Teoria Simplificada de Marcus para lajes sobre apoios rígidos

Segundo Araújo (2010, p. 100), “o método de Marcus é um método simplificado que procura adaptar a teoria das grelhas para incluir os efeitos da torção da laje.”

O método consiste na aplicação de uma carga (𝑝), uniformemente distribuída por unidade de área, onde os apoios dos vãos ℓ_𝑥 e ℓ_𝑦 são considerados indeformáveis. Considera-se também duas faixas de largura unitária, uma em cada direção, onde a carga de aplicação (𝑝 ) é dívida em quinhões de carga 𝑝_𝑥 e 𝑝_𝑦, relacionadas, respectivamente, às direções x e y. (Araújo, 2010)

Na Teoria das Grelhas, foram estabelecidas relações por meio da dedução de que a flecha no centro da laje, no encontro de duas faixas da grelha, é única, considerando um mesmo valor nas direções X e Y, conforme ilustra a Figura 2.28.

Os quinhões de carga devem obedecer à relação:

𝑝 = 𝑝𝑥+ 𝑝𝑦 (2.33)

Em que

𝑝 = carga total uniformemente distribuída (kN/m²);

𝑝_𝑥 = parcela de carga total que atua na direção X (kN/m²); 𝑝𝑦 = parcela de carga total que atua na direção Y (kN/m²);

Figura 2.28 – Laje simplesmente apoiada nos quatro lados

Fonte: Araújo, 2010

No entanto, em uma análise mais real do comportamento da placa, Marcus percebeu, que devido aos efeitos de torção, o máximo deslocamento não ocorreria necessariamente no centro da placa para as duas direções. A partir disso, definiu-se que os momentos fletores positivos encontrados na Teoria das Grelhas deveriam ser reduzidos, em consequência da própria rigidez a torção da placa, que consequentemente reduzem as deflexões.

O aparecimento desses coeficientes de redução resulta de imperfeição da teoria das grelhas, que supõe os quinhões constantes e imagina a laje constituída por faixas independentes, ao passo que ela forma um conjunto único, isto é, funciona como uma placa que se deforma no espaço sendo as flechas menores do que as que resultam da teoria das grelhas, e, portanto, menores os momentos (ROCHA, 1999, p. 54).

Os coeficientes estudados por Marcus, segundo Araújo (2010, p. 100) “dependem das condições de contorno e da relação entre os vãos da laje”. A partir da relação entre as condições de contorno da laje, Marcus elaborou uma tabela com a finalidade de facilitar o dimensionamento manual.

A teoria demonstrada por Marcus para uma laje simplesmente apoiada nos quatro lados pode ser estendida para outras condições de contorno. Os casos possíveis são os casos 1, 2A, 2B, 3, 4A, 4B, 5A, 5B e 6 conforme mostrados na Figura 2.14.

2.6 MÉTODOS DE CÁLCULO

Dentre os métodos usuais para dimensionamento de lajes bidirecionais maciças, este estudo limitou-se a analisar a Resolução por Meio de Séries, Teoria

Simplificada de Marcus e o Processo de Analogias de Grelhas, realizado pelo programa Eberick V10.

Para efeitos de cálculo, os métodos de Resolução por Meio de Séries e Teoria Simplificada de Marcus consideram que as cargas geradas pela laje são uniformemente distribuídas nas vigas de contorno por meio de forças verticais. Os momentos de torção das placas não são transferidos, considerando para esse parâmetro a viga como um elemento rígido (indeformável) e os contornos devem ser considerados ainda apoiados (rotulados) ou engastados, não havendo a possibilidade de semi-engastamento. (WERNER, 2013)

Os dimensionamentos através desses dois métodos foram realizados por meio de tabelas que simplificam os cálculos manuais. Essas tabelas foram elaboradas considerando nove casos de vínculos com os apoios de uma laje (condições de contorno), o que influencia diretamente no cálculo de momentos fletores. Cada tabela possui os mesmos casos, porém com nomenclaturas diferentes; com a finalidade de facilitar a interpretação dos resultados, optou-se por padronizar a nomenclatura, utilizando a adotada pelas tabelas de Bares, conforme demonstrado na Figura 2.14.

Através das tabelas a seguir serão calculados os máximos momentos fletores positivos e negativos nas direções x e y.

2.6.1 Resolução por Meio de Séries

Dentre as tabelas disponíveis para o método, decidiu-se realizar o dimensionamento através das Tabelas de Bares e das Tabelas de Czerny. Conforme a Equação 2.30, o dimensionamento dentro da Teoria das Placas sofre influência direta do coeficiente de Poisson (𝑣). Adotou-se, nestes estudos, tabelas elaboradas considerando 𝑣 = 0,20.

As tabelas apresentam coeficientes aplicados em equações específicas, para cálculo de momentos fletores. Os cálculos dos momentos fletores, através das tabelas de Czerny, são realizados por meio das equações 2.34, 2.35, 2.36 e 2.37. E das tabelas de Bares, os momentos fletores são calculados por meio das Equações 2.38, 2.39, 2.40 e 2.41.

