Ondas viajantes, também denominadas ondas trafegantes ou ondas propagantes, são um modelo matemático de representação de características físicas de alguns sistemas que se apresentam em diversas disciplinas. Os primeiros estudos acerca das ondas viajantes provavelmente devem ter se iniciado nas áreas de hidráulica (ondas do mar, perturbações em rios e lagos) (FUCHS, 1979) e acústica (sons de modo geral, cordas vibrando e peles percutidas, movimentos oscilatórios) (FEYNMAN et al., 2008), em seguida se expandindo para outras áreas da mecânica.
Atualmente o conceito de ondas viajantes se aplica a diversos fenômenos de propagação de condições físicas, sendo utilizado em estudos de doenças epidêmicas (MAIDANA, 2004), propagação de espécies no ambiente, fluxo de sinais no corpo humano e reações químicas, dentre outras áreas (TYSON & KEENER, 1988). Um tema correlato que não será abordado neste trabalho, mas que possui aplicações tanto na área elétrica quanto nas disciplinas mecânicas é o fenômeno das ondas estacionárias.
A aplicação da teoria de ondas viajantes para sistemas elétricos pode ter tido alguns precursores, mas foi modelada em sua forma atual através das equações de Maxwell (ZANETTA JR, 2003; ARAÚJO & NEVES, 2005). O modelo básico para uma linha sem perdas, como se vê nas equações 2. 1 e 2.2, e na figura 2.5, pressupõe que, em uma linha qualquer de indutância L e Capacitância C, ao receber um sinal de tensão de entrada U na forma de um degrau unitário em uma de suas extremidades, o sinal V de tensão na linha se propagará no tempo t e na distância x com uma velocidade v.
, = . − (2.1) e
=√ . (2.2)
Figura 2.5 Propagação de ondas em linhas de transmissão em linhas sem perdas
Analisando a corrente, é possível deduzir das características da rede sua impedância característica, fazendo uma proporção linear entre corrente e tensão da linha de transmissão, como explicita a equação 2.3.
, = , (2.3)
Nas linhas sem perdas, a impedância característica se expressa da maneira exposta na equação 2.4. Neste caso, a impedância característica também é chamada de impedância de surto.
= (2.4)
Além de entender o comportamento de ondas viajantes numa linha de transmissão observando um pulso de tensão, pode-se avaliar também as propriedades de reflexão e refração de ondas nas descontinuidades de uma
rede. Estas descontinuidades, derivadas do final da linha, de cargas penduradas em trechos intermediários da rede ou mesmo em derivações de rede, provocam alterações nos sinais de tensão e corrente que podem ser percebidos, e são característicos de cada rede, dependendo da sua topologia.
De modo geral, numa linha monofásica sem perdas com as duas extremidades A e B acessíveis, tem-se uma onda progressiva (de A para B) e uma onda regressiva (de B para A). De modo que as ondas resultantes se expressam como nas equações 2.5 e 2.6.
, = , + , (2.5)
, = , + , (2.6)
Nestas equações, o índice P significa onda progressiva e R, regressiva, x é a distância e t é o tempo.
Estes cálculos são fundamentais para as análises posteriores desta tese, análises estas focadas na localização de faltas em sistemas de distribuição, haja vista que o sinal da falta, refletido e refratado nas diversas descontinuidades da rede de distribuição, e por fim propagados até o local de medição, no caso o alimentador da subestação, permitirão a identificação do local do curto-circuito.
Não faz parte do escopo deste trabalho exaurir o tema, mas as condições mais comuns em redes de distribuição são detalhadas em seguida nas equações 2.7 a 2.10. Utilizam-se as equações gerais para a junção de linhas com impedâncias características distintas, como cabos com bitolas diferentes em derivações, linhas com terminação em resistência ou impedâncias indutivas (cargas em geral) e linhas com terminação em capacitância (muito usadas na distribuição para compensação de reativos).
As equações gerais considerando dois meios de impedância característica diferentes, ZC1 e ZC2, considerando a onda se propagando do meio
1 para o meio 2:
! ã# = $% &
$' & (2.7)
)*çã#= ,. $
$' & (2.9)
( )*çã#= ,.$'&& (2.10)
Alguns pontos podem ser considerados casos particulares:
Tabela 2.1 Coeficientes de reflexão e refração para terminal aberto Grandeza Reflexão Refração
Tensão 1 2
Corrente -1 0
Tabela 2.2 Coeficientes de reflexão e refração para terminal em curto-circuito Grandeza Reflexão Refração
Tensão -1 0
Corrente 1 2
Uma maneira interessante de observar esta realidade de propagação, reflexão e refração de ondas é entender o diagrama de treliças (TYSON & KEENER, op. cit.) ou diagrama de reflexões (ARAÚJO & NEVES, op. cit.), também conhecido pelo seu nome em inglês, lattice diagram, exposto na figura 2.6.
Observando a linha de transmissão AB à direita na figura 2.6, com um curto-circuito representado, pode-se notar que o pulso negativo (pressupondo que a linha está energizada, um curto funciona matematicamente como um degrau de tensão do 1 pu para o 0) se propaga para os dois terminais, e através das reflexões e refrações chega em diversos momentos a cada um dos lados.
Em circuitos com derivações, como se pode ver na figura 2.7, estas reflexões e refrações acompanham a topologia do circuito, e dependem do comprimento e impedâncias características de cada trecho, terminando por produzir um sinal composto da somatória de diversas frequências refletidas e refratadas geradas pelo curto-circuito.
Figura 2.7 Diagrama de Treliças para um curto-circuito na linha AB.
Este sinal composto pelas diversas frequências carrega consigo as características da topologia do circuito, e também depende do local em que o evento de curto-circuito acontece, já que diferentes locais de falta acarretam diferentes trechos de refração e reflexão, com comprimentos e impedâncias características diferentes e, consequentemente, diferentes frequências que devem ser lidas.
Este sinal pode ser lido por um ou mais medidores colocados na rede. Nesta tese, estas frequências refletidas e refratadas são lidas por um único medidor na fonte do circuito. Os dados lidos são processados pela transformada wavelet e em seguida analisados pela rede neural para identificar o local da falta.