3 Resultados equivalentes ao Teorema do Ponto Fixo de Brouwer
Teorema 3.4 (Teorema de Hartman–Stampacchia) Sejam C um subconjunto compacto e
convexo de Rn e A uma aplicação contínua de C em Rn, A : C → Rn. Então, existe u ∈ C tal que
hAu, v − ui ≥ 0, ∀v ∈ C,
onde h , i denota um produto interno em Rn.
Provaremos as equivalências entre os resultados enunciados acima e o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer (Teorema 2.1) seguindo o roteiro abaixo.
Teorema 2.1 ⇒ Teorema 2.3 ⇒ Teorema 3.1 Teorema 3.1 ⇒ Teorema 3.2 ⇒ Teorema 3.3 Teorema 3.3 ⇒ Teorema 3.4 ⇒ Teorema 2.1.
(3.1)
A prova da implicação Teorema 2.1 ⇒ Teorema 2.3 foi feita na Seção 2.
Teorema 2.3 ⇒ Teorema 3.1: Sejam x1, . . . , xm pontos de E e X1, . . . , Xm conjuntos fe-
chados para os quais
conv{xi1, . . . , xik} ⊂ Xi1∪ · · · ∪ Xik, (3.2)
para toda família de índices {i1, . . . , ik} ⊆ {1, 2, . . . , m}.
Queremos mostrar que ∩mi=1Xi 6= ∅. Prosseguiremos por absurdo. Suponhamos que
∩m
i=1Xi= ∅ e consideremos K = conv{x1, . . . , xm}.
Seja ϕi(x) = d(x, Xi). Para todo x ∈ K, existe i0 ∈ {1, 2, . . . , m} tal que x /∈ Xi0, pois caso contrário concluiríamos que ∩mi=1Xi 6= ∅ por meio da relação (3.2). Neste caso,
ϕi0(x) = d(x, Xi0) > 0 e
m
X
i=1
ϕi(x) > 0.
Agora, seja Φ : K → K a aplicação dada por Φ(x) = Pm i=1ϕi(x)xi Pm i=1ϕi(x) para x ∈ K.
Como ϕi é contínua para todo i ∈ {1, . . . , m}, Φ também é contínua. Como K é compacto e convexo, existe x0 ∈ K tal que Φ(x0) = x0, pelo Teorema 2.3.
Por outro lado, pela relação (3.2), existe i1tal que x0 ∈ Xi1. Então, ϕi1(x0) = d(x0, Xi1) =
0. Logo, x0 = Φ(x0) = P j6=i1ϕj(x0)xj P j6=i1ϕj(x0) .
Repetindo esse argumento, como x0 ∈ convi6=i1{xi} ⊂
[
i6=i1
Xi, podemos encontrar um
índice i2 tal que x0 ∈ Xi2 e assim ϕi2(x0) = 0. Com isso, x0 deve pertencer a conv{xi}, i 6=
i1 e i 6= i2. Prosseguindo dessa maneira, inferimos que
x0 ∈
m
\
i=1
Xi,
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e Suas Equivalências 79
o que é um absurdo, pois estamos supondo queTm
i=1Xi = ∅. Logo, devemos terTmi=1Xi 6= ∅.
Teorema 3.1 ⇒ Teorema 3.2: Temos, por hipótese, que cada x ∈ X está associado a um fechado F (x) de E e existe ao menos um x0 ∈ X tal que F (x0) seja compacto, além disso
a envoltória convexa de toda família finita {x1, . . . , xm} ⊂ X está contida em Smi=1F (xi).
Devemos mostrar que T
x∈XF (x) 6= ∅. Pois bem, suponhamos que isso não ocorra, ou seja,
T
x∈XF (x) = ∅.
Como F (x0) é compacto para algum x0 ∈ X, Tx∈XF (x) ⊂ F (x0) e estamos supondo
T
x∈XF (x) = ∅, podemos garantir que existe uma subfamília finita {xi1, . . . , xim} ⊂ X
tal que Tm
i=1F (xi) = ∅, mas isso é um absurdo, visto que pelo Teorema 3.1 devemos ter
T
x∈XF (xi) 6= ∅. Dessa forma, a prova dessa implicação está completa.
