Tamb´em podemos calcular χ(R ∪ S) com 1 − c onde c ´e a quantidade de ciclos. Sendo assim, a uni˜ao dos grafos R e S resultou em um grafo com 2 ciclos, logo a χ(R ∪ S) = 1 − 2 = −1.
Se denotarmos por c(R) e c(S) os ciclos respectivos dos grafos R e S temos χ(R) = 1 − c(R) e χ(S) = 1 − c(S). Como a uni˜ao de arestas n˜ao resultou em novos ciclos, teremos:
χ(R ∪ S) = χ(R) + χ(S) − χ(R ∩ S) = [1 − c(R)] + [1 − c(S)] − 1
= 1 − [c(R) + c(S)]. (2.6)
2.3
Teorema de Euler e grafos planares
Defini¸c˜ao 2.13. Um grafo G ´e planar se admite uma representa¸c˜ao gr´afica no plano na qual linhas que representam arestas diferentes n˜ao se intersectam, a n˜ao ser nos extremos, no caso das arestas serem incidentes num ou mais v´ertices em comum, [15].
Exemplo 2.14. As conex˜oes de uma placa de circuito impresso, podem ser representadas por um grafo planar (ver Figura 2.10, encontrada em [9]). Outros exemplos cl´assicos de grafos planares s˜ao os dos poliedros regulares ilustrados na Figura 2.11, encontrada em [7].
Figura 2.10: Aplica¸c˜oes de grafos planares.
De acordo com a defini¸c˜ao 2.13, um cubo pode ser representado em forma de um grafo planar, como ilustra a Figura 2.12.
Esse tipo de representa¸c˜ao no plano determina dois tipos de regi˜oes, as limitadas pelos ciclos e uma ilimitada. Essas regi˜oes s˜ao chamadas de faces do grafo. Na Figura 2.12, temos 5 regi˜oes limitadas e 1 regi˜ao ilimitada gerando assim um total de 6 faces.
2.3. Teorema de Euler e grafos planares 22
Figura 2.11: Grafos planares que representam os poliedros regulares.
Figura 2.12: Grafo planar .
Teorema 2.15. Se G ´e um grafo planar conexo com V v´ertices, A arestas e F faces em uma representa¸c˜ao plana, tem-se V − A + F = 2, [15].
Demonstra¸c˜ao: Seja G um grafo conexo planar, logo teremos duas op¸c˜oes: G n˜ao possui ciclo ou G possui ciclo. Vamos analisar cada op¸c˜ao.
Se G n˜ao possui ciclo ent˜ao ele ´e do tipo ´arvore, logo G possui V v´ertices, V −1 arestas e 1 face (ilimitada), portanto teremos: V − A + F = V − (V − 1) + 1 = 2.
Se G possui um ciclo, ent˜ao o n´umero de arestas ser´a ≥ 2. A demonstra¸c˜ao ser´a realizada por indu¸c˜ao sobre o n´umero de arestas.
Se A = 2, ent˜ao pelo fato de G ser um grafo planar conexo e com um ciclo ele ter´a 2 v´ertices e 2 faces. Portanto V − A + F = 2. Suponha, por indu¸c˜ao, que para qualquer grafo planar conexo com um ciclo e com A arestas, vale a igualdade V − A + F = 2. Seja G um grafo planar conexo com um ciclo, V v´ertices, F faces e A + 1 arestas. Como G possui um ciclo podemos retirar uma arestas sem que o grafo G deixe de ser conexo. Ao ser retirada essa aresta, o grafo G continua com o mesmo n´umero de v´ertices (V ) e altera o n´umero de faces para (F − 1), pois diminui uma face (o ciclo). Pela hip´otese de indu¸c˜ao
2.3. Teorema de Euler e grafos planares 23 V − A + F − 1 = 2. Assim temos: V − (A + 1) + F = V − A + F − 1 = 2 (2.7)
Cap´ıtulo 3
C´alculo da caracter´ıstica de Euler
usando a uni˜ao de superf´ıcies.
Ser´a abordado o c´alculo da caracter´ıstica de Euler de superf´ıcies fechadas. O objetivo deste cap´ıtulo ´e al´em de comprovar que em todos os poliedros convexos a caracter´ıstica de Euler ´e igual a 2, tamb´em trazer a justificativa de que em alguns poliedros n˜ao conve- xos tem a validade do Teorema de Euler. Observaremos atrav´es de alguns exemplos que poliedros n˜ao convexos com uma al¸ca tamb´em conhecidos como poliedro que possuem um ”buraco” tem a caracter´ıstica de Euler igual a zero, pois s˜ao todos homeomorfos (”ho- meo”= mesmo, ”morfo”= forma) ao toro. E finalmente trabalharemos com deforma¸c˜ao de superf´ıcies e a constru¸c˜ao de superf´ıcies atrav´es da uni˜ao de outras, que facilita o c´alculo da caracter´ıstica de Euler.
