O terceiro termo é igual a:

e.i

>

onde

-P

²

.fe(e

^p

p

^{l x}

-g

^{p x}

e.p

^{1 +}

e

^x

p

^{l p}

)+p

^{2 p}

(e

^x

p

¹

.fe-fe

^x

e.p

¹

)

C» =

= 4{e.p

²

r(fe.Gp

¹

.G-G

²

p

¹

.fe+fe.Gp

¹

.G)

--p

²

.fe(e.Gp,.G-G e.p •2

¹

+e.Gp

¹

.G)+p

²

.G(e.Gp,.fe-fe.Ge.p

¹

)

+P

²

.G(k.Ge.p

¹

-e.Gp

¹

.fcfl-G fe

6 2

--p².k (e . p ^ e «Pj^+e .p^x) + (e - '^fee *^pl "^e *^P2^P1

= 4Í2p¹.G(e.p²fe.G-p².fee.G)+G (e e

C^.rG^PG^X-G²g^pXl = 0

Portanto,

O quarto termo é igual a:

4(p

^r

feHp

²

.fe)

onde

= 4{e.p²[fe^p(fe^xe.p¹-e^xp¹.fe)-fe^p(e^xp¹.fe -fe^xe.p¹)+fe^p(fe^xe.p¹-e^xp¹.fe)+fe^p(fe^xe.p¹-e^xp¹

.fe)J-+e^p(fe^xe.p¹-e^xp¹.fe)+fe^p(e^xe.p¹-e^xe.p¹+p^lx)-e^p(e^xp¹.fe-fe^xe.p¹)

7 6

-

-63--8|2(fepe.p2-epp2.fe)(feAe.p1-exp1.fe)+P1.fe(p2Xfep-gpXP2.fe)'

Temos então que:

+P1.fep2.Gfe.G-p1.p2(fe.G)

Dl'. FG^pG^À-G²g^{p X}l = 8(fe.G)

P o r t a n t o ,

^ j ^ . f c ) [2(fe.Ge.p

²

-e.Gp

²

.fe)

..fe)+p¹.fep².Gfe.G-(fe.G)

O quinto termo é igual a:

onde

6 4

-4«^p(fe^xp¹.fe+fe^xp¹.fe)-fe^p(e^Ap¹.fe+fe^xe.p¹)+fe^p(fe^Ae.p¹4«^xp¹.fe)

-= 0

Portanto

• - PTTF [G²P²-fe+2fe.Gp².G] .

O sexto termo é igual a:

e.p, e.p.

-65-onde

+g^{p A}e.p¹)+e.p²(fe^pp^{l x}-fe^xp^{l p +}g^{p X}p¹.fe)-P¹.p²(e^Afe^p-e^pfe^A)

4Íê,fert-e fe.l .

|_ A p p AJ

Temos então que

F£. [G

^p

G

^A

-G

²

g

^pX

] =

^{e.po e.p.}

= 0

(P

²

.fe)j

Portanto

O sétimo termo é igual a:

e.p⁷ e.^{p , e.p9 e}

onde

6 6

-|_ P X X p j

Temos então que

rG^pG^A-G²g^pX"l=4r2p¹.G(fe.Ge.p²-e.Gp².fe)+G²(p^:L.fe) (p²-fe)

e.p, e.p..

•• r.pGx_G2g Px-| m Qm

] •

Portanto, _

H1.

rG

^p

G

^A

-G

²

g

^{p X}

] =

! J

O oitavo termo é igual a:

.p² e .^{P j}

l

onde

80 6 7 80

-+ e

4Íe fc-.-e-.fc~l[_ p X A pj

Temos então que:

l£.rGpGX-G2gp X~-4r2p2.G(fc.Ge.p1-e.Gp1.fe)-G2(p; L.fe)

e.p2 e.p.

Ll * = 0 .

Portanto

O nono termo é igual a:

p"~l ~TF ~ pTTfe"'

onde

-68-LJ

= 4g,

Temos então que

= 4pp

¹

.Gp

²

.G+G'

^:

L£.jG

^P

G

^A

-G

²

g

^pA

] = 4[-3G

²

J

Portanto

e.p² e.^{P ]}

Para os cálculos dos traços no caso vetorial usamos a seguinte regra

2 3 4 5 6 7 8 ^{5 y - y5y 6fi y_ yy 7y 8f i}

= ig ^x3

-g T +g

q •"• w T

onde os T já foram definidos anteriormente.

