3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
3.5. Teoria da Confiabilidade
O principal objetivo da análise de confiabilidade é quantificar a segurança da estrutura, considerando as incertezas existentes na resistência e nos carregamentos. Uma estrutura está sujeita a falha quando os carregamentos aplicados sobre ela acabam sendo maior que sua resistência.
Sejam a resistência R, e o carregamento S, variáveis aleatórias com distribuição de probabilidade conhecidas, a probabilidade de falha Pf, para R e S contínuas e estatisticamente
independentes, esta pode ser calculada através da equação (3.21) (Ang e Tang, 1984).
𝑃𝑓= 𝑃(𝑅 < 𝑆) = ∫ 𝐹𝑅(𝑠)𝑓𝑆(𝑆)𝑑𝑠 ∞
0
(3.21)
Onde 𝐹𝑅(𝑠) é a função distribuição acumulada da variável r e 𝑓𝑆(𝑠) é a função densidade de probabilidade da variável s.
As funções de densidade de probabilidade de 𝑓𝑅(𝑟) e 𝑓𝑆(𝑠) estão representadas na Figura 3-7. A sobreposição das curvas 𝑓𝑅(𝑟) e 𝑓𝑆(𝑠) representa uma medida qualitativa da probabilidade de falha. Quanto maior a região de sobreposição das curvas, maior é a probabilidade de falha do sistema. Observa-se o seguinte:
A região de sobreposição também depende do grau de dispersão entre 𝑓𝑅(𝑟) e 𝑓𝑆(𝑠), considerando ambas funções distribuições normais, em função dos respectivos desvios padrão, conforme ilustra a Figura 3-8. Assim sendo, a variação dos valores médios ou do desvio padrão de uma ou das duas curvas fazem variar a região de sobreposição.
Figura 3-8 - Efeito da posição relativa entre fR(r) e fS(s) em Pf.
Na Figura 3-9 nota-se que a região sobreposta depende das posições das curvas 𝑓𝑅(𝑟) e 𝑓𝑆(𝑠). Quando as duas curvas ficam mais afastadas, Pf diminui. Se as duas curvas ficam próximas Pf aumenta. A posição relativa entre 𝑓𝑅(𝑟) e 𝑓𝑆(𝑠) pode ser medida pela razão μR⁄ , que pode μS ser chamada de coeficiente de segurança central ou pela diferença (μS− μR) que significa margem de segurança.
Figura 3-9 – Efeito da dispersão entre fR(r) e fS(s) em Pf.
Devido a essa razão, qualquer medida correta de segurança ou confiabilidade deveria ser uma função das posições relativas de 𝑓𝑅(𝑟) e 𝑓𝑆(𝑠), como também de suas dispersões.
Nas seguintes figuras: Figura 3-8, Figura 3-9 e Figura 3-10 assume-se que as variáveis aleatórias R e S são estatisticamente independentes. Na maior parte das vezes, essas variáveis podem ser correlacionadas e, neste caso, a probabilidade de falha pode ser expressa em termos da função densidade de probabilidade conjunta,
𝑃𝑓 = ∫ [∫ 𝑓𝑅,𝑆(𝑟, 𝑠)𝑑𝑟 𝑠 0 ] ∞ 0 𝑑𝑠 (3.22) a confiabilidade correspondente é: 𝑃𝑓 = ∫ [∫ 𝑓𝑅,𝑆(𝑟, 𝑠)𝑑𝑠 𝑟 0 ] ∞ 0 𝑑𝑟 (3.23)
O problema anterior pode ser ainda formulado em termos da margem de segurança: 𝑀 = 𝑅 − 𝑆
onde 𝑀 é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade 𝑓𝑀(𝑚)
Portanto, o estado de falha da estrutura pode ser definido com (M < 0), enquanto o estado de segurança é (M > 0). O limite separando o estado de segurança e a falha é o estado limite definido pela equação M = 0. Logo, a probabilidade de falha poderá ser determinada por:
𝑃𝑓 = 𝑃[𝑀 < 0] = ∫ 𝑓𝑀(𝑚) ∞
0
𝑑𝑚 = 𝐹𝑀(0) (3.25)
Essa probabilidade pode ser representada pela Figura 3-10.
Figura 3-10 - Função densidade de probabilidade da margem de segurança M.
