O processo de busca de uma visão bem estruturada da realidade é fundamentalmente um fenômeno de modelagem. Podemos denominar de modelo cada interpretação de um sistema formal criado axiomaticamente. Como o objetivo básico da modelagem é alcançar uma compreensão aceitável da realidade, os modelos devem ser formulados de modo a demonstrarem apenas os principais elementos da realidade, simplificando ao máximo o método de solução utilizado. Os modelos possuem diversas vantagens, além do fato de simplificarem a representação de determinado sistema, podem revelar relacionamentos não aparentes, bem como facilitar a experimentação
2.3. Teoria dos Grafos 25
(ou o aprendizado por tentativa e erro controlado), o que não é, normalmente, viável em sistemas reais [23].
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto, por ser uma abstração, esta teoria permite a codificação dos relacionamentos entre objetos. De acordo com Rabuske [53] ela proporciona uma ferramenta simples, acessível e poderosa para construção de modelos. Um grafo é composto por um conjunto finito e não vazio V, e E uma relação binária sobre V. Os elementos V são pontos, e o par ordenado (v,w) ǫ E, onde v,w ǫ V é a linha que liga v a w [53]. A semântica dos grafos é bem definida, uma vez que são estruturas algébricas e podem ser utilizados para explicar situações complexas de uma forma compacta, visual e muito intuitiva [6].
Deste modo, um grafo G é definido como sendo um par ordenado (V,E), onde V é um conjunto enquanto E é uma relação binária sobre V, cuja representação de grafo é dada por G(V,E). Os elementos de V são chamados de vértices ou nós, enquanto os pares ordenados de E são denominados de arestas ou arcos do grafo. Uma aresta é ditaincidente com os vértices que ela liga. Quando uma aresta é incidente a um único vértice é denominadalaço. Se dois vértices são ligados por uma aresta então eles são ditosadjacentes [53].
As arestas dos grafos podem ser direcionadas, nesse caso os grafos são chamados de Dígrafos e suas arestas são definidas por pares ordenados de vértices, representando a origem e o destino. Ainda, é possível atribuir valores algébricos ou rótulos para os vértices e as arestas, chamados de atributos [32]. Em um grafo com pesos, uma função adicional E → R associa um valor a cada aresta, o que pode ser considerado seu “custo”, tais grafos surgem em problemas de rota ótima, por exemplo e são intitulados de grafos ponderados. A Figura2.8 apresenta um grafo que possui um custo associado as suas arestas.
Dependendo da aplicação dada ao grafo, arestas podem ter ou não direção, pode também ser permitido ou não que arestas liguem um nó a ele mesmo. Se as arestas do grafo têm uma direção associada, que é indicada por uma seta na representação gráfica, temos um dígrafo, ou seja, um grafo orientado. Um grafo com um único nó e sem arestas é conhecido como grafo trivial. Um grafo é conexo se existe um caminho entre qualquer par de nós, caso contrário ele é chamado desconexo. Por exemplo, se não existir um caminho entre um nó p e qualquer outro nó do grafo, então este grafo é chamado desconexo. Dois nós estão conectados se existe um caminho entre eles no grafo [53].
26 Capítulo 2. Revisão da Literatura
Figura 2.8:Grafo com custo associado as arestas.
Figura 2.9:Grafo simples.
Um grafo é denominado multigrafo se ele possui laços ou arestas paralelas, caso contrário, ele é chamado de grafo simples. A Figura 2.9
demonstra um grafo simples, cujas arestas que ligam os vértices não possuem qualquer orientação. Um grafo simples é chamado também de
grafo completo quando cada par distinto de vértices é adjacente. Um grafo completo é representado por Kn, onde n é o número de vértices deste grafo.
Todo grafo completo de n vértices possui m = n 2
arestas. O grau de um nó é o número de arestas incidentes a ele. SeE é finito, então a valência total dos nós é o dobro do número de arestas.
Na Figura 2.9, por exemplo, estamos considerando uma relação simétrica e sem laços, onde existe no máximo uma aresta entre quaisquer dois vértices (sem arestas paralelas). O número de arestas de um grafo simples e completo G é expressado pela Equação2.1, onde v é o número de vértices do grafo.
