O lema de Zorn e o teorema de Zermelo

14.1. Defini¸c˜ao. Chamaremos derela¸c˜ao de ordem parcialnum conjunto

Xuma rela¸c˜ao_emX com as seguintes propriedades:

(a)xxpara todox2X(_´e reflexiva);

(b) sexyeyx, entãox=y(_é antisimétrica);

(c) sexyeyz, ent˜aoxz(_´e transitiva).

Neste caso diremos queX´e umconjunto parcialmente ordenado.

Diremos que_é umarela¸cão de ordem total se além de verificar (a), (b) e

(c), tamb´em verifica

(d) dadosx, y2X, tem-se quexyouyx.

Neste caso diremos queX´e umconjunto totalmente ordenado.

14.2. Exemplos.

(a) SeXé um conjunto, então a rela¸cão de inclusão é uma rela¸cão de ordem

parcial em_P(X).

(b) A rela¸cão de ordem usual emRé uma rela¸cão de ordem total.

14.3. Defini¸c˜ao. SejaX um conjunto parcialmente ordenado, e sejaA⇢

X. (a) Se existira0 2Atal quea0  apara todoa 2A, diremos quea0 ´e o

elemento m´ınimodeA. De maneira an´aloga definimoselemento m´aximo.

(b) Se existir a0 2Atal quea= a0 sempre quea 2Aea a0, diremos

quea0 ´e umelemento minimal deA. De maneira an´aloga definimoselemento

maximal.

(c) Se existirc2Xtal quecapara todoa2A, diremos queA´elimitado

inferiormentee quec´e umacota inferior deA. De maneira an´aloga definimos

conjuntolimitado superiormenteecota superior.

(d) Diremos queA´e umacadeia emX seA´e totalmente ordenado sob a

rela¸c˜ao de ordem parcial induzida porX.

(e) Diremos que A ´ebem ordenado se cada subconjunto n˜ao vazio de A

possui um elemento m´ınimo.

14.4. Exemplos.

(a)N, com a ordem usual, ´e um conjunto bem ordenado.

(b)R, com a ordem usual, é um conjunto totalmente ordenado, que não é

bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) n˜ao possui elemento m´ınimo.

14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado n˜ao

vazio tal que cada cadeia emX´e limitada superiormente. Ent˜aoX possui pelo

menos um elemento maximal.

14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto n˜ao vazio pode ser bem

ordenado.

14.7. Teorema. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) O axioma da escolha.

(b) O lema de Zorn.

(c) O teorema de Zermelo.

Demonstra¸c˜ao.(b)₎(c): SejaXum conjunto n˜ao vazio. Seja_Fa fam´ılia

de todos os pares (A,A) tais que _{; 6}= A⇢X e (A,A) ´e um conjunto bem

ordenado. É fácil verificar que _F é um conjunto parcialmente ordenado não

vazio se definimos (A,

^A)

⁽B,

^{B) quando:}

(i)A⇢B;

(ii) sex, y2A, ent˜aox

yse e s´o sex

y;

(iii) sex2Aey2B\A, ent˜aoxBy.

Provaremos que cada cadeia em_F´e limitada superiormente. De fato, seja

{⁽A

,

) : i2 I} ^{uma cadeia em} F^{, e seja}A = ^S

_i₂_I

A

i. Dados

x, y 2 A

definamosxAysex, y2A

exAiy. É fácil verificar que a rela¸cão_Aestá

bem definida, e ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial emA. Afirmamos que (A,

^A)

´e um conjunto bem ordenado. Seja_{; 6}=B⇢A, e seja

J=_{j2I:B\A

6=_;_}.

Notemos que_A coincide com_Ai em A

para cadai2 I. Como (A

,Ai)

´e bem ordenado para cada i2 I, segue que todos os conjuntosB\A

j, com

j2J, tem o mesmo elemento m´ınimo, que denotaremos porb0. Segue queb0´e

o elemento m´ınimo deB. Logo (A,

^{A) ´e bem ordenado, ou seja pertence a}

F^.

