Teoremas de Rolle e Lagrange Corol´ arios

4.20 Considere os seguintes subconjuntos de R:

A =_{{x ∈ R : 5|x + 1| ≥ 11 + 3x},} Bn = 0,1 n (n_{∈ N}1), C ={x ∈ R+_{: log x} ≤ 1}, D =∩n∈N1Bn.

(Note que D ´e o conjunto dos n´umeros reais que pertencem a todos os Bn.)

1. Mostre que A = ]_{− ∞, −2] ∪ [3, +∞[.}

2. Indique, se existirem em R, o m´aximo, o m´ınimo, o supremo e o ´ınfimo dos conjuntos A, C e D.

3. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas cada uma das proposi¸cões seguintes dando um exemplo sempre que afirmar que a proposi¸cão é falsa e jutificando abreviadamente sempre que afirmar que a proposi¸cão é verdadeira:

a) Toda a sucess˜ao crescente de termos em A_{∩ R}− _{´e convergente (em R).}

b) Toda a sucess˜ao (xn) tal que xn∈ Bn para qualquer n∈ N1, ´e convergente (em R).

c) Sejam x0 ∈ A ∩ R− e y0 ∈ A ∩ R+. Toda a fun¸c˜ao cont´ınua em A tal que f (x0) < 0 e

f (y0) > 0, tem pelo menos um zero.

d) Toda a fun¸c˜ao cont´ınua em C_{∪ D tem m´aximo.}

e) Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em R tal que f (0) = 0 e f 1

n = 0 para qualquer n ∈ N1.

Ent˜ao f0 tem, para cada n_{∈ N}1, pelo menos um zero em Bn.

(Grupo I do Exame de 1a ´

Epoca de 26/1/96)

4.21 Considere a fun¸c˜ao F definida em R da forma seguinte:

F (x) = (

1−x, se x < 0,

arctg x, se x≥ 0.

a) Sendo a < 0 e b > 0, calcule F0_{(a) e F}0_{(b) e escreva equa¸c˜}_{oes das tangentes ao gr´}_{afico de F}

nos pontos de abcissas a e b. b) Justifique que F0_{(0) = 1.}

c) Utilize os resultados dea) eb) para justificar que F n˜ao tem extremos locais.

(Pergunta 1 do Teste de 22/4/78)

4.22 Sendo f uma fun¸cão real definida em R, designe-se por Γ o gráfico de f num dado referencial (ortonormado) e por ϕ a fun¸cão definida pela forma seguinte: para cada x _{∈ R, ϕ(x) é igual à} distância da origem ao ponto de Γ cuja abcissa é x.

1. Exprima ϕ(x) (em fun¸cão de f (x) e x) por meio de uma fórmula e aproveite-a para justificar que ϕ é cont´ınua em qualquer ponto em que f o seja; mostre, por meio de um exemplo, que ϕ pode ser cont´ınua num ponto de descontinuidade de f .

4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROL ÁRIOS. 2. Reconhece-se facilmente que, se f for cont´ınua em R, ϕ tem m´ınimo (absoluto); sem demons- trar este resultado, aproveite-o para provar que, qualquer que seja a fun¸cão f diferenciável em R, a equa¸cão

x + f (x)f0(x) = 0

tem pelo menos uma raiz real. [Sugest˜ao: Considere a fun¸c˜ao (ϕ(x))2_.]

(Grupo IVb do Exame Final de 10/5/79)

4.23 Sendo f uma fun¸cão diferenciável num intervalo I que contenha os pontos_{−1 e 1, considere} a fun¸cão ϕ : R_{→ R definida por}

ϕ(x) = f (cos x)f (sen x).

