjunto aberto. Por U ser uma
aplicação aberta, U (X) é um conjunto aberto de U (E). Agora, como V ser uma aplicação aberta, V (U (X)) = (V ◦ U )(X) é um conjunto aberto de G. Pela definição de aplicação aberta, temos que V ◦ U : E → G é uma aplicação aberta. Proposição A.6. Seja T ∈L (E, F ) e M ⊂ E subespaço. Então a restrição ˆT : M → F é linear e limitada.
Demonstração. Consideremos a função restrição ˆT : M → F . No- temos que ˆT é linear. De fato, dados arbitrariamente x1, x2 ∈ M e
α ∈ R, temos ˆ
T (αx1+ x2) = T (αx1+ x2) = αT x1+ T x2= α ˆT x1+ ˆT x2.
Observemos que ˆT é limitada. De fato, sendo T limitada, temos ˆ T x F = kT xkF ≤ kT kL (E,F )kxkE, para todo x ∈ M , concluindo nossa demonstração.
Proposição A.7. Sejam X e Y conjuntos e f : X → Y . As afir- mações seguintes são equivalentes:
(i) f é contínua;
(ii) Se A ⊂ Y aberto, então f−1(A) ⊂ X aberto; (iii) Se F ⊂ Y fechado, então f−1(F ) ⊂ X fechado.
Demonstração. Mostraremos primeiramente que (i) implica em (ii). Sejam A ⊂ Y aberto e a ∈ f−1(A). temos que f (a) ∈ A. Existe ε > 0 tal que B(f (a), ε) ⊂ A. Sendo f contínua, existe δ > 0 tal que
x ∈ X, kx − akX < δ ⇒ kf (x) − f (a)kY
Ou seja, se x ∈ B(a, δ), então f (x) ∈ B(f (a), ε) ⊂ A. Portanto, B(a, δ) ⊂ f−1(A).
Mostremos que (ii) implica em (i). Seja a ∈ X. Temos que f (a) ∈ Y . Dado arbitrariamente ε > 0, temos que B(f (a), ε) ⊂
Y é aberto. Portanto, f−1(B(f (a), ε)) ⊂ X é aberto. Notemos que a ∈ f−1(B(f (a), ε)); logo, existe δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ f−1(B(f (a), ε)), ou seja,
x ∈ X, kx − akX < δ ⇒ kf (x) − f (a)kY < ε. Portanto, f é contínua.
Por fim, mostraremos que (iii) implica em (i). Seja F ⊂ Y fechado. Então, Y ⊂ F é aberto. Logo, X \ f−1(F ) = f−1(Y \ F ) ⊂ X é aberto. Portanto, f−1(F ) é fechado.
COMPLEMENTARES
Apesar de não apresentarmos a demonstração da Proposição seguinte, temos que esse resultado é uma consequência do Lema de Zorn.
Proposição B.1. Seja E um espaço vetorial. Se {αλ}λ∈L é um subconjunto de E linearmente independente, então existe uma base B de E tal que {αλ}λ∈L⊂ B.
Proposição B.2. Dado E um espaço normado, E tem dimensão finita se, e somente se, cada funcional linear em E é contínuo. Demonstração. Vamos primeiramente mostrar que cada funcional linear φ : RN → R é contínua. De fato, seja {e1, . . . , eN} a base canônica deRN. Daí, |φ(x)| = N X j=1 λjφ(ej) ≤ N X j=1 |λj| |φ(ej)| ≤ N X j=1 |λj| 1/2 1/2 N X j=1 |φ(ej)| 1/2 1/2 = N X j=1 |φ(ej)| 1/2 1/2 kxkb,
para todo x =PNj=1λjej ∈ RN. Portanto, φ é contínua.
Suponhamos que E é um espaço normado de dimensão finita N . Então, existe um isomorfismo topológico T : RN → E. Dado um funcional linear ψ : E → R, temos que ψ ◦ T : RN → R é linear. Pelo que provamos anteriormente, temos que ψ ◦T é contínua. Desde que T : RN → E é um isomorfismo topológico, temos que T−1: E →RN é contínua. Portanto, (ψ ◦ T ) ◦ T−1= ψ é contínua.