Agora ´e claro que (A,

^{A) ´e uma cota superior da cadeia}

{⁽A

,

A_i

) :i2I}^.

Pelo lema de Zorn, _F possui pelo menos um elemento maximal (A,A^).

Segue da maximalidade de (A,A) queA=X. Logo (X,X) ´e um conjunto

bem ordenado.

(c)₎(a): Seja_{X

:i2I}uma fam´ılia n˜ao vazia de conjuntos n˜ao vazios.

Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordena¸c˜ao para^S

_i₂_I

X

i. Para cada

i2Isejaf(i) o elemento m´ınimo deX

i. Ent˜ao

f2^Q

i2I

X

(a)₎(b): Esta ´e a implica¸c˜ao mais dif´ıcil de provar. SejaX um conjunto

parcialmente ordenado n˜ao vazio no qual cada cadeia ´e limitada superiormente.

Seja_X a fam´ılia de todas as cadeias deX. Ent˜ao_X ´e um conjunto

parcial-mente ordenado n˜ao vazio, por inclus˜ao de conjuntos.

A estratégia da demonstra¸cão é trabalhar com a fam´ılia de conjuntos_X, que

´e parcialmente ordenada por inclus˜ao, em lugar de trabalhar com o conjunto

parcialmente ordenado abstratoX. Depois de provar que_Xpossui um elemento

maximal, ser´a f´acil provar queX possui um elemento maximal.

O primeiro passo ´e caracterizar os elementos maximais de _X. Para cada

C2X seja

ˆ

C=_{x2X:C[{x}2X }.

Pelo axioma da escolha, existe uma fun¸c˜ao f : _P(X)_{\ {}_;_} _! X tal que

f(A)₂Apara cadaA2P⁽X)_{\ {}_;_}.

Sejag:_X_!_X definida por:

g(C) =C se C= ˆC,

g(C) =C[{f( ˆC\C)_} se C6= ˆC.

A fun¸cãogestá bem definida, pois seC6^{= ˆ}C, entãof( ˆC\C)₂C^ˆ\C, e portanto

C[{f( ˆC\C)_}₂_X. Além disso,Cé maximal em_X se e só seg(C) =C.

Diremos que uma fam´ılia_T _⇢_X ´e umatorre se:

(i)_{; 2}_T;

(ii) seC2T^{, ent˜ao}g(C)₂_T;

(iii) se_Cé uma cadéia em_T, então^S_C₂_T.

É claro que_Xé uma torre. É claro que a interse¸cão de uma fam´ılia de torres

é uma torre. Seja_T0 a interse¸cão de todas as torres de_X. Então_T0é a menor

torre de_X. Nosso pr´oximo objetivo ´e provar que_T

´e uma cadeia em_X. Isto

vai nos dar muito trabalho.

Diremos que C2T

´ecompar´avel se dado D2T

, tem-se queC ⇢D ou

D⇢C.

Para provar que_T

´e cadeia, basta provar que cadaC2T

´e compar´avel.

Para provar que cadaC2T0 ´e compar´avel, basta provar que os conjuntos

compar´aveis em_T0 formam uma torre.

É claro que _;é comparável. É claro também que se _C é uma cadeia de

conjuntos comparáveis, então^S_C é comparável. O mais dif´ıcil vai ser provar

que seCé comparável, entãog(C) é comparável também.

FixemosC2T

,Ccompar´avel.

Afirmamos que seD 2T

eD⇢C,D6⁼C, ent˜aog(D)_⇢C. Como _T

´e

torre,g(D)₂_T

. ComoC´e compar´avel, tem-se queg(D)_⇢C ouC⇢g(D),

C 6= g(D). Mas C ⇢ g(D), C 6= g(D) ´e imposs´ıvel, poisD ⇢ C, D 6= C e

g(D) =Doug(D) =D[{x}.

Seja

U⁼{D2T

:D⇢C ou g(C)_⇢D}.

