2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.2 Teoria da Quantidade de Movimento do Elemento de Pá – BEM
Algumas considerações iniciais quanto à aplicabilidade da metodologia BEM está na uniformidade de circulação de escoamento nas pás, ou seja, o fator de indução deve ser uniforme, caso contrário haverá interação radial e mudança da quantidade de movimento através dos elementos anelares das pás conforme Burton et al., 2001. A análise presume que não há rotação da turbina. Assim, o escoamento ao aproximar-se do rotor, sofre uma queda de pressão, a jusante do mesmo, causando a alteração da quantidade de movimento axial. As forças aerodinâmicas distribuídas ao longo das pás da turbina são responsáveis por essa mudança das quantidades de movimento lineares e angulares, os quais geram o trabalho desenvolvido pela turbina. Porém, para o desenvolvimento analítico destas trocas de energia se faz o uso da teoria do elemento de pá, a qual fragmenta a avaliação em comprimentos finitos da mesma, permitindo que as características peculiares de cada elemento da pá sejam avaliadas, resultando finalmente na determinação da capacidade teórica da turbina.
As forças desenvolvidas sobre os elementos de pá são calculadas através das características bidimensionais do perfil, usando o ângulo de ataque da velocidade resultante incidente no plano da seção transversal do elemento. Os efeitos tridimensionais, bem como a velocidade longitudinal ao longo do elemento são desconsiderados. Logo, conhecendo-se as características dos coeficientes de arrasto e sustentação para uma faixa de ângulos de ataque, as forças nos elementos das pás podem ser determinadas. A Figura 2.2 apresenta uma vista isométrica de um rotor da turbina com um corte de seção transversal de uma das pás.
Figura 2.2 – Vista isométrica do rotor da turbina.
Figura 2.3 - Diagrama de velocidades (a) e forças (b) na seção B-B. a)
O ângulo θ compreende a posição da linha de corda do elemento analisado com o plano do disco atuador (plano de rotação), enquanto que o ângulo ϕ está posicionando a velocidade relativa ao plano do disco podendo ser descrito como o ângulo de entrada do escoamento. Já o ângulo de ataque α é obtido pela diferença destes dois ângulos.
Conforme apresentado na Figura 2.3(a) a velocidade relativa no plano do elemento é obtida por: 𝑈𝑟 = √𝑈∞2(1 − 𝑎)2+ Ω2𝑟2(1 + 𝑎)2 ( 2.16) onde: Ur: velocidade relativa; Ω: velocidade angular; 𝑟: raio no elemento.
A força de sustentação ao longo do elemento de comprimento dr em cada pá é localizada perpendicularmente a direção da velocidade relativa sendo obtida pela Equação 2.17: 𝐹𝑙 = 1 2𝜌𝑈𝑟 2𝑐 𝐶 𝑙𝑑𝑟 ( 2.17) sendo: 𝐹𝑙: força de sustentação;
𝑐: comprimento da corda no elemento; 𝐶𝑙: coeficiente de sustentação do perfil; 𝑑𝑟: diferencial de raio.
A força de arrasto ao longo do elemento de comprimento dr tem direção paralela à velocidade relativa, sendo determinada por.
𝐹𝑑 =1 2𝜌𝑈𝑟 2𝑐 𝐶 𝑑𝑑𝑟 2.18 onde:
𝐶𝑑: coeficiente de arrasto do perfil.
O método BEM é baseado na avaliação independente de cada elemento, ou seja, a responsabilidade pela mudança dos movimentos é individual, sendo gerada a partir do escoamento que passa no anelar varrido do elemento em análise. Assim assume-se que não há interação radial entre elementos, esta condição somente é verdadeira se o fator de indução é radialmente uniforme. Em situações experimentais esta situação raramente ocorre, porém segundo Lock (1924, apud Burton et al. 2001) esta independência radial mostrou-se aceitável no estudo de escoamento através de hélices de propulsores. As componentes das forças aerodinâmicas axial e tangencial em “n” elementos de pá são determinadas pelas Equações 2.19 e 2.20 respectivamente: (𝐹𝐿𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐹𝐷𝑠𝑒𝑛𝜙) =1 2𝜌𝑈𝑟 2𝑛𝑐(𝐶 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐶𝑑𝑠𝑒𝑛𝜙)𝑑𝑟 ( 2.19) (𝐹𝐿𝑠𝑒𝑛𝜙 − 𝐹𝐷𝑐𝑜𝑠𝜙) =1 2𝜌𝑈𝑟 2𝑛𝑐(𝐶 𝑙𝑠𝑒𝑛𝜙 − 𝐶𝑑𝑐𝑜𝑠𝜙)𝑑𝑟 ( 2.20) onde:
n: número de elementos ao longo da pá.