3.1
Deforma¸c˜ao de poliedros regulares na esfera
Como vimos no Cap´ıtulo 1, os poliedros regulares s˜ao poliedros cujo faces s˜ao pol´ıgonos regulares iguais e em todos os v´ertices concorrem a mesma quantidade de arestas, ilus- trados na Figura 1.10.
Observe a Figura 3.1 encontrada em [2] podemos preencher a seguinte tabela: Poliedros No de v´ertices No de arestas No de faces V − A + F Tetraedro 4 6 4 4 − 6 + 4 = 2 Cubo 8 12 6 8 − 12 + 6 = 2 Octaedro 6 12 8 6 − 12 + 8 = 2 Dodecaedro 20 30 12 20 − 30 + 12 = 2 Icosaedro 12 30 20 12 − 30 + 20 = 2 24
3.1. Deforma¸c˜ao de poliedros regulares na esfera 25
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Figura 3.1: Poliedros regulares. .
Observe na tabela da p´agina anterior, que o n´umero de v´ertices, arestas e faces variam, mas o valor da soma alternada V − A + F sempre ´e igual a 2. Na realidade, essa ´e a caracter´ıstica de Euler de todos os poliedros convexos.
Na verdade, temos uma classe muito maior de poliedros que satisfazem a rela¸c˜ao de Euler. Como podemos ver no final do Cap´ıtulo 1, s˜ao todos os poliedros que s˜ao homeomorfos `a esfera. Grosseiramente falando, imagine o poliedro feito de um material de borracha, ao ser inflado assume um formato esf´erico, como mostrado na Figura 3.2 encontrada em [10]:
Figura 3.2: Deforma¸c˜ao do octaedro em esfera.
Na figura 3.2, o n´umero de arestas, v´ertices e faces do poliedro mant´em-se constante ap´os a deforma¸c˜ao ocorrida. Homeomorfismo preservam v, A e F logo podemos dizer que o Teorema de Euler que ´e v´alido para os poliedros convexos tamb´em ´e v´alido para a superf´ıcie esf´erica.
As arestas e v´ertices formam sobre a esfera o que chamamos de grafo com as seguintes observa¸c˜oes, como podem ser visto em [10]:
1. Que o grafo seja conexo;
2. As regi˜oes separadas pelo grafo s˜ao chamadas de faces, como as de um poliedro. As arestas adjacentes `a face dever˜ao formar uma curva fechada e sem auto-interse¸c˜oes; 3. Que cada aresta seja adjacente a duas faces distintas;
3.1. Deforma¸c˜ao de poliedros regulares na esfera 26
4. Ser´a proibido que duas arestas se cruzem fora de um v´ertice.
Figura 3.3: Cubo se transformando em esfera.
Nas Figuras 3.2 e 3.3, obtemos grafos sobre a esfera que satisfazem todas as observa¸c˜oes citadas. Como podemos ver na Figura 3.1, todas as faces s˜ao triangulares j´a na Figura 3.2 isso n˜ao ocorre.
Proposi¸c˜ao 3.1. Todo grafo sobre a esfera satisfazendo os itens 1, 2, 3 e 4 satisfaz a rela¸c˜ao de Euler.
Este tipo de grafo na esfera pode ser constru´ıdo a partir de um ”triˆangulo inicial na esfera”, realizando sucessivamente algumas das seguintes opera¸c˜oes:
1. Adicionar um novo v´ertice e uma nova aresta;
2. Unir dois v´ertices que j´a existem, por uma aresta, criando uma nova face.
1 2
Figura 3.4: Constru¸c˜ao de grafo na esfera.
O triˆangulo inicial determina na esfera um grafo com duas regi˜oes triangulares (uma interior ao triˆangulo e outra exterior), 3 arestas e 3 v´ertices. Isto ´e, o grafo inicial sobre a esfera tem caracter´ıstica de Euler V − A + F = 3 − 3 + 2 = 2. A opera¸c˜ao (1) acima aumenta por 1 o n´umero de v´ertices e arestas e na opera¸c˜ao (2) aumenta por 1 o n´umero de arestas e faces, logo n˜ao alteram a caracter´ıstica de Euler do grafo e o grafo final vai ter tamb´em caracter´ıstica de Euler igual a 2.