A teoria dos conjuntos é necessária para o entendimento de toda a matemática a partir do 6o
ano. Neste capítulo faremos uma rápida introdução básica sobre o assunto.
O conjunto dos números naturais
Conjunto é uma coleção de elementos. Um dos primeiros conjuntos com o qual lidamos é sem dúvida o conjunto dos números naturais, representado por N. Este é um conjunto infinito. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ....}
O conjunto N pode ser representado em uma reta numerada ou reta numérica. Os números são dispostos em uma sequência crescente. Quanto mais à direita nessa reta, maior é o número.
Reta numérica que representa o conjunto dos números naturais
O conjunto dos números racionais positivos
O conjunto Q+ é o conjunto dos números racionais positivos. Este conjunto tem todos os números naturais e mais todas as frações. Assim como o conjunto N, o conjunto Q+ também é infinito, porém é um tipo de infinito muito mais denso. Por exemplo, entre dois simples números naturais, 0 e 1, existem infinitos números racionais positivos. Apenas para citar alguns:
1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/100, 2/3, 2/5, 2/7, 2/9, ..., 3/4, 3/5, 3/7, 3/8, 3/10, ..., 21/37, 125/1042, ....
Exemplos de conjuntos
Nem só de número vivem os conjuntos. Podemos ter conjuntos de qualquer tipo de objeto: Exemplos:
Conjunto dos dias da semana = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}
Conjunto das notas musicais = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}
Conjunto das frutas de uma cesta = {banana, laranja, maçã, pêra, abacate}
Conjunto dos parafusos de um motor = {parafuso-1, parafuso-2, parafuso-3, ..., parafuso-n}
Pertinência
Quando um elemento está dentro de um conjunto, dizemos que este elemento pertence ao conjunto. O símbolo matemático para a pertinência é .
Exemplos: 3 N
bola {bola, boneca, bicicleta, carro}
José NJ, onde NJ é o conjunto dos nomes que começam com a letra J 3/5 Q+
Quando um elemento não pertence a um conjunto, usamos o símbolo .
Exercícios
E1) Escreva o conjunto dos numerais pares de 2 algarismos, de tal forma que esses dois algarismos sejam iguais.
E2) O que está errado nas seguintes notações de conjuntos: a) {1, 2, 3, 4 e 5}
b) {1, 2, 3, 3, 4}
E5) Entre as três formas abaixo, qual é a errada para representar o conjunto vazio? Ø , {}, {Ø}
Representação por enumeração
Existem várias formas para definir um conjunto. Uma forma usual é a mostrada acima. Fazemos uma lista dos elementos, separados por vírgulas, e entre chaves {}.
Normalmente os elementos de um conjunto são do mesmo tipo, mas nada impede que criemos conjuntos de elementos de tipos diferentes.
Exemplo:
A = { 1, 2, 3, {1, 2}, 4, 5}
O conjunto A acima tem cinco números naturais (1, 2, 3, 4, 5) e um conjunto com os elementos 1 e 2. Como vemos, nada impede que um conjunto seja elemento de outro. Exemplo:
A = {N, Q+} = conjunto dos dois conjuntos numéricos citados neste capítulo.
Representação por diagrama
Este método é equivalente a listar os elementos entre chaves. A diferença é que ao invés de usar chaves, é desenhado um diagrama com os elementos indicados através de símbolos.
Capítulo 10 – CONJUNTOS 111
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Nos dois exemplos acima, temos um conjunto A com cinco bombinhas e um conjunto B com os números naturais ímpares menores que 10.
Representação por propriedade
Este é o método mais formal para definir um conjunto. Considere por exemplo o conjunto: P = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ....}
É o conjunto dos números naturais maiores que 4. Pode ser escrito das seguinte forma: P = { x | xN e x>4}
Lê-se: P é o conjunto dos elementos x tais que x pertence ao conjunto dos números naturais e x é maior que 4.
Conjunto vazio
Conjunto vazio é aquele conjunto que não tem elemento algum. Não existe diferença entre um conjunto vazio de laranjas e um conjunto vazio de planetas. Ambos são a mesma coisa, ou seja, o vazio é único.
Representamos o conjunto vazio pelo símbolo ou {}.
Conjunto unitário
Um conjunto unitário é um conjunto que tem um só elemento. Existem infinitos conjuntos unitários. Exemplos: {3} {laranja} {Sol} {Drake} {Josh} ...
Exercícios
E7) Enumere os seguintes conjuntos, colocando os elementos entre chaves e separados por vírgulas:
a) { x | x é número natural e x é par } b) { x | x/2 = 20 }
c) { x | x é número natural e x é múltiplo de 3} d) { x | x é número natural e x > 50}
e) { x | x é um dia da semana} f) { x | x é o nome de um mês}
g) { x | x é um número natural e x < 20}
h) { x | x é um número natural e x deixa resto 0 ao ser dividido por 7} E8) Verifique quais dos conjuntos abaixo são iguais ao conjunto vazio a) {x | x{1, 2, 3} e x{4, 5, 6} }
b) { x | xN e x.2=7} c) { x | xN e x.x = 20} d) { x | x}
e) { x | x é o nome de um mês e x começa com a letra T}
Subconjunto
Um subconjunto é um conjunto formado por alguns elementos de um outro conjunto. Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 5}
Neste exemplo dizemos que B é subconjunto de A, pois todo elemento de B também é elemento de A. Isso é o mesmo que dizer que “B está contido em A”, e é escrito como: B A
Dizer que B está contido em A é o mesmo que dizer que A contém B. Nesse caso usamos o símbolo .
Exemplo:
{1, 2, 3, 4, 5, 7} {2, 3, 5}
É muito comum representar as relações entre conjuntos através de gráficos chamados
diagramas de Venn.
Figura 1
Diagrama de Venn para B A.
Conjunto universo
Conjunto universo é um conjunto que contém todos os conjuntos, ou seja, para qualquer conjunto A, AU. É uma noção difícil de entender, por ser abstrata. Muitas vezes estamos interessados não no maior conjunto universo existente, mas em uma parte do universo. Dependendo da aplicação, podemos considerar o conjunto universo como:
- O conjunto dos números naturais
Capítulo 10 – CONJUNTOS 113
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- O conjunto dos números pares - O conjunto dos múltiplos de 5
- O conjunto dos habitantes de uma cidade - O conjunto das cidades de um país - O conjunto dos números naturais de 0 a 10
Exercícios
E9) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, indique se as sentenças são verdadeiras ou falsas a) A b) A c) 2 A d) 3 A e) {2, 3} A f) {2, 3} A g) 7 A h) 4 A i) {4} A j) A {4, 5, 6} k) A A l) N Q+
E13) Enumere os seguintes conjuntos infinitos, colocando os elementos entre chaves, separados por virgulas.
a) Conjunto dos números naturais pares
b) Conjunto dos números naturais múltiplos de 3 c) Conjunto dos números naturais múltiplos de 5
d) Conjunto dos números naturais múltiplos de 3 e 5 ao mesmo tempo
e) Conjunto dos números naturais que são múltiplos de 3 mas não são múltiplos de 5 f) Conjunto dos números naturais que são quadrados perfeitos
g) Conjunto dos números naturais que deixam resto 2 ao serem divididos por 5 h) Conjunto dos números naturais formados apenas pelos algarismos 2, 3 e 5 i) Conjunto dos números naturais que multiplicados por 0 dão resultado 0
j) Conjunto dos números naturais que deixam resto 2 ao serem divididos por 12 ou por 20