Teorema 3.2 ⇒ Teorema 3.3: Seja µ = max
x∈Xf (x, x) e considere a família de fechados F (x),
x ∈ X, onde
F (x) = {y ∈ X : f (x, y) ≤ µ}.
Seja {x1, . . . , xn} uma família finita de elementos de X.
Afirmação: conv{x1, . . . , xn} ⊂ n
[
i=1
F (xi).
Com efeito, suponha que tal inclusão não ocorra. Ou seja, existe uma combinação convexa
Pn j=1αjxj tal que n X j=1 αjxj ∈/ n [ i=1 F (xi),
em que αj ∈ [0, 1] para todo j e Pn
j=1αj = 1. Com isso, segue pela definição de F (x) que
f xi, n X j=1 αjxj > µ, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Como f (x, y) é quase-concava em x ∈ X, temos
f n X j=1 αjxj, n X j=1 αjxj > µ,
o que é um absurdo, pois µ = max
x∈X f (x, x). Isso confirma a veracidade da afirmação. Portanto,
pelo Teorema 3.2, temos que T
x∈XF (x) 6= ∅.
Por fim, comoT
x∈XF (x) 6= ∅ e f (x, y) é s.c.i em y ∈ X, existe y0∈Tx∈XF (x), de onde
segue que
max
x∈X f (x, y0) ≤ µ = maxx∈X f (x, x).
Por conseguinte,
min
y∈X maxx∈X f (x, y) ≤ maxx∈X f (x, x).
Teorema 3.3 ⇒ Teorema 3.4: Considere f : C × C → R a aplicação dada por f (x, y) = h−Ay, x − yi, onde h , i denota um produto interno em Rn.
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e Suas Equivalências 80
Inicialmente, observamos que f é uma aplicação contínua com respeito à segunda variável. Com efeito, fixando x0∈ Rn e tomando quaisquer y1, y2∈ Rn, temos
f (x0, y1) − f (x0, y2) = h−Ay1,x0− y1i − h−Ay2,x0− y2i
= −hAy1,x0i + hAy1,y1i + hAy2,x0i − hAy2,y2i
= −hAy1,x0i + hAy1,y1i − hAy2,y1i
+ hAy2,y1i + hAy2,x0i − hAy2,y2i
= hAy2− Ay1,x0i + hAy2− Ay1,y1i + hAy2,y1− y2i (∗)
≤ kAy2− Ay1k · kx0k + kAy2− Ay1k · ky1k
+ kAy2k · ky1− y2k,
(3.3)
onde em (∗) usamos a Desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Se (yn)n∈N é uma sequência qualquer em C tal que yn → y0 quando n → ∞, então
Ayn → Ay0, haja vista que A é contínua e, por conseguinte, f (x0, yn) → f (x0, y0) quando
n → ∞, uma vez que (yn)n∈N e (Ayn)n∈Nsão sequências limitadas por serem convergentes e
por (3.3) temos
f (x0, yn) − f (x0, y0) ≤ kAyn− Ay0k · kx0k + kAyn− Ay0k · kynk + kAynk · kyn− y0k → 0 (3.4)
quando n → ∞. Isso prova a continuidade de f com respeito à segunda variável.
Além disso, f é quase-côncava em com respeito à primeira variável. De fato, dado α ∈ R, seja
Df(α) := {(x, y) ∈ C × C : f (x, y) > α} = {(x, y) ∈ C × C : h−Ay, x − yi > α}.
Fixando y0∈ C, temos que se (x1, y0) ∈ Df(α) e (x2, y0) ∈ Df(α), então ((1−t)x1+tx2, y0) ∈
C × C se t ∈ [0, 1] e f ((1 − t)x1+ tx2, y0) = h−Ay0, (1 − t)x1+ tx2− y0i = h−Ay0, (1 − t)x1+ tx2+ ty0− ty0− y0i = h−Ay0, (1 − t)(x1− y0) + t(x2− y0)i = (1 − t)h−Ay0, x1− y0i + th−Ay0, x2− y0i > (1 − t)α + tα = α,
donde segue que
[(x1, y0), (x2, y0)] ⊂ {(x, y) ∈ C × C : f (x, y) > α} = Df(α).