Calcule ϕ0_{(x) e mostre que, em qualquer ponto (a, b) do gr´}_{afico de ϕ tal que tg a = 1, a tangente}

a esse gráfico é horizontal. Admitindo que f era duas vezes diferenciável em I, o que poder´ıamos dizer sobre o número de ra´ızes da equa¸cão ϕ00_{(x) = 0?}

(Grupo IVa do Teste de 7/4/79)

Resolu¸c˜ao:

ϕ0(x) = f0(cos x)(_{− sen x)f(sen x) + f(cos x)f}0(sen x) cos x A condi¸c˜ao tg a = 1 significa sen a = cos a e portanto

ϕ0(a) = f0(sen a)(_{− sen a)f(sen a) + f(sen a)f}0(sen a) sen a = 0,

ou seja, a tangente ao gráfico de ϕ no ponto de abcissa a é horizontal. A fun¸cão ϕ0 _{anula-se nos}

pontos a tais que tg a = 1 ou seja, nos pontos da forma π₄ + kπ onde k _{∈ Z. Para cada k ∈ Z} temos ent˜ao que ϕ00_ter´_{a que se anular em ]π/4 + kπ, 5π/4 + kπ[. Logo, a equa¸c˜}_{ao ϕ}00_{(x) = 0 tem}

infinitas ra´ızes.

4.24 Seja g uma fun¸cão três vezes diferenciável em R, a, b e c três números reais tais que a < b < c. Prove que, se g tem extremos locais (máximos ou m´ınimos) em cada um dos pontos a, b e c, a equa¸cão g000_{(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. Indique um intervalo que contenha essa raiz.}

(Pergunta 1b da Prova de 19/7/71)

Resolu¸cão: Se x0é um extremo local de g é porque g0(x0) = 0. Logo g0(a) = g0(b) = g0(c) = 0.

Pelo teorema de Rolle, existem α_{∈ ]a, b[ e β ∈ ]b, c[ tais que g}00_{(α) = 0 e g}00_{(β) = 0; de novo pelo}

teorema de Rolle existe γ_{∈ ]α, β[ tal que g}000_{(γ) = 0. A maior precis˜}_{ao para γ ´e: γ}_{∈ ]a, c[.}

4.25 Sendo ϕ : ]0, +_{∞[→ R uma fun¸cão indefinidamente diferenciável verificando a condi¸cão} ∀r,s∈N1 ϕ(r) = ϕ(s),

prove que, para todo o natural n, a equa¸c˜ao ϕ(n)_{(x) = 0 tem infinitas ra´ızes. Para cada k}

∈ N1

indique um natural p tal que possa garantir-se a existˆencia de uma raiz da equa¸c˜ao ϕ(k)_{(x) = 0}

no intervalo ]1, p[; justifique a resposta.

(Pergunta 4a do Teste de 22/4/78)

4.26 Mostre que, se a fun¸c˜ao f definida em R por f (x) = a0xn+ a1xn−1+· · · + an−2x2 tem um

zero positivo, isto é, se existe b > 0 tal que f (b) = 0, então a segunda derivada de f terá pelo menos um zero no intervalo ]0, b[. Justifique cuidadosamente a resposta.

(Pergunta 1b do Exame Final (Ponto no

4.27 Seja g uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b], diferenci´avel em ]a, b[ e tal que g(a) = g(b) = 0 e g(x)_{6= 0,} _∀_{x∈ ]a,b[}. Seja ainda h(x) = g0_{(x)/g(x), para todo o x}_{∈ ]a, b[. Mostre que h(]a, b[) = R.}

[Sugestão: Dado α_{∈ R, para provar que existe c ∈ ]a, b[ tal que h(c) = α, aplique (justificando} que pode fazê-lo) o Teorema de Rolle à fun¸cão g(x)e−αx_{, no intervalo [a, b].]}

(Pergunta 4a∗ do Exame Final de 6/5/78)

Resolu¸cão: Há que provar que h : ]a, b[ → R é sobrejectiva, ou seja, que dado α ∈ R existe c _{∈ ]a, b[ tal que h(c) = α, ou ainda, g}0_{(c)/g(c) = α. Ora G(x) = g(x)e}−αx _{é cont´ınua em [a, b],}

diferenci´avel em ]a, b[ e anula-se em a e em b, logo existe c _{∈ ]a, b[ tal que G}0_{(c) = 0. Como}

G0_{(x) = (g}0_(x)_{− αg(x))e}−αx _{isso significa que g}0_(c)_{− αg(c) = 0 ou g}0_{(c)/g(c) = α.}

4.28 Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel em ]0, 1[ e tal que f 1 n + 1 = 0, _∀n∈N1

Diga, justificando, se ´e verdadeira ou falsa cada uma das proposi¸c˜oes seguintes1_:

a) Para qualquer n_{≥ 2, a fun¸c˜ao f tem m´aximo no intervalo}h 1 n+1,

1 n

i . b) A fun¸c˜ao f ´e limitada em ]0, 1[.

c) A fun¸c˜ao f0 _{tem infinitos zeros em ]0, 1[.}

(Pergunta 4 do Grupo I do Exame de 2a ´

Epoca de 7/2/97)

4.29 Sendo f uma fun¸cão indefinidamente diferenciável em R, suponha que existe uma sucessão xn, estritamente decrescente e tal que:

lim xn = 0 e f (xn) = 0, ∀n∈N.