2.3. Teoria dos Grafos 27
E = v
2. (v − 2) (2.1)
Em um grafo direcionado, distingue-se o grau de saída que é o número de arestas saindo de um nó, e o grau de entrada que é o número de arestas entrando em um nó. O grau de um nó em um grafo direcionado é igual à soma dos graus de saída e de entrada. O grau de um nó é definido somente quando o número de arestas incidentes sobre o nó é finito [53]. A Figura2.10
traz um exemplo de um grafo direcionado.
Figura 2.10:Grafo direcionado.
Dois grafos são ditosisomorfos quando é possível coincidir os vértices de suas representações gráficas, preservando as adjacências das arestas dos mesmos. Subgrafos existem quando arestas e vértices de V possuem um subconjunto, ou seja, o grafo G′(V′, E′) é um subgrafo de G(V, E). Define-
se o grau de um vértice v pertencente à V como sendo o número de arestas incidentes a v. Um grafo é considerado regular de grau r quando todos os seus vértices possuem um grau r [32].
A representação mais usual de um grafo é através do desenho de vértices e arestas. No entanto, em um computador ele pode ser representado de várias maneiras, e a eficiência do algoritmo vai depender da escolha de como representa-lo. Um grafo finito direcionado ou não-direcionado, com n nós, geralmente é representado por uma matriz de adjacência: uma matrizn-por- n cujo valor na linha i e coluna j fornece o número de arestas do i-ésimo ao j-ésimo nós, como pode ser observado na Equação2.2a seguir.
ai,j= 1 se e somente se existe (vi, vj) ǫ E 0 caso contrário (2.2)
28 Capítulo 2. Revisão da Literatura
Caso um grafo possua um número wi,j associado a cada aresta, este grafo
é denominado ponderado e o número wi,jé chamado de custo da aresta. Um
grafo que possui esta característica pode ser representado por sua matriz de custo W=[wi,j] determinada na Equação2.3.
wi,j = 1 custo da aresta, se (vi, vj) ǫ E 0 ou ∞, caso contrário (2.3) Ao observar a estrutura de adjacência, um vértice y em um grafo dirigido é chamado um sucessor de um ou outro vértice x, se existe uma aresta dirigida de x para y, deste modo, o vértice x é denominado um antecessor de y. Um grafo pode ser descrito por sua estrutura de adjacência (adj), assim, para cada vértice v, adj(v) é uma lista que compreende todos os sucessores de v [53].
Um grafo é dito conexo se for possível partir de um vértice e através das arestas visitar qualquer outro. Esta visita sucessiva de vértices é chamada de
caminho. Caminho é uma sequência de nós tal que sempre existe uma aresta de um nó para o seguinte. Um caminho é chamado simples se nenhum dos nós no caminho se repete. Ocomprimento do caminho é o número de arestas que o caminho usa, contando-se arestas múltiplas vezes. O custo de um caminho num grafo balanceado é a soma dos custos das arestas atravessadas. Dois caminhos são independentes se não tiverem nenhum nó em comum, exceto o primeiro e o último. As propriedades de dígrafos tornam a sua conexidade mais complexa devido à orientação das arestas.
Dados dois vértices v e w pertencentes ao grafo G(V,E),o comprimento d e menor caminho entre v e w denomina-se distância. No caso deste caminho não existir, a distância é considerada infinita. Para considerar esta métrica a notação de distância entre os vértices v e w é dada por d(v,w). Para todo vértice u, v e w de G(V,E), pode ser definido que d(u,v) ≥ 0 com d(u,v) = 0 se e somente se u = v. Além disso, d(u,v) = d(v,u) ocorre somente se o vértice for não orientado, bem como d(u,v) + d(v,w) ≥ d(u,w). A excentricidade de um vértice v, denotada por [e(v)], é a máxima das distâncias d(v,u) na Equação2.4.
∀u ǫ G, e(v) = MAX d(v, u) (2.4)
A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto. Estruturas que podem ser