Afirmamos que _U é uma torre. É claro que _{; 2} _U. É claro também que

se_D é uma cadeia em _U, então ^S_D ₂ _U. Falta provar que se D 2U^{, então}

g(D)₂_U. H´a trˆes possibilidades:

(i) D ⇢ C, D 6= C. Neste caso j´a sabemos que g(D) _⇢ C, e portanto

g(D)₂_U.

(ii)D=C. Neste casog(D) =g(C), e portantog(D)₂_U.

(iii)g(C)_⇢D. Neste casog(D) D g(C), e portantog(D)₂_U.

Como _U ´e torre e _U _⇢ _T

, segue que_U = _T

. Logo, dado D 2 T

= _U,

tem-se queD⇢C⇢g(C) oug(C)_⇢D. Logog(C) ´e compar´avel.

Temos provado assim que os conjuntos compar´aveis de_T

formam uma torre.

Segue que cadaC2T

´e compar´avel, e da´ı_T

´e uma cadeia em_X.

Como_T

´e torre, temos queC0:=^S_T

2T

. Como_T

´e torre, temos que

g(C0)₂_T

, e portantog(C0) =C0. LogoC0´e maximal em_X.

Por hip´otese existem2Xtal quecmpara todoc2C0. ComoC0´e uma

cadeia maximal, ´e claro quem2C0.

Afirmamos quem´e um elemento maximal emX. De fato sejan2X, com

mn. ComoC0 ´e uma cadeia maximal, segue quen2C0. Logon m, e

portanton=m. Isto completa a demonstra¸c˜ao.

Exerc´ıcios.

14.A.Seja X=_{n2N:n 2_}.Dadosm, n2X, definamosmnsem

dividen.

(a) Prove que_´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial emX.

(b) Prove que, dada uma cadeiaC⇢X e um elementon2C, existe apenas

um n´umero finito de elementosn1, ..., n

2Cque dividemn.

(c) Prove que cada cadeiaC⇢X ´e limitada inferiormente.

(d) Identifique os elementos minimais deX.

14.B.Seja (X,) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos dois

elementos. Dadosx, y2X, escreveremosx < ysexyex6=y.

(a) Prove que os conjuntos _{x2 X :a < x}^{, com} a 2 X, junto com os

conjuntos _{x 2 X : x < b}^{, com} b 2 X, formam uma sub-base para uma

topologia emX, chamada detopologia da ordem.

(b) Prove que a topologia usual emRcoincide com a topologia da ordem

usual emR.

14.C.Seja Eum espa¸co vetorial, E6=_{0_}. Usando o lema de Zorn prove

que cada subconjunto linearmente independente deE est´a contido em alguma

base deE.

14.D. Sejam E e F espa¸cos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 um

subespa¸co vetorial deE, e sejaT0:E0!F uma aplica¸c˜ao linear. Use o lema

de Zorn para provar a existˆencia de uma aplica¸c˜ao linearT :E !F tal que

T x=T0xpara todox2E0.

14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjunto

I⇢A´e chamado deideal se verifica as seguintes condi¸c˜oes:

(a)x y2I para todox, y2I;

(b)xy2Ipara todox2I,y2A.

Um idealI6⁼Aé chamado deideal próprio. Um ideal próprio que não está

contido em nenhum outro ideal pr´oprio ´e chamado deideal maximal. Use o lema

de Zorn para provar que cada ideal pr´oprio deAest´a contido em algum ideal

maximal.

No documento Notas de Topologia Geral. Jorge Mujica. Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMP durante o primeiro semestre de 2005 (páginas 40-44)

14.1. Defini¸c˜ao. Chamaremos derela¸c˜ao de ordem parcialnum conjunto

Xuma rela¸c˜aoemX com as seguintes propriedades:

(a)xxpara todox2X(´e reflexiva);

(b) sexyeyx, entãox=y(é antisimétrica);

(c) sexyeyz, ent˜aoxz(´e transitiva).

Neste caso diremos queX´e umconjunto parcialmente ordenado.