1. Prove que, qualquer que seja o inteiro k_{≥ 0, f}(k)_{(0) = 0.}

2. Dê um exemplo de uma fun¸cão, distinta da fun¸cão nula, que verifique todas as condi¸cões referidas no enunciado.

(Grupo IIIc do 1o

Teste de 21/6/80)

4.30 Seja φ uma fun¸cão diferenciável no intervalo ]0, 1[, verificando a condi¸cão φ 1 n + 1 = φ 1 n + 2

, para todo o inteiro n > 0. Supondo que existe o lim_x→0φ0_{(x), indique, justificando, o valor deste limite.}

(Pergunta 1 do Grupo IV do Exame de 2a ´

Epoca de 24/2/95)

4.31 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo aberto que contenha os pontos 0 e 1 e tal que, para todo o n_{∈ N}1,

f (1/n) = 3₋ 1 n2.

Justificando cuidadosamente todas as respostas:

1_{Nota: Sempre que afirme que uma proposi¸c˜}_{ao ´e falsa dˆe um exemplo que o comprove. Sempre que afirme que}

4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROL ´ARIOS. 1. Calcule f (0).

2. Prove que o contradom´ınio de f cont´em o intervalo [2, 3].

3. Supondo agora, suplementarmente, que f é indefinidamente diferenciável nalguma vizinhan¸ca da origem, determine f(k)_{(0) para todo o k} _{∈ N e indique se o ponto 0 é ou não}

ponto de extremo de f .

[Sugestão: poderá ser-lhe útil considerar a fun¸cão ϕ(x) = f (x) + x2

− 3]

(Grupo IVb do Exame Final de 4/5/79)

4.32 Seja φ uma fun¸c˜ao diferenci´avel em R tal que φ(n) = (−1)n_n

∀n ∈ N. Prove que n˜ao existe o limite limx→+∞φ0(x).

[Sugest˜ao: Pode ser-lhe ´util aplicar o teorema de Lagrange.]

(Pergunta 2 do Grupo IV do 2o

Exame de 6/2/95)

4.33 Seja (xn) uma sucess˜ao estritamente crescente, de termos positivos, e

A =_{xn : n∈ N1}.

Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas cada uma das proposi¸cões seguintes: a) Se A é um conjunto majorado, toda a subsucessão de (xn) é convergente (em R).

b) A s´erieP+∞

n=1 xn

n ´e convergente.

c) Seja f uma fun¸cão cont´ınua em R e suponha que A é um conjunto majorado. Então existe (em R) lim f (xn).

d) Seja f uma fun¸cão cont´ınua em R, tal que f (xn) = (−1)n. Então a equa¸cão f (x) = 0 tem

infinitas solu¸c˜oes.

e) Seja f uma fun¸cão diferenciável em R, tal que f (xn) = f (xm) para quaisquer m, n∈ N1. Então

a equac˜ao f0_{(x) = 0 tem infinitas solu¸c˜}_oes.

(Grupo I do Exame de 2a ´

Epoca de 28/2/96)

4.34 Prove que, se g é uma fun¸cão diferenciável em R e se a fun¸cão g0 _{é injectiva (isto é}_∀ x1,x2∈R

x16= x2⇒ g0(x1)6= g0(x2)) ent˜ao nenhuma tangente ao gr´afico de g tem mais de um ponto comum

com esse gráfico [Sugestão: use o teorema de Lagrange]. Mostre ainda que se alguma tangente ao gráfico de uma fun¸cão ψ com 2a_{derivada cont´ınua em R intersecta o gr´}_{afico de ψ em dois pontos}

distintos, ent˜ao a equa¸c˜ao ψ00_{(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real.}

(Grupo IVb do Teste de 10/4/79)

4.35 Sendo I um intervalo de R e f : I→ R, diz-se que x0∈ I ´e um ponto fixo de f sse f(x0) = x0.

Supondo que f ´e indefinidamente diferenci´avel em I mostre que: a) Se f tem dois pontos fixos distintos, existe c1∈ I tal que f0(c1) = 1.

b) Se f tem n pontos fixos distintos (n > 2), existe c2∈ I tal que f(n−1)(c2) = 0.