Daí, Df(α) é convexo e, portanto, f (x, y) é quase-côncava em x. Sendo assim, o Teorema 3.3 garante que
min
y∈C maxx∈C f (x, y) ≤ maxx∈C f (x, x) = 0,
uma vez que f (x, x) = h−Ax, x − xi = h−Ax, 0i = 0.
Portanto, existe u ∈ C tal que f (v, u)6 0 para todo v ∈ C, ou seja, existe u ∈ C tal que
f (v, u) = h−Au, v − ui 6 0 para todo v ∈ C. Daí, concluímos que
hAu, v − ui > 0, ∀v ∈ C.
Teorema 3.4 ⇒ Teorema 2.1: Sejam f : B1(0) → B1(0) uma aplicação contínua e A =
I − f . Aplicando o Teorema 3.4 em A, existe u ∈ B1(0) tal que para todo v ∈ B1(0) tem-se
hAu, v − ui ≥ 0,
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e Suas Equivalências 81
ou seja,
hu − f (u), v − ui ≥ 0, para todo v ∈B1(0). (3.5)
Vamos mostrar que f (u) = u. Como f (u) ∈ B1(0) para tal u ∈ B1(0), considerando
v = f (u) em (3.5), obtemos
hu − f (u),f (u) − ui = h−(f (u) − u),f (u) − ui = −hf (u) − u,f (u) − ui = −kf (u) − uk2 ≥ 0,
donde segue que
kf (u) − uk2 ≤ 0 =⇒ kf (u) − uk2 = 0 e, portanto,
f (u) = u.
Concluímos, assim, as provas das implicações presentes em (3.1).
Finalizaremos este artigo provando outras implicações entre alguns dos teoremas vistos, a saber, provaremos que Teorema 2.3 ⇒ Teorema 3.4 e Teorema 3.3 ⇒ Teorema 2.3.
Teorema 2.3 ⇒ Teorema 3.4: Sejam C ⊂ Rnum conjunto compacto e convexo e A : C → Rn uma aplicação contínua. Consideremos f : C → C a aplicação dada por
f : C −→ C
u 7−→ f (u) = projC(−Au + u) = min
v∈Ck − Au + u − vk.
É sabido que projC(−Au + u) se caracteriza por satisfazer
h(−Au + u) − projC(−Au + u), v − projC(−Au + u)i ≤ 0, ∀v ∈ C. (3.6)
Além disso, a projeção sobre um conjunto convexo fechado é contínua. Como A também é contínua, podemos deduzir que f é contínua. Então, pelo Teorema 2.3, existe u ∈ C tal que
u é ponto fixo de f , ou seja,
u = f (u) = projC(−Au + u) (3.7)
Por (3.6) e (3.7), obtemos
h(−Au + u) − u, v − ui ≤ 0, ∀v ∈ C, donde concluímos que
hAu, v − ui ≥ 0, ∀v ∈ C, e completamos a prova.
Teorema 3.3 ⇒ Teorema 2.3: Sejam ϕ : K → K uma aplicação contínua e f : K × K → R a aplicação definida por
f (x, y) = kϕ(y) − yk − kx − ϕ(y)k, x, y ∈ K.
Afirmamos que f é côncava em x. De fato, considerando a aplicação g(x, y) = −f (x, y) = kx − ϕ(y)k − kϕ(y) − yk para x, y ∈ K, fixando y0 ∈ Rn, tomando x
1, x2 ∈ Rn e t ∈ [0, 1],
obtemos
g(tx1+ (1 − t)x2, y0) = ktx1+ (1 − t)x2− ϕ(y0)k − kϕ(y0) − y0k
= kt(x1− ϕ(y0)) + (1 − t)(x2− ϕ(y0)k − tkϕ(y0) − y0k − (1 − t)kϕ(y0) − y0k
≤ t[kx1− ϕ(y0)k − kϕ(y0) − y0k] + (1 − t)[kx2− ϕ(y0)k − kϕ(y0) − y0k]
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Daí, g é convexa em x e, portanto, f é côncava em x. Ainda, pela continuidade de ϕ, podemos verificar facilmente que f é contínua em y.
Dessa forma, o Teorema 3.3 assegura que min
y∈K maxx∈K f (x, y) ≤ maxx∈K f (x, x) = maxx∈K (kϕ(x) − xk − kx − ϕ(x)k) = 0.