Diremos queé umarela¸cão de ordem total se além de verificar (a), (b) e

(c), tamb´em verifica

(d) dadosx, y2X, tem-se quexyouyx.

Neste caso diremos queX´e umconjunto totalmente ordenado.

14.2. Exemplos.

(a) SeXé um conjunto, então a rela¸cão de inclusão é uma rela¸cão de ordem

parcial emP(X).

(b) A rela¸cão de ordem usual emRé uma rela¸cão de ordem total.

14.3. Defini¸c˜ao. SejaX um conjunto parcialmente ordenado, e sejaA⇢

X.

(a) Se existira0 2Atal quea0  apara todoa 2A, diremos quea0 ´e o

elemento m´ınimodeA. De maneira an´aloga definimoselemento m´aximo.

(b) Se existir a0 2Atal quea= a0 sempre quea 2Aea a0, diremos

quea0 ´e umelemento minimal deA. De maneira an´aloga definimoselemento

maximal.

(c) Se existirc2Xtal quecapara todoa2A, diremos queA´elimitado

inferiormentee quec´e umacota inferior deA. De maneira an´aloga definimos

conjuntolimitado superiormenteecota superior.

(d) Diremos queA´e umacadeia emX seA´e totalmente ordenado sob a

rela¸c˜ao de ordem parcial induzida porX.

(e) Diremos que A ´ebem ordenado se cada subconjunto n˜ao vazio de A

possui um elemento m´ınimo.

14.4. Exemplos.

(a)N, com a ordem usual, ´e um conjunto bem ordenado.

(b)R, com a ordem usual, é um conjunto totalmente ordenado, que não é

bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) n˜ao possui elemento m´ınimo.

14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado n˜ao

vazio tal que cada cadeia emX´e limitada superiormente. Ent˜aoX possui pelo

menos um elemento maximal.

14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto n˜ao vazio pode ser bem

ordenado.

14.7. Teorema. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

(a) O axioma da escolha.

(b) O lema de Zorn.

(c) O teorema de Zermelo.

Demonstra¸c˜ao.(b))(c): SejaXum conjunto n˜ao vazio. SejaFa fam´ılia

de todos os pares (A,A) tais que ; 6= A⇢X e (A,A) ´e um conjunto bem

ordenado. É fácil verificar que F é um conjunto parcialmente ordenado não

vazio se definimos (A,

(B,

(i)A⇢B;

(ii) sex, y2A, ent˜aox

yse e s´o sex

y;

(iii) sex2Aey2B\A, ent˜aoxBy.

Provaremos que cada cadeia emF´e limitada superiormente. De fato, seja

{(A

,

) : i2 I} uma cadeia em F, e sejaA = S

A

x, y 2 A

definamosxAysex, y2A

exAiy. É fácil verificar que a rela¸cãoAestá

bem definida, e ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial emA. Afirmamos que (A,

´e um conjunto bem ordenado. Seja; 6=B⇢A, e seja

J={j2I:B\A

6=;}.

Notemos queA coincide comAi em A

para cadai2 I. Como (A

,Ai)

´e bem ordenado para cada i2 I, segue que todos os conjuntosB\A

j2J, tem o mesmo elemento m´ınimo, que denotaremos porb0. Segue queb0´e

o elemento m´ınimo deB. Logo (A,

F.

Agora ´e claro que (A,

{(A

,

) :i2I}.

Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A,A).

Segue da maximalidade de (A,A) queA=X. Logo (X,X) ´e um conjunto

bem ordenado.

(c))(a): Seja{X

:i2I}uma fam´ılia n˜ao vazia de conjuntos n˜ao vazios.

Xuma rela¸c˜ao_emX com as seguintes propriedades:

(a)xxpara todox2X(_´e reflexiva);

(b) sexyeyx, entãox=y(_é antisimétrica);

(c) sexyeyz, ent˜aoxz(_´e transitiva).

Diremos que_é umarela¸cão de ordem total se além de verificar (a), (b) e

parcial em_P(X).