(Grupo III3 da Repeti¸c˜ao do 1o

Teste de 21/6/80)

a) Mostre que existe um x_{∈ [0, 1] tal que f(x) = x.}

b) Supondo agora adicionalmente que f ´e diferenci´avel em ]0, 1[ com f0_(x) _{6= 1 para qualquer}

x_{∈ ]0, 1[, prove que a equa¸c˜ao anterior tem uma s´o raiz naquele intervalo.}

(Grupo IV do 2o

Exame de 9/2/94)

4.37 Seja f uma fun¸cão diferenciável em R tal que f (0) = 0 e cuja derivada é uma fun¸cão crescente. Demonstre que a fun¸cão g(x) = f (x)/x é crescente em R+_.

[Sugest˜ao: Aplique o teorema de Lagrange a f num intervalo adequado para mostrar que g0_{(x) > 0 para qualquer x}_{∈ R}+_.]

(Grupo IV do 1o

Exame de 26/1/94)

4.38 Use o teorema de Lagrange para mostrar que_{| sen x−sen y| ≤ |x−y| para quaisquer x, y ∈ R.}

(Pergunta 2 do Grupo III do 2o

Exame de 9/2/94)

4.39 Uma fun¸cão f : R→ R diz-se lipschitziana se e só se verifica a condi¸cão: ∃c∈R∀x,y∈R |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|.

Utilize o teorema de Lagrange para provar que se f : R_{→ R é diferenciável e f}0 _{é limitada em R,}

f é lipschitziana. Dê exemplos que mostrem que a diferenciabilidade de f em todos os pontos de Rnão é condi¸cão necessária, nem suficiente, para que f seja lipschitziana.

(Pergunta 4b do Teste de 22/4/78)

4.40 Supondo que f ´e uma fun¸c˜ao com derivada cont´ınua em todos os pontos do intervalo [a, b] (a, b_{∈ R, a < b), prove que existe K ∈ R tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ [a, b], |f(x) − f(y)| ≤} K_{|x − y|.}

(Grupo IIIa do Exame Final de 18/9/80)

4.41 Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua e positiva no intervalo [a, b] e diferenci´avel em ]a, b[. Mostre que existe um ponto c∈ ]a, b[ tal que

f (b) f (a) = e

(b−a)f 0(c)f(c)

(Pergunta 1b do Exame Final (Ponto no

2) de 6/7/71)

Resolu¸cão: Como f é positiva, h(x) = log(f (x)) está definida em [a, b]; como f é cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[, o mesmo se passa com log(f (x)), pois log : R+

→ R ´e cont´ınua e diferenci´avel em R+_{. Pelo teorema de Lagrange:}

h(b)_{− h(a) = h}0_(c)(b_{− a), para algum c ∈ ]a, b[.}

Ora como h0_{(x) = f}0_{(x)/f (x) isto significa}

log(f (b))− log(f(a)) = f_{f (c)}0(c)(b− a) ou ainda logf (b) f (a) = log e(b−a)f 0f(c)(c) . Como log : R+

→ R ´e injectiva conclui-se que f (b) f (a) = e

4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROL ÁRIOS. 4.42 Seja f uma fun¸cão diferenciável no intervalo [1, +_{∞[. Prove que, se f}0_{(x) é limitada no}

mesmo intervalo, f (x)/x também o é. [Sugestão: aplique o teorema de Lagrange, no intervalo [1, x]].

(Pergunta 4b do Exame Integrado (Ponto no

5) de 25/10/71)

4.43 Sejam f e g duas fun¸cões diferenciáveis no intervalo ]a, +∞[, cont´ınuas no ponto a e verificando as condi¸cões:

i) f (a) < g(a).

ii) g ´e majorada em ]a, +∞[. iii) lim

x→+∞f (x) = +∞.