2.6.1.1 Tabela de Czerny

• Momentos fletores positivos: 𝑚𝑥 = 𝑝.𝑙𝑥2 𝛼𝑥 (2.34) 𝑚_𝑦 = 𝑝.𝑙𝑦 2 𝛼𝑦 (2.35)

• Momentos fletores negativos: 𝑚′ 𝑥 = − 𝑝.𝑙𝑥2 𝛽𝑥 (2.36) 𝑚′𝑦 = − 𝑝.𝑙𝑦2 𝛽𝑦 (2.37) Em que

𝑚_𝑥 e 𝑚_𝑦= momento fletor positivo nas direções x e y (kN.m/m); 𝑚′_𝑥e 𝑚′_𝑦 = momento fletor negativo nas direções x e y (kN.m/m);

𝑝 = carga total uniformemente distribuída (kN/m²);

𝛼_𝑥 e 𝛼_𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos atuantes nas direções paralelas a 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦, respectivamente;

𝛽𝑥 e 𝛽𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes

nas direções paralelas a 𝑙_𝑥 e 𝑙_𝑦, respectivamente; 𝑙_𝑥 = menor vão da laje (m);

𝑙𝑦 = maior vão da laje (m).

Os coeficientes adimensionais 𝛼𝑥 , 𝛼𝑦, 𝛽𝑥 e 𝛽𝑦 são obtidos nas tabelas de

Czerny, para lajes retangulares com carregamento uniformemente distribuído, que seguem no anexo A. Essas tabelas apresentadas por Czerny no volume I do Beton Kalender de 1976 foram adaptadas pelo Prof. Antonio Rolim (2016) para coeficiente de Poisson (𝑣) igual a 0,20.

2.6.1.2 Tabela de Bares

• Momentos fletores positivos: 𝑚𝑥 = 𝜇𝑥. 𝑝.𝑙𝑥2 100 (2.38) 𝑚𝑦 = 𝜇𝑦. 𝑝.𝑙𝑥2 100 (2.39)

• Momentos fletores negativos: 𝑥𝑥= −𝜇′_𝑥. 𝑝.𝑙𝑥2 100 (2.40) 𝑥𝑦 = −𝜇′_𝑦. 𝑝.𝑙𝑥2 100 (2.41) Em que

𝑚𝑥 e 𝑚𝑦= momento fletor positivo nas direções x e y (kN.m/m);

𝑥_𝑥e 𝑥_𝑦 = momento fletor negativo nas direções x e y (kN.m/m);

𝑝 = carga total uniformemente distribuída (kN/m²);

𝜇_𝑥 e 𝜇_𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos; 𝜇′_𝑥e 𝜇′_𝑦= coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos;

𝑙_𝑥 = menor vão da laje (m).

Os coeficientes adimensionais 𝜇_{𝑥 ,} 𝜇_𝑦 , 𝜇′_𝑥e 𝜇′_𝑦 são obtidos nas tabelas de Bares, que seguem no anexo A. As tabelas apresentadas são baseadas nas soluções em séries desenvolvidas por Bares em 1972 e foram adaptadas por Carvalho (2015) para coeficiente de Poisson (𝑣) igual a 0,20.

2.6.2 Tabela de Marcus

Igualmente ao método de Resolução por Meio de Séries, a Teoria Simplificada de Marcus é dimensionada através de coeficientes extraídos de tabelas semelhantes às de Bares e Czerny. Os cálculos dos momentos fletores são por meio das equações 2.42, 2.43, 2.44 e 2.45.

• Momentos fletores positivos: 𝑀𝑥=

𝑞.𝑙𝑥2

𝑀𝑦 = 𝑞.𝑙𝑥2

𝑚𝑦 (2.43)

• Momentos fletores negativos: 𝑋𝑥 = − 𝑞.𝑙𝑥2 𝑛𝑥 (2.44) 𝑋_𝑦 = −𝑞.𝑙𝑥2 𝑛𝑦 (2.45) Em que

𝑀𝑥e 𝑀𝑦 = momento fletor positivo nas direções x e y (kN.m/m);

𝑋_𝑥e 𝑋_𝑦= momento fletor negativo nas direções x e y (kN.m/m); 𝑞 = carga total uniformemente distribuída (kN/m²);

𝑚𝑥 e 𝑚𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores positivos atuantes

nas direções paralelas a 𝑙𝑥 e 𝑙𝑦, respectivamente;

𝑛𝑥 e 𝑛𝑦 = coeficientes para cálculo dos momentos fletores negativos atuantes

nas direções paralelas a 𝑙_𝑥 e 𝑙_𝑦, respectivamente;

X e Y = para cada um dos seis casos a direção X deve ser:

― a direção com o maior número de engastes (casos 2A, 2B, 4A, 4B, 5A, 5B);

― caso haja igualdade de engastes, considera 𝑙_𝑦 ≥ 𝑙_𝑥 (casos 1, 3 e 6), ou seja, a direção X está paralela ao menor vão (𝑙_𝑥) e a direção Y está paralela ao maior vão (𝑙𝑦).

Os coeficientes adimensionais 𝑚_{𝑥 ,} 𝑚_𝑦, 𝑛_𝑥 e 𝑛_𝑦 são obtidos nas tabelas de Marcus, que segue no anexo A.