Então a eq. (2.4.10) torna-se:

T

-e.Gp².fe)(fe.Ge.p,-e.Gp,.fe)+fe.G(p¹.fep².G+p¹.Gp².fe)-G

8 2

-

-69-e.p2 e.Pj

-(fe.G) (p1.p2-m1m2) - e.p.

e.

^e.p,

e.p_ e.p, e.p,

} , (2.4.11)

e reduz-se (*) a:

| ( m2- m2) }fi+4G2+(fe.G) 2 |"2G2 (* *)

+(m

¹

-m

²

)

²

l/(p

¹

.fe)(p

²

.fe)

⁽

**

⁾

(2.4.12)

Para o caso pseudo-vetoriai (a =3) a eq. (2.4.3) torna-se:

e.p2 e.p, _

+ ( £• i.) y Y j (ji, +1 2 1 J ( * )

(**)

P a r a se r e d u z i r a e q . ( 2 . 4 . 1 1 ) ã e q . ( 2 . 4 . 1 2 ) f o i u s a d o o f a t o de q u e : pr. G=p.. . p _ - p2 - p1 .k. ; p0 . G=p2-p ",p - p . k; fe . G=p, •fe-p1 .fe e p o r u l t i m o e . G = e . p2~ e . p ^ .

ft f o i d e f i n i d o n a e q . ( 2 . 4 . 7 )

-70-e .p² e .^{P l}

(2.4.13)

Fazendo os cálculos explicitamente vemos que, os ter mos A3, B3, C3... são iguais aos termos do caso vetorial exce to os fatores B_, D, e L-, que são

r f e

f

( p 2

.

f e )

[2(fe.Ge.

P2

-e.G

P2

.fe)(fe.Ge.

Pl

e.Gp1.fe)+fe.G(p1 . k p2.G+p1.Gp2.fe)-G2p1.fep2.fe-(fe.G)2

(p^rp²

-G V > (p

^r

fc)(p

²

.fe)

-e.Gp^.k) +p1.fep2.Gfe.G- (k.G) ( p ^ . p2+m.in2)~]

Assim,

_ 4 , - 2 1 1 ,

E, finalmente

2r>J

J(m²-m²) }íH4G²+(k.G) ² Í~2G

+ (m¹+m²)²l/(p¹.fe) ( p². (2.4.14)

1 2 1 2 2 2

(p,.fe)- y G - £-(m,+m,jG

8 4

-

-71-2

r G

2

- (fe.G)

²

rG

²

+4(p

¹

.p

²

)l/(p

¹

.fe)(p

²

.fe)-4G

²

P

²

.G~j

(2.4.15)

Aqui nós estamos interessados no espectro da partícu-la 2, ao contrário do que na probabilidade de transição diferen c i a i . Assim, o próximo passo ê integrar sobre o momento do fó -ton.

Isso leva a uma integral invariante k

-/•max e .p2 e.p 4ir

e

(2.4.16)

que é mais conveniente trabalhar na representação de Goester*—' do campo méson v e t o r i a l na qual tratamos k como um 4-momento de um méson v e t o r i a l de massa X . e energia e, e somamos sobre todas as direções de polarização dos mésons v e t o r i a i s .

Nesse caso, a soma da forma E(M.e)(M.e) é sobre as 3 direções de polarização e pode ser expressada de acordo com B e r m a n — , como

(M.e) (M.e)= - M²+ (M.fe) (2.4.17) min

Se M.e é o elemento de matriz para o bremsstrahlung interno,M.fe é de ordem X . de modo que para pequeno X . podemos desprezar o segundo termo da d i r e i t a da eq. (2.4.17). É mais conveniente

7 2

86 7 3 86

-A integração sobre k pode ser facilmente realizada se escolher-mos v-k/e como nova variável.