Prove que s˜ao verdadeiras as proposi¸c˜oes: 1. Existe um α tal que f (α) = g(α);

2. Qualquer que seja β existe um γ > β tal que f0(γ) > g0(γ).

Mostre ainda, por meio de um exemplo adequado, que n˜ao pode garantir-se a existˆencia de um δ tal que f0_{(x) > g}0_{(x) para todo o x > δ.}

(Grupo IVb do Exame Final de 21/9/79)

4.44 Seja f uma fun¸c˜ao definida no intervalo ]a, +_{∞[, diferenci´avel em todos os pontos desse} intervalo e tal que

f (x)f0(x) < 0 _∀x>a.

Prove que existem limx→af (x) e limx→+∞f (x) sendo o segundo limite necessariamente finito.

Sê-lo-á também o primeiro?

(Pergunta 4b do Exame Final (Ponto no

1) de 1/10/71)

Resolu¸cão: A condi¸cão f (x)f0_{(x) < 0 significa que f (x) e f}0_{(x) têm sinais contr´}_{arios. Suponha-}

mos por exemplo que f (x) > 0 e f0_{(x) < 0 para todo o x > a. A fun¸c˜}_{ao f seria decrescente e}

minorada em ]a, +_{∞[; o lim}_x→+∞f (x) seria ent˜ao α = inf

x>af (x) = inf f (]a, +∞[)

e α seria um real pois o conjunto f (]a, +_{∞[) ⊂ ]0, +∞[ sendo minorado tem o seu ´ınfimo em R.} Mostremos ent˜ao que limx→+∞f (x) = α ou seja, que dado ε > 0 existe x0tal que se x > x0se tem

|f(x) − α| < ε. Como f(x) > α = infx>af (x) pode suprimir-se o valor absoluto. Por defini¸c˜ao de

´ınfimo, dado ε > 0 existe x0> a tal que α≤ f(x0) < α + ε e em particular f (x0) < α + ε; como f

´e decrescente, se x > x0 vem f (x)≤ f(x0) < α + ε e portanto, para x > x0 ter-se-´a: f (x)− α < ε.

Ainda na hip´otese de ser f (x) > 0 e f0(x) < 0 para x > a, vamos mostrar que limx→af (x)

existe2em R. Seja β = supx>af (x), podendo ser β = +∞ se f n˜ao for majorada. Se β ∈ R

mostra-se que limx→af (x) = β como anteriormente, utilizando a no¸c˜ao de supremo: dado ε > 0

existe x0 tal que β− ε < f(x0) ≤ β. Logo β − ε < f(x0) e para x tal que a < x < x0 vir´a

β_{− ε < f(x) pois f é decrescente; quer dizer que dado ε > 0 se terá β − f(x) < ε desde que} x_{− a < x}0 o que significa que limx→a−f (x) = β. Como f só está definida para x > a,

lim

x→a−f (x) = limx→af (x).

Se β = supx>af (x) = +∞ tamb´em limx→af (x) = +∞ pois dado M existe x0 > a tal que

f (x0) > M já que f não é majorada e portanto para x tal que a < x < x0 virá f (x) > M pois f

´e decrescente.

4.45 Sejam ϕ e ψ duas fun¸cões diferenciáveis em R, verificando as condi¸cões: x(ϕ0(x)_{− ψ}0(x)) > 0 _∀_x6=0 e ϕ(0) > ψ(0).

Prove que, para todo o x∈ R, ϕ(x) > ψ(x). Mostre ainda, por meio de um exemplo que retirando apenas a hip´otese ϕ(0) > ψ(0), poderia ter-se ϕ(x) < ψ(x) para todo o x∈ R.