Agora, suponhamos que E é um espaço normado de dimen- são infinita. Então, existe em E um conjunto enumerável {yk}∞k=1
linearmente independente e, daí, A0= {ek}
∞
k=1, com ek= kyyknk para
todo k ∈ N, é um conjunto enumerável linearmente independente tal que kekk = 1 para todo k ∈ N. Pela ProposiçãoB.1), temos que existe uma base {ei}i∈I de E tal que A0⊂ B. Agora, definimos
φ : E → R x = N X j=1 λjeij 7→ φ(x) = N X j=1 λjφ(eij) em que φ(ei) = ( k, se eij ∈ A0 0, se eij ∈ A/ 0 .
É imediato que φ está bem definida e é linear. Notemos agora que para todo k ∈N temos kekk = 1 e |φ(x)| = k. Consequentemente, o conjunto {|φ(x)| : x ∈ E, kxkE ≤ 1} não é limitado e, portanto, não é contínuo, o que é uma contradição.
Portanto se cada funcional linear em E é contínuo, então E
CONVERGÊNCIA FRACA
Nesse apêndice, estudaremos brevemente sobre o conceito de convergência Fraca.
Definição C.1. Seja (xn) uma sequência em um espaço normado E. Dizemos que (xn) converge fracamente para x ∈ E se lim
n→∞f (xn) = f (x), para todo f ∈ E0. Neste caso, escrevemos (xn) * x e x é chamado de limite fraco. Uma sequência que possui limite fraco é dita fracamente convergente.
Proposição C.1 (Unicidade do limite fraco). Seja (xn) uma sequência em um espaço normado E. Se (xn) converge fracamente para x, então o limite fraco é único.
Demonstração. Suponhamos que (xn) converge fracamente para x1 ∈
E e para x2∈ E simultaneamente. Então,
lim
n→∞f (xn) = f (x1) e n→∞limf (xn) = f (x2),
para todo f ∈ E0. Pela unicidade do limite de uma sequência de números reais, temos que f (x1) = f (x2), para todo f ∈ E0. Logo,
f (x1− x2) = 0, (C.1)
para todo f ∈ E0.
Afirmamos que x1 = x2. De fato, caso ao contrário, se x1=
x2, teríamos x − y 6= 0. Então, pela Proposição 4.4, teríamos a
existência de f ∈ E0 tal que kf kE0 = 1 e f (x − y) = kx − ykE6= 0, o que contradiz (C.1).
Proposição C.2. Seja (xn) uma sequência em um espaço normado E. Se (xn) converge fracamente para x, então (xn) é limitada.
Demonstração. Suponhamos que (xn) converge fracamente para x ∈ E. Isto significa que lim
n→∞f (xn) = f (x), para todo f ∈ e
0. Consequen-
temente, a sequência (f (xn) é limitada para cada f ∈ E0.
Considerando A := {xn: n ∈N}, temos que A é um sub- conjunto de E. Além disso, temos que f (A) = {f (xn) : n ∈N} é limitado emR, para cada f ∈ E0. Assim, pelo Corolário 5.4, temos que A é limitado em E, ou seja, (xn) é limitada. Proposição C.3. Seja (xn) uma sequência em um espaço normado E tal que dim E < +∞. Temos que (xn) converge para x ∈ E se, e somente se, (xn) converge fracamente para x ∈ E.
Demonstração. Suponhamos que (xn) converge para x ∈ E. Então, para cada f ∈ E0,
lim
n→∞f (xn) = f (x),
já que f é contínua. Portanto, (xn) converge fracamente para x. Suponhamos que (xn) converge fracamente para x ∈ E e, por absurdo, que (xn) não converge para x em E. Então, existe ε0> 0 e existe uma subsequência (xnk) de (xn) tal que
kxnk − xkE ≥ ε0, (C.2)
para todo k ∈ N. Temos que xnkj * x. Logo, (xnk) é limitada e,
sendo dim E < +∞, temos que existe uma subsequência (xnkj) de (xnk) tal que xnkj → x, o que um absurdo devido a desigualdade
(C.2). Concluímos com isto que, (xn) converge para x em E. Visto que é possível enfraquecer alguns conceitos matemá- ticos, é interessante comentarmos que a partir do Teorema 3.14no qual mostramos que a bola unitária fechada não é compacta num espaço de dimensão infinita surge um novo olhar sobre os espaços de dimensão infinita. Isso porquê ao estudarmos os espaços de dimen- são infinita os resultados envolvendo compacidade são bem delicados. Para conseguir contornar esse fato, enfraquecemos a topologia para que haja ganhos quanto a compacidade. Um estudo aprofundado da Topologia Fraca e envolvendo o conceito de compacidade está disponível na referência [1].