Demonstra¸c˜ao.(b)₎(c): SejaXum conjunto n˜ao vazio. Seja_Fa fam´ılia

de todos os pares (A,A) tais que _{; 6}= A⇢X e (A,A) ´e um conjunto bem

ordenado. É fácil verificar que _F é um conjunto parcialmente ordenado não

⁽B,

Provaremos que cada cadeia em_F´e limitada superiormente. De fato, seja

{⁽A

) : i2 I} ^{uma cadeia em} F^{, e seja}A = ^S

exAiy. É fácil verificar que a rela¸cão_Aestá

´e um conjunto bem ordenado. Seja_{; 6}=B⇢A, e seja

J=_{j2I:B\A

6=_;_}.

Notemos que_A coincide com_Ai em A

F^.

{⁽A

) :i2I}^.

Pelo lema de Zorn, _F possui pelo menos um elemento maximal (A,A^).

(c)₎(a): Seja_{X

Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordena¸c˜ao para^S

f2^Q

(a)₎(b): Esta ´e a implica¸c˜ao mais dif´ıcil de provar. SejaX um conjunto

Seja_X a fam´ılia de todas as cadeias deX. Ent˜ao_X ´e um conjunto

A estratégia da demonstra¸cão é trabalhar com a fam´ılia de conjuntos_X, que

parcialmente ordenado abstratoX. Depois de provar que_Xpossui um elemento

O primeiro passo ´e caracterizar os elementos maximais de _X. Para cada

C=_{x2X:C[{x}2X }.

Pelo axioma da escolha, existe uma fun¸c˜ao f : _P(X)_{\ {}_;_} _! X tal que

f(A)₂Apara cadaA2P⁽X)_{\ {}_;_}.

Sejag:_X_!_X definida por:

g(C) =C[{f( ˆC\C)_} se C6= ˆC.

A fun¸cãogestá bem definida, pois seC6^{= ˆ}C, entãof( ˆC\C)₂C^ˆ\C, e portanto

C[{f( ˆC\C)_}₂_X. Além disso,Cé maximal em_X se e só seg(C) =C.

Diremos que uma fam´ılia_T _⇢_X ´e umatorre se:

(i)_{; 2}_T;

(ii) seC2T^{, ent˜ao}g(C)₂_T;

(iii) se_Cé uma cadéia em_T, então^S_C₂_T.

É claro que_Xé uma torre. É claro que a interse¸cão de uma fam´ılia de torres

é uma torre. Seja_T0 a interse¸cão de todas as torres de_X. Então_T0é a menor

torre de_X. Nosso pr´oximo objetivo ´e provar que_T

´e uma cadeia em_X. Isto

Para provar que_T

compar´aveis em_T0 formam uma torre.

É claro que _;é comparável. É claro também que se _C é uma cadeia de

conjuntos comparáveis, então^S_C é comparável. O mais dif´ıcil vai ser provar

eD⇢C,D6⁼C, ent˜aog(D)_⇢C. Como _T

torre,g(D)₂_T

. ComoC´e compar´avel, tem-se queg(D)_⇢C ouC⇢g(D),

U⁼{D2T

:D⇢C ou g(C)_⇢D}.

Afirmamos que _U é uma torre. É claro que _{; 2} _U. É claro também que

se_D é uma cadeia em _U, então ^S_D ₂ _U. Falta provar que se D 2U^{, então}

g(D)₂_U. H´a trˆes possibilidades:

(i) D ⇢ C, D 6= C. Neste caso j´a sabemos que g(D) _⇢ C, e portanto

g(D)₂_U.

(ii)D=C. Neste casog(D) =g(C), e portantog(D)₂_U.

(iii)g(C)_⇢D. Neste casog(D) D g(C), e portantog(D)₂_U.

Como _U ´e torre e _U _⇢ _T

, segue que_U = _T

= _U,

tem-se queD⇢C⇢g(C) oug(C)_⇢D. Logog(C) ´e compar´avel.

Temos provado assim que os conjuntos compar´aveis de_T