(Pergunta 4b do Ponto no

3 de 1/10/71)

4.46 Seja f∈ C1_{(R) tal que}

∀x,y∈R x < y =⇒ f0(x) > f0(y). (4.1)

a) Dˆe um exemplo de uma fun¸c˜ao f ∈ C1_{(R) satisfazendo a (}_4.1_{) e tal que}

lim

x→−∞f (x) = limx→+∞f (x) =−∞.

b) Prove que n˜ao existe nenhuma fun¸c˜ao f ∈ C1_{(R) satisfazendo a (}_4.1_{) e tal que}

lim

x→−∞f (x) = limx→+∞f (x) = +∞.

c) Prove que n˜ao existe nenhuma fun¸c˜ao f _{∈ C}1_{(R) satisfazendo a (}_4.1_{) e tal que}

lim

x→−∞f (x) = a e x→+∞lim f (x) = b

onde a e b designam dois n´umeros reais.

(Grupo IV do Exame de 1a ´

Epoca de 8/1/97)

4.47 Sendo f e g fun¸cões diferenciáveis em R, verificando as condi¸cões: f (0) = g(0) e f0(x) > g0(x) ∀x∈R,

prove que x(f (x)_{− g(x)) > 0 para todo o x ∈ R \ {0}.}

(Grupo IIc do 1o

Teste de 21/6/80)

4.48 Seja f uma fun¸c˜ao definida numa vizinhan¸ca de 0, Vε(0), diferenci´avel em todos os pontos

dessa vizinhan¸ca excepto possivelmente no ponto 0 e tal que xf0_{(x) > 0,}_{∀x ∈ V}

ε(0)\ {0}.

1. Prove que, se f é cont´ınua no ponto 0, f (0) é um extremo de f e indique, justificando, se é um máximo ou um m´ınimo; no caso de f ser diferenciável no ponto 0, qual será o valor de f0_{(0)? Porquê?}

2. Mostre por meio de um exemplo que, sem a hip´otese de continuidade de f no ponto 0, n˜ao pode garantir-se que f (0) seja um extremo de f .

(Grupo IVb do Teste de 24/4/79)

4.49 Seja ϕ a fun¸c˜ao definida em R por:

ϕ(x) = 1

1 +_|x|.

a) Indique o dom´ınio de diferenciabilidade de ϕ e fa¸ca um esbo¸co do seu gr´afico. 2_´

4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROL ÁRIOS. b) Para todo o a > 0 seja Ua o quadrilátero de vértices (a, 0), (a, ϕ(a)), (−a, 0), (−a, ϕ(−a)):

mostre que se trata de um rectˆangulo. De todos os rectˆangulos Ua (com a > 0) determine

aquele que tem área máxima ou, caso não exista tal rectângulo, o supremo das áreas dos rectângulos Ua.

(Grupo IVa e b do Exame de 23/3/77)

Resolu¸c˜ao:

a) ϕ é claramente diferenciável para x > 0 sendo então: ϕ0(x) = 1 1 + x 0 =₋ 1 (1 + x)2. Para x < 0 tem-se: ϕ0(x) = 1 1_{− x} 0 = 1 (1_{− x)}2. Para x = 0 tem-se lim x→0+ ϕ(x)_{− ϕ(0)} x = limx→0+ 1 1+|x|− 1 x = limx→0+− |x| x(1 +_|x|) =−1, lim x→0− ϕ(x)_{− ϕ(0)} x = limx→0−− |x| x(1 +|x|) = 1.

Logo ϕ0_{(0) n˜}_{ao existe. O dom´ınio de diferenciabilidade ´e pois R}_{\ {0}.}

Para esbo¸car o gr´afico3_{usamos os seguintes factos: ϕ ´e uma fun¸c˜}_{ao par, cont´ınua em R,}

decrescente e com derivada crescente em [0, +_{∞[ ; ϕ(0) = 1, ϕ}0

d(0) = −1, ϕ0e(0) = 1,

limx→+∞ϕ(x) = limx→−∞ϕ(x) = 0.

b) Basta observar que sendo P1, P2, P3, P4 os pontos (a, 0), (a, ϕ(a)), (−a, 0) e (−a, ϕ(−a)) se

tem: o segmento P1P2 é paralelo a P3P4 (pois são paralelos ao eixo dos yy já que P1, P2

têm a mesma abcissa a e P3, P4 têm a mesma abcissa −a), o segmento P1P3 é paralelo a

P2P4 (pois são paralelos ao eixo dos xx já que P1, P3 têm a mesma ordenada 0 e P2, P4 a

ordenada ϕ(a) = ϕ(−a)) e por serem os eixos dos xx e dos yy escolhidos perpendiculares (por hipótese). A área do rectângulo Ua é

A(a) = 2aϕ(a) = 2a 1 1 + a.