Temos nesse caso que,

(1-v2) e

= W

_1-v^{1 xl/2} _{( 1 - v}^Amin_2)3/2 ^{d v}

Substituindo na eq. (2.4.18) resulta:

1

onde os parâmetros a, b, c, d, e são para ser determinados. Os cálculos mostram que eles são iguais a:

a=

-74-R

edv = eR e finalmente

J (1-v )

o

Nesta última integral, transformamos o integrando para cv+d

-88-

-75-fe - +/Í2 - +A

/ 2 ^ 2 I.. +

max min max ^{I '} T W - * •«»

TY1-X2. mm

max min; + . /"max "max "mln » 2 . 2 I

max min

i +/fe +X . ) + ( z - y )

max max mm * max min ^min

No limite fe2ax » A2.n , portanto

f ( c v + y d v = d £ n ( 2 i ! ) + c i l n ( f e ) - ( c + d ) J l n X . n

J / •• 2.. max max mm (c+d) Jln

min

S u b s t i t u i n d o todos e s s e s v a l o r e s na e q . ( 2 . 4 . 1 9 ) , obtemos

I = io + c onde

*o~? _{m i n} dx (2.4.21)

7 6

-+ à E - ^ - ^{L ( i} í ^{â l} ] ⁽² - ⁴ * ²²⁾

onde a função L(x) é definida na eq. (2.2.17).

Integrando agora a eq. (2.4.21) e levando em conta a conservação de energia-momento presentes nas e q s . (2.4.6)

(2.4.15), temos

b2=2D+ 2Qf2(coshcü-cosh6) Z 3(coshcú-cosh9)cosh)+2senh 8 ~ + C (2.4.26) Y = (10/3) (9ootghe-l) + jj[5/3)ooshw+ l l (6/senh0) (2.4.30)

„ 1 Scoshoj . 5 „ . . fi 5 senhoi . s e n h 2~(c0"6) / o . . . .

1 = 6 "iSaíê- + 6 6 c o t9h e- 3 - ün-hê £ n B . 1 . +M ' (2.4.31) senh y(w+9)

-77-É importante notar que na expressão para D existe um fator, £n(l-e ) , que ê logariticamente divergente no final do espectro (6 - co) .

Uma excelente aproximação, como é mostrado na ref.(lá)

é considerarmos ^-/

í £n(l-e6 w)d3p=Jin{l-e0~tü+e0~1(p;L.Ap2)/ii^ senh8)

p-Ap (2.4.32)

0 resultado final do cálculo do bremsstrahlung é en -tão dado pela eq.(2.4.24) ,ff., onde na expressão para D, trocamos o fator &n(l-e ^u) pelo lado direito da eq. (2.4.32).

Observamos que as divergências do infravermelho sur -gindo dos fótons virtuais são compensadas por termos similares originários do cálculo do bremsstrahlung interno.

CAPÍTULO III

APLICAÇÕES A PROCESSOS FUNDAMENTAIS

Agora utilizaremos os resultados dos cálculos das cor reções radiativas, a dois processos fundamentais de decaimento, do muon, do beta do neutron e calcularemos novamente essas cor-reções para um processo de espalhamento, no caso o do elétron--neutrino.

3.1 - Correções para o Decaimento do Muon Polarizado

Primeiramente, consideremos o efeito das correções ra diativas ao espectro de decaimento de muons completamente pola-rizados. Nos restringiremos apenas no caso da teoria de duas com ponentes do neutrino onde, somente as interações V e A estãopze sentes. Para obtermos esse resultado precisamos fazer algumas modificações nos resultados obtidos no capítulo anterior.

*A primeira delas, ê considerarmos o limite de pequena massa, i.e. E >> m onde E e m representam a energia e a mas_

sa do elétron respectivamente, nos resultados a, , e b, , dados pelas eqs. (2.3.21), (2.3.23) e (2.4.25). A segunda ê conside -rarmos o problema da polarização nos cálculos da probabilidade de transição tanto para os fõtons virtuais quanto para o bremss trahlung interno.

Assim, o espectro de decaimento de muons

completamen-

-79-t e polarizados é dado, para ordem a, por:

dN(x,9) = | A { 3 - 2 X + ^ f

(3.1.1) onde, x=2p /m , 6 é o ângulo entre o momento do elétron e do muon,

A = (

IO

¹

" 4>

⁸

[

^{l g}

l '

^{2 + l g}

3

^{| 2}

] (3.1.2)

2

+ IgJ

²

] 0.1.3) - jjg

³

[

²

- | g j

²

/ |g

³

l

= 2Re(g*g3)/[|g

³

|

²

+ IgJ

²

] . (3.1.4)

As constantes A, ç e c, estão em inteira analogia com (23)

. - :- a formula dos t r ê s parâmetros de Michel — para o espectro de decaimento do.muon não corrigido. Observa-se que o termo propor cionala(m /m ) anula no caso da interação puramente (V-A).