Então, existe y0 ∈ K tal que f (x, y0) ≤ 0 para todo x ∈ K. Isso implica
kϕ(y0) − y0k ≤ kx − ϕ(y0)k, ∀x ∈ K. Em particular, tomando x = ϕ(y0), obtemos
ϕ(y0) = y0,
de onde segue que y0 é um ponto fixo para ϕ.
Agradecimentos: Primeiramente, agradeço a Deus pela força a cada minuto de apreensão; a
Profa. Dra. Suzete Maria Silva Afonso pela amizade, incentivo, por sempre acreditar que eu poderia ir além e por me ajudar com diversas questões que perpassam o âmbito acadêmico, tornando-se um exemplo de pessoa pra mim. . . Por isso, sou extremamente grato. Agradeço a minha família por todo apoio e carinho. Por fim, agradeço aos amigos do grupo PET - Matemática que sempre me auxiliam em momentos de dúvida, e ao amigo Lucas Yudy pelos conselhos e conversas descontraídas.
Abstract: In this article we present a proof of the Brouwer Fixed Point Theo-
rem using the Brouwer degree theory. In addition, we show some equivalences between the Brouwer Fixed Point Theorem and others known results from Func- tional Analysis theory, such as Theorem of Knaster–Kuratowiski–Mazurkiewicz, Theorem of Hartman–Stampachia and the min–max Inequality of Ky–Fan.
Keywords: Brouwer Fixed Point Theorem; Brouwer degree theory; Functional
Analysis; Theorem of Knaster–Kuratowiski–Mazurkiewicz; Theorem of Hartman– Stampachia; min–max Inequality of Ky–Fan.
Referências Bibliográficas
[1] ALMEIDA, O. B. Teoria do grau e aplicações. Dissertação (Mestrado em Matemática)– Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, 2006.
[2] BERESTYCKI, H. Méthodes topologiques et problèmes aux limites non linéaires. Tese (Doctorat en Mathématiques) – Université Paris VI – Université Pierre et Marie Curie, 1975.
[3] BRATTKA, V.; LE ROUX, S.; MILLER, J. S.; PAULY, A. Connected choice and the Brouwer Fixed Point Theorem. Journal of Mathematical Logic, v. 19, n. 01, p. 1950004, 2019.
[4] BREZIS, H.; CIARLET, P. G.; LIONS, J. L. Analyse fonctionnelle: théorie et applica-
tions. [S.l.]: Dunod Paris, 1999. v. 91.
[5] BROWN R.F. Brouwer Fixed Point Theory. In: A Topological Introduction to Nonlinear
Analysis. Birkhäuser, Boston, MA, 2004.
[6] BOROGOVAC, M. Two applications of Brouwer’s fixed point theorem: in insurance and in biology models. Journal of Difference Equations and Applications, Taylor & Francis, v. 22, n. 6, p. 727–744, 2016.
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e Suas Equivalências 83
[7] DABROWSKI, L. Towards a noncommutative Brouwer fixed-point theorem, Journal of
Geometry and Physics, vol. 105, 2016.
[8] FOLLAND, G. B. Real analysis: modern techniques and their applications. [S.l.]: John Wiley & Sons, 1999. v. 40.
[9] GALE, D. The Game of Hex and the Brouwer Fixed-Point Theorem. The American
Mathematical Monthly, 86(10), 818-827, 1979.
[10] MAWHIN, J. Variations on the Brouwer Fixed Point Theorem: A Survey. Mathematics, 8(4), n. 501, p. 1–14, 2020.
[11] SOUZA, C. S. Existência de soluções periódicas e permanência de soluções de equações
diferenciais funcionais com retardo. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Univer-
sidade Estadual Paulista (UNESP), São José do Rio Preto, 2018.
[12] URAI, K. Fixed point theorems and the existence of economic equilibria based on condi- tions for local directions of mappings. In: Kusuoka S., Maruyama T. (eds) Advances in
Mathematical Economics. Advances in Mathematical Economics, vol 2. Springer, Tokyo,
BOLETIM DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA EM MATEMÁTICA· BICMat
Vol. 17 (2020) 84–91