Se existisse um a0tal que A(a0) fosse máxima deveria ter-se A0(a0) = 0, pois A é diferenciável

em R+. Ora A0(a) = 2a 1 + a 0 =2(1 + a)− 2a (1 + a)2 = 2 (1 + a)2

e portanto nunca se anula. Não há pois nenhum Ua com área máxima. Por outro lado vê-se

que, por ser A0_{> 0, A ´e crescente e}

lim

a→+∞A(a) = lima→+∞

2a 1 + a= 2. Logo o supremo das áreas dos rectângulos Ua é 2.

PSfrag replacements y x 0 1 −10 10 ϕ(x) = _1+|x|1 U (a) a −a ϕ(a)

Figura 4.2: O gr´afico de ϕ no exerc´ıcio4.49.

4.50 Obtenha uma equa¸c˜ao da recta que passa pelo ponto (3, 1) e determine, com os eixos coordenados, um triˆangulo contido no 1o _{quadrante e de ´}_{area m´ınima.}

(Pergunta 3b do Exame Final de 6/5/78)

4.51 Seja P o ponto de coordenadas x0> 0 e y0> 0 num certo referencial cartesiano ortogonal.

Para cada recta r que contém P e não é paralela a nenhum dos eixos coordenados designem Ar e

Br os pontos de interseçcão de r com OX e com OY respectivamente. Seja dr a distância de Ar

a Br. Quais os extremos locais de dr?

[Sugestão: Se tiver dificuldade em resolver uma equa¸cão cujas ra´ızes são os pontos de estaci- onaridade, utilize o facto de um deles se obter imediatamente a partir do enunciado.]

(Pergunta 4 da Prova de 22/3/74)

4.52 De entre todos os rectângulos de área S, determine as dimensões daquele que admite o menor c´ırculo circunscrito.

(Grupo III2 da Prova de 19/9/77)

4.53 Mostre que o menor valor que pode ter o raio de uma esfera circunscrita a um cilindro com uma dada ´area lateral, S, ´e o produto de√2 pelo raio da base do cilindro.

(Grupo IV do Exame de 2a

epoca de 25/7/77)

Resolu¸cão: A área lateral de um cilindro de altura a e raio da base r é dada por 2πra. Por hipótese 2πra = S. Sendo R o raio da esfera tem-se, em razão da esfera circunscrever o cilindro: (a 2) 2_{+ r}2_{= R}2_{. Quer dizer:} R = r a 2 2 + r2₌ s _S 2πr 1 2 2 + r2₌ s S 4π 2 ₁ r2+ r2.

Vamos pˆor K = (_4πS )2_{. R ´e pois fun¸c˜}_{ao de r e s´}_{o poder´}_{a ser m´ınima no ponto r}

0 se R0(r0) = 0. Ora: R0(r) = K 1 r2 + r 2 12!0 = 1 2 K 1 r2 + r 2 −12 −K_r23 + 2r

4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINAÇ ÕES. e R0_{(r) = 0 s´}_{o é poss´ıvel se}_−K 2 r3+ 2r = 0 ou seja se r4= K ou r2= _4πS ou r =1₂ q S π. Para este valor r0de r, R(r), teremos: R(r0) r0 = q (S 4π)24 π S + 1 4 S π 1 2 q S π = q 1 4 S π + 1 4 S π 1 2 q S π = q 1 2 1 2 =q1 1 2 =√2.

Quer dizer que, para a esfera de raio m´ınimo (que ´e R(r0)), se ter´a R(r0) =√2r0.

4.54 Sendo g(x) = xex _{para todo o x}

∈ R e n ∈ N, determine o conjunto dos valores reais de x que verificam a condi¸c˜ao

g(n)(x) > 0.

Indique um intervalo no qual todas as derivadas g(n) _{sejam crescentes. Existir´}_{a algum intervalo}

no qual todas essas derivadas sejam decrescentes? Justifique a resposta.

(Pergunta 3b do Teste de 22/4/78)

No documento Exercicios de Analise Matematica I/II (IST/2003) (páginas 58-67)