As quantidades £(x) e g(x) representam as correções radiativas para os termos isotrópico e cos6 da eq. ( 3 . 1 . 1 ) , res_

pectivãmente.

* Temos que:

f (x) = (6-4x)R(x)+(6-6x)&nx+ i^||(5+17x-34x2) (tü+Anx)-22x+34x2 | 3x

(3.1.5)

(w+S,nx)+3-7x - 32x2

-80-R(x)

n=l n

- 2 + (ú Hr (^)

|-+ (3£nx - 1 - ±) (3.1.7)

3.2 - CorreçSes Radiativas para o Decaimento Beta

Para o caso do decaimento beta, temos que a interação fraca é descrita por meio da lagrangeana efetiva

L =

• 2

(3.2.1)

onde p = - G j . / ^ , Gv e GA são as constantes de acoplamento veto-r i a l polaveto-r (Feveto-rmi) e axial vetoveto-r (Gamow-Telleveto-r), veto- respectivamen-t e .

Assim os cálculos são feitos não para a teoria exata (V-A), i . e . , quando p=l, mas para (V-1.2A), onde o fator 1.2 ad vem da corrente hadrônica presente na interação.

Fazendo algumas mudanças nos.resultados obtidos rio ca pítulo anterior; desprezando termos de ordem ctE/m , av e aE/X mas mantendo todas as contribuições de ordem am /X (E e v são a energia do elétron e a velocidade do nucleon, respectivamente e X é o cutoff do u l t r a v i o l e t a ) , o espectro de decaimento beta ê

8 1

A função C(r,p) tem a propriedade assintõtica, lim C(r,p) = 0. Essa função dependente do cutoff corresponde a

2 2 2 escolher o regulador de Feynman como X /(X -k ) .

3.3 - Correções Radiativas para o Espalhamento Elétron-Neutrino Os processos de neutrinos são bastante importantes em Cosmologia e Astrofísica Nuclear. Em particular na Astrofísica, onde o espalhamento elétron-neutrino torna-se importante nos úl timos estágios de evolução e s t e l a r , como é mostrado por Bahcall, ref. <J_X.

Acredita—se, geralmente, que as estrelas se originam de tênue.s nuvens de gás (principalmente de H) , que se contraem por motivo da auto-gravitação.

(*)

Para estrelas de massas entre 4 a 10 fC , o ultimo

8 2

-lerada) pela emissão de neutrinos.

No caso da explosão de supernova, segundo Colgate e

( 2 4 )

White — , o que ocorre e o seguinte: os neutrinos emitidos do caroço denso transferem energia para as camadas mais externas da estrela por deposição. O calor produzido dá origem a violen-tas ondas de choque que vão lançar esviolen-tas camadas ao espaço. Tal fenômeno é conhecido por explosão de supernova.

A correção radiativa, apesar de alterar pouco o pro -cesso, é importante para estimarmos a variação da seção de cho-que do espalhamento e, então, u t i l i z á - l a no cálculo do modelo de explosões de supernovas. Como existem muitas ambigüidades no cálculo estimativo hidrodinâmico da taxa de captura de elétrons por núcleos, t a l pequena correção não foi considerada até ago -ra. Entretanto, para futuro cálculo será necessário u t i l i z a r este processo, porque a correção radiativa altera a dependência da opacidade em temperatura. Nesta seção aplicamos o cálculo do capítulo II para o processo de espalhamento elétron-neutrino.

Neste processo, usando a teoria do tipo (V-A), a i n t e ração corrente-corrente usual é do tipo

^ (3.3.1) Por uma transformação de F i e r z — obtemos: (ver apêndice C)(25)

= JZ [ V / l + Y ^ J ^ Y ^ l W

⁵

) ^ (3.3.2)

Dessa forma, podemos u t i l i z a r o método empregado no capítulo I I , onde neste caso, a eq. (2.1.6) torna-se

-83-= in — -83-= 0m1

(3.3.3) porque no espalhamento nu = m_.