De acordo com Wood, 2011, experiências demostram que análises típicas do desempenho de microturbinas podem ser obtidas com 10 a 20 elementos de pá. A ação da força axial ao longo do elemento da pá ocasiona a mudança do movimento axial em cada anel varrido por este elemento e, a partir da queda de pressão que surge na esteira a jusante da pá, tem-se a variação do movimento angular. Há, então, a ação de dois fatores de indução do escoamento: um apresentado como axial (a) e outro que surge logo após o giro do rotor, devido à força tangencial do elemento de pá, denominado fator de indução tangencial (a’). Estes fatores de indução do escoamento são obtidos mediante processo iterativo de cálculo, baseado nas Equações 2.21 e 2.22:
𝑎 1 − 𝑎 = 𝜎𝑟 4𝑠𝑒𝑛𝜙2[𝐶𝑥− 𝜎𝑟 4𝑠𝑒𝑛2𝜙𝐶𝑦2] ( 2.21)
𝑎 1 − 𝑎′=
𝜎𝑟 𝐶𝑦 4 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅
( 2.22)
As variáveis 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦 são componentes ortogonais no plano do rotor devido aos coeficientes de arrasto e sustentação, dados por:
𝐶𝑥= 𝐶𝑙cos ∅ + 𝐶𝑑sin ∅ (2.23)
𝐶𝑦 = 𝐶𝑙sen ∅ − 𝐶𝑑cos ∅ (2.24)
A solidez local (𝜎𝑟) é a razão do comprimento total das cordas dos perfis pelo comprimento da circunferência em um determinado raio da pá, sendo obtida pela Equação 2.25. Para os perfis próximos ao cubo da pá nas pequenas turbinas eólicas os ângulos de torção são tipicamente superiores a 30°. Desse modo, pode-se concluir dos estudos de Wood, 2011, que a introdução do conceito de solidez efetiva irá contribuir para a análise desenvolvida neste trabalho. A solidez efetiva local (σe) projeta o comprimento ocupado pela corda das “N” pás ao plano de rotação e o relaciona com o comprimento de circunferência no referido raio em análise podendo ser determinado pela Equação 2.26:
𝜎𝑟 = 𝑁 𝑐 2𝜋𝑟 ( 2.25) 𝜎𝑒 =𝑁 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝜋𝑟 = 𝜎𝑟cos 𝜃 ( 2.26)
onde N é o número de pás da turbina, c é o comprimento de corda local, r é o raio local e θ é o ângulo de torção local.
A razão de aspecto da pá (AR) relaciona a corda média ao longo dos elementos com o raio da turbina classificando assim a esbeltez do projeto da pá. A Equação 2.27 determina a razão de aspecto da pá da turbina.
𝐴𝑅 = 𝑟𝑡 𝑐𝑚
( 2.27) sendo 𝑟𝑡 o raio da turbina e 𝑐𝑚 a corda média ao longo dos elementos.
A determinação do torque desenvolvido pela turbina é dependente do cálculo dos fatores de indução obtidos mediante iteração das Equações 2.21 e 2.22. O motivo para tal é que as características bidimensionais do perfil não são funções lineares do ângulo de ataque, de modo que o torque por elemento de pá (𝑑𝑄) é obtido a partir da Equação 2.28:
𝑑𝑄 =1 2𝜌𝑈𝑡
2𝑐𝑁(𝐶
𝑙𝑠𝑒𝑛𝜙 − 𝐶𝑑𝑐𝑜𝑠𝜙)𝑟𝑑𝑟
( 2.28)