O cálculo da probabilidade de segurança, ou probabilidade de falha, necessita do conhecimento da distribuição fR(r) e fS(s), ou da distribuição conjunta fR,S(r,s). Na prática, essa
informação é frequentemente indisponível ou difícil de ser obtida por razões de dados insuficientes. Além disso, mesmo quando a distribuição requerida pode ser especificada, a avaliação exata da probabilidade, geralmente necessita de uma integração numérica das equações (3.21), (3.22), (3.23) e (3.25) o que pode ser impraticável; como uma alternativa prática, a distribuição normal equivalente pode ser escolhida para uma aproximação. (Ang e Tang, 1984)
Não raro, as informações disponíveis podem ser suficientes apenas para avaliar o primeiro e o segundo momento; nominalmente, o valor médio e variâncias das respectivas variáveis aleatórias (e, possivelmente, a covariância entre os pares de variáveis). Medidas práticas de segurança ou confiabilidade, entretanto, podem muitas vezes ser limitadas por funções desses
dois primeiros momentos. Sob essa condição, a implementação do conceito de confiabilidade pode ser limitada a uma formulação baseada sobre o primeiro e segundo momento das variáveis aleatórias – que é restrita para a formulação do segundo momento. Pode ser enfatizado que a abordagem de segundo momento consiste também com apresentação normal equivalente da distribuição não normal. (Ang e Tang, 1984)
Com a abordagem de segundo momento, a confiabilidade pode ser medida completamente com uma função de primeiro e segundo momento das variáveis do projeto; nominalmente chama- se de índice de confiabilidade, β, quando não há nenhuma informação sobre a distribuição de probabilidade; no entanto, se a forma apropriada das distribuições é prescrita, a probabilidade correspondente pode ser avaliada com base na distribuição normal equivalente. (Ang e Tang, 1984)
Seja a redução de variáveis
𝑅′= 𝑅 − 𝜇𝑅
𝜎𝑅 (3.26)
𝑆′= 𝑆 − 𝜇𝑆
𝜎𝑆 (3.27)
Figura 3-11 - Espaço da redução de variáveis R' e S'
No espaço da redução de variáveis, o estado de segurança e o estado de falha podem ser representados como mostra a Figura 3-11. Também, em termos da redução das variáveis, a equação do estado limite, M = 0, torna-se:
𝑅′𝜎
𝑅 − 𝑆′𝜎𝑆+ 𝜇𝑅 − 𝜇𝑆 = 0 (3.28)
que é a linha reta como mostra na Figura 3-11. A distância a partir da linha de falha (linear) até a origem é a própria medida de confiabilidade; essa distância, d, é calculada por geometria analítica como:
𝑑 = 𝜇𝑅 − 𝜇𝑆 √𝜎𝑅2− 𝜎
𝑆2 (3.29)
De fato, pode-se observar que para R e S normal, d é igual ao índice de segurança β; desse modo, a probabilidade de segurança é calculada:
𝑃𝐶 = Φ(𝑑) (3.30)
A confiabilidade de um sistema de engenharia pode envolver múltiplas variáveis. Em particular, podemos ter oferta e procura, e serem funções de várias outras variáveis. Para cada caso, o problema de oferta-demanda pode ser generalizado. Esta generalização é frequentemente necessária em engenharia, particularmente quando o problema pode ser formulado em termos de variáveis de projeto básicas. (Ang e Tang, 1984)
Segundo Ang e Tang (1984), em um sentido mais amplo a confiabilidade de um sistema de engenharia pode ser definida como a probabilidade de desempenhar a sua função pretendida, ou missão. O nível de desempenho de um sistema dependerá obviamente das propriedades do sistema. Neste contexto, e com o propósito de usar uma formulação generalizada, define-se a função desempenho ou função de estado limite,
𝑔(𝑋) = 𝑔(𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛) (3.31)
onde 𝑋 = (𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛) é um vetor das variáveis básicas de estado (ou projeto) do sistema, e a função g(X) determina o desempenho e o estado do sistema. Assim, os requisitos de desempenho limitantes podem ser definidos como g(X) = 0, que é o estado limite do sistema.
Então, tem-se que:
[𝑔(𝑋) > 0] = 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛ç𝑎 e [𝑔(𝑋) < 0] = 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎
Geometricamente, a equação do estado limite, g(X) = 0, é uma superfície n-dimensional que pode ser chamada de superfície de falha. Um dos lados desta superfície é o estado de segurança, g(X)>0, enquanto que o outro lado da mesma é o estado de falha, g(X)<0.
Por isso, se a função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis de projeto 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … , 𝑋𝑛 é 𝑓𝑋1,𝑋2,𝑋3,…,𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) a probabilidade do estado de segurança é
𝑃𝐶 = ∫ … ∫ 𝑓𝑋1,𝑋2,𝑋3,…,𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛)𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3… 𝑑𝑥𝑛 [𝑔(𝑋)>0]
(3.32)
Que pode ser escrito simplesmente como
𝑃𝐶 = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥 [𝑔(𝑋)>0]
(3.33)
A equação (3.33) é o volume da integral de 𝑓𝑋(𝑥) sobre a região de segurança 𝑔(𝑋) > 0. Reciprocamente, a probabilidade do estado de falha, ou a probabilidade de falha, será correspondente ao volume integral sobre a região de falha
𝑃𝑓 = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥 [𝑔(𝑋)<0]
(3.34)
O cálculo da probabilidade PC ou Pf através das equações anteriores, entretanto, é
geralmente uma tarefa complicada. Para fins práticos, métodos alternativos de avaliação de PC e Pf são necessários.