No sistema centro de massa temos que:

IPI ^{K = K1}

e E, = E , = /p +m , onde p, , E-, p,, E_, k e k1 são o momen -to-energia dos elétrons 1 e 2 e os 4-momentos dos neutrinos, res_

pectivãmente. K e K representam as energias dos neutrinos inci-dente e espalhado.

Assim a eq. (2.1.5) fica

cosh8

p +m -p cosO,, p (l-cos0^)+m

ml m2

onde 0/v é o ângulo de espalhamento.

A energia t o t a l no S.C.M. é

8 4

-A probabilidade de transição para o espalhamento ê da do por

P d3p2= ( d3p / 2 (2ir)

onde Ma =

p A

/4) Tr

, para o caso (VA). 1 e 3 repre -sentam os termos vetor e axial, respectivamente e M continua sen do dado por Y ° M+Y ° .

Quando calculamos essa probabilidade para o espalha -mento no S.C.M. fixamos a entrada do neutrino incidente, com is_

so, a integral nos neutrinos já não é feita mais levando em con ta todas as possibilidades de direções dos. neutrinos portanto , resulta numa não simetria, i.e., 0 pode ser diferente de o'.Es sa é uma diferença importante para o caso do decaimento.

Assim,

Jy v= d3k ' d3k ô4(P l- p2+ k - k ' ) k ^ kvA2

= Ô (E ] L- E2 +E -E

JL 4 *

(3.3.6)

x\

o n d e

(3.3.7)

Então

8 5

-Tr

onde

T r ( l ) + T r ( 2 ) + T r ( 3 ) + T r ( 4 ) = T r

+Tr _M

(2ir>

M( o ) 3(|í'1+m)M{o)

r x ÍO) i ^ n

Tr(5) = TrUp\,+m)]vr ' ^.+m)AM = Tr ^(e2/27r)

onde F = (S - j T + 6/senh9 + rx)

e S, T, r, e A estão definidos no capítulo II, eqs. (2.2.24), (2.2.25), (2.2.29) e (2.2.31), respectivamente.

Tr(6) (e2/27r)

8 6

-onde E = (S- j T - 8/senh9 + r^) e A^X é definido na eq.(2.2.31).

Tr(7) = (e²/2ir)

Tr(8) = Tr AM1 (j^+in) M( o ) 3

YAY5

(e2/2n)

= - 4(e²/27r)i F p j p j £ 6 p T A

Tr (9) = Tr jj^²+m) M^{(o} 3} AM¹ j - Tr te²/2Tr) (Fy^X

P Y 5

Tr(l(T = AM³ | = Tr[~(y

|j

²+m)

» (e2/2Tr) (EyAY5

= 4(e²/27r){E^^pp^A-(p¹.p²+m²)g^{p X}+p^Xp^P]+

T r ( l l ) = T r (y~+m)AM (y,+m)Mv ' = Tr(jzC+m) (e /2TT)

= -4(e-2/2TT) I E p j P^ e8 p T X

8 7

-T r (12) = -Tr AM3 M = Tr

(EYPY5+AP> í^+nD

Somando

T r ( 5 ) + T r ( 7 ) + T r ( 8 ) + T r ( 9 ) = 4 (e2/2Tr)

T r ( 6 ) + T r ( 1 0 ) + T r ( l l ) + T r ( 1 2 ) = 4 (e2/2Tr) 2m2gpXE

+ m

Assim,

P( V"A )d3p2

íd

³

p

²

/(2^)

⁵

E

²

Jô(E

¹

-E

²

+K-K

^I

){p

¹

.kp

²

.k

^I

[l+(e

²

/2Tr) (F4E)~[

-88-- k.k' (p2.B + (3.3.8)

onde

B = Ao-A4 e Y = Ao+A4 .

Podemos observar aqui que na probabilidade de transi-ção, dada pela eq. (3.3.8), está incluida a probabilidade não corrigida dada por B a h c a l l — .

Desenvolvendo todos os termos que aparecem na eq.

(3.3.8), temos:

onde

B = y =

B = ± _ L _

1 m (1-coshe)

B2 " m (1-coshe) senh8 2 9cotgh8 A cinemãtica é dada por:

el = el

= e, (E,p_)

vl =

= Vo (K,-po) Daí

P1.k = EK + p P2.k' = EK + p2

Pj^.k1 = EK + p2 + m2(l-cosh9) P2.k = EK + p2 + m2(l-cosh0)

Assim sendo, a probabilidade de transição corrigidapa ra o espalhamento elétron-neutrino ê dada por:

Pd3p =

(8-Fj^) ootgh9-2ü)< (l-6cotgh6) 6senh6

1-cosh9 r, = - 2 .

Podemos considerar também que esta probabilidade é a soma de duas partes: uma divergente e outra não, i.e..

onde

9 0

-(1-COShe) j^i²-2 (EK+p²)]-2 (EK+p²) ²] } . ( 3 . 3 .11)

Agora,

Uma observação que podemos fazer, ê que todas as fór-mulas do capítulo II usadas nestes cálculos, foram feitas usan-do a condição para o espalhamento, i.e., o> = 0.

A seguir, vamos calcular o bremsstrahlung interno pa-ra este processo. Temos que.

3p d3

APYd3p2d3fe=

o,a'

(3.3.12)

onde

p,A 4 p^{+ F}p

e e,fe , 6> representam a energia,o momento e a polarização do fõ ton,respectivamente.

r0 . O

• O termo I ' , mantém-se inalterado mas J ê agora dado por

= ||d3kd3k164(p1-p2+k-k'-fe) k ^ / K K ' S3^

--K'-e) k'kv/KK' .

I

-91-Assim a única diferença entre os termos 1^? da proba bilidade de transição e do bremsstrahlung está na função delta

de energia.

Portanto,

Í (3.3.13)

N(V-A) =

pX 4

Tr ^p (1+Y5)

4(p2.fe)

P (1+Y5

4P2 7k

+Tr

.

4p2.feP;L.fe

4(Pl.fe)

.

9 2

-e.p2 e.p

(

+ T r

Para o cálculo desses traços foram usadas as seguin -tes relações:

yvpa__

gaygavgapgaa

gByg3vg$PgBa

g6yg6vgôpgô5

<*vpa__ gYVgYPgYCf

gÔ Vgô pg6 0

gô pg6 a

Notamos facilmente que os termos proporcionais a m , nos traços, dão zero porque, sempre resultam de um produto

(1 + Y5) d - Y5) •

9 3

-Então

-e.k'p

²

.fe) (k. .kp

²

.fe) (k

¹

.fce.

-k

^l

.fek.fep

¹

.p

²

> +p

¹

.fe(2k

^l

.fep

²

.k+2p

²

.k'k.fe-3k'.kp

²

.fe)+

•*P

²

.fe(k».fep

¹

.k+k.fcp

¹

.k')]+ p ^ - ( í í | - ^ T > [ f . P

²

( k

** £ X

+k* .

^

pf

⁽

p~T! " p~rè) (p

²

.k'(k.fee.

^Pl

-e.k

^Pl

.fe)

⁺

p

²

.k(k'.fee.

^Pl

-. k

^{P r}

f e ) J

⁺

8 ( ^ | - ^ )

^{2 P l}

. k p

²

. k ' } x

Somando em p o l a r i z a ç õ e s temos:

N (V-A) = ^

+ 4 (

^{P 2}

. k

^{P l}

. k ' + p

²

. k ' p

¹

. k ) + 8 p

²

. k p

²

. k

^l

+ —^ 5 (k.kp^k '+k' .fep

¹

«k)

+2(k.fep

²

.k+k' .fep

²

.k)-4(p

¹

.kp

²

.k

^l

+p

¹

.k

^l

p

²

.k)-8p

¹

.kp

¹

.k

^l

+

p

l*

^p

2 P

+

«—K7!—W -12k',fek.fe+4(k.fep

ⁿ

.k'+k

¹

.fep, .k)-4(k.fep

^o

.k'+k

^l

,fep

^o

j^

P* • Kp» • ic ^ X J. ^ ^S

, . , , "1 m

²

H « « , 1

" 1 0 ^ 1 «A.p^ «Jt T p 4 \¥i •«'-P^ »K TJS. •'tp^ • Jí Í ° P i «Kp» «K "•

m

2 r

^{fc k}

,

^{+ k}

,

k k + 8 k

'

^k

. l _

^{l l k}

.

^{k }}

-94-O proximo passo seria integrarmos em d fe mas antes , vamos fazer um estudo da cinemática do processo.

Temos no S.C.M. o seguinte, (fig. 3.3.1 ) ,

S.C.M. 1 P²+k'+fe

E,,.. = A

min ^{+ K1 = + K}

F i g . 3.3.J. - Uma visão da cinemática do processo de bremsstrah lung i n t e r n o no S.C.M.

ECM-° fecos6^fo (A+m²) ± \E-Ã2+\2. '| /(A-m²) ²-4fe²m²sen² e.'

! D-5= min

onde cos9t,=sen9^sen9, cos(|),+cos9/scos0,, <)>, é o ângulo azimutal e A = E-,,, -i _ir!'

A s s i m

P¹

.fe =

^(3.3.15)

-95-.k = E,E - p,fc COS0, (3.3.16)

em N

Estamos interessados na parte que dá a divergência do ílho, deste modo, vamos inspeciona

que podem contribuir. Portanto,

infravermelho, deste modo, vamos inspecionar quais os fatores

(v-A»

Quando integramos agora em d k/c a expressão entre pa.

rêntesis à direita da eq. (3.3.17) ê semelhante àquela da eq.

(2.4.16) e calculando essa integral também no sistema de repou-so da partícula 1 resulta:

AP{^V-^A)d²p² *

K

[d³p²/(2Tr)⁵E²J(e²/27r)p¹.kp².k'ô(E¹-E² + +E,, -E^t, ) (2D+C) (3.3.18) onde D e C são dados pelas eqs. (2.4.27) e (2.4.22).

Assim vemos claramente que a divergência do infraver-melho cancela-se também para o espalhamento elétron-neutrino.

Temos que, tanto na probabilidade de transição quanto no bremsstrahlung interno fica s a t i s f e i t a a condição de espalha mento, i s t o é, u - 0.

Os resultados dos nossos cálculos da probabilidade de

9 6

-transição e do bremsstrahlung interno, são dados (3.3.9) e (3.3.14), a saber:

Para se obter a seção de choque deve-se integrar a primeira expressão em relação ao elétron e a segunda em relação ao fóton e ao elétron e depois dividir tudo pelo fluxo.

A integral em relação ao fóton da eq.(3.3.14) pode ser f e i t a , termo por termo, se escolhemos, para cada um deles, um sistema de referências apropriado.

CAPÍTULO IV

COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES

Em relação aos decaimentos do y e do 3 dados no capí-tulo III ê interessantei em primeiro lugar, discutirmos porque o cálculo da correção radiativa ê finito para o primeiro, en -quanto que é divergente para o segundo. Senão vejamos:

Na teoria V-A a lagrangeana dscrevendo o "y-decay" ê

w

(4.1)

Fazendo uso da transformação de Fierz isso pode ser também escrito como

w

,(y)

7T

^(4.2)

* Nessa expressão o segundo covariante faz o papel de um campo externo neutro enquanto que as duas partículas carrega das estão acopladas no primeiro covariante através de y. (1+y ) .~ 5

A

Primeiro consideremos a correção radiativa da parte vetorial ^"eY^*u« Aqui a única diferença comparada ao caso da E.Q. é a troca de massa do campo espinorial para o ponto espa

-

-98-cem (que surgem das renormalizaçoes de vértice e função de on-da) são logarítmicas e seus coeficientes são números independen tes das massas espinoriais. Assim, como essas divergências do ultravioleta cancelam no caso da E.Q. elas devem cancelar tam -bém no caso do muon, para primeira ordem em G e para todas as ordem em a.

0 fato de que um cancelamento similar deve ocorrer pa_

ra o termo ILY-VYc *„ pode ser visto a seguir. A transformação

e A (J

formal ¥ -*• y V , m -> -m mantém invariantes as lagrangeanas

6 3 6 6

eletromagnética e livre quando transformamos *eYXY ^u e m

Assim as correções para a interação ¥ YT, Y Y podem ser obtidas daquelas afetando a interação trocando o sinal de

Como os coeficientes das infinidades logarítmicas sur gindo das renormalizaçoes do vértice e da função de onda são in dependentes de m , as divergências do ultravioleta das corre -çoes para Y^Y devem anular-se como no caso de y^.~ 5

Por outro lado, no caso do decaimento do neutron a l£

grangeana fraca tem a forma

(4.3)

Se fizermos uso de uma transformação de Fierz para jtn tar os campos do proton e do elétron num mesmo covariante, ao invés do acoplamento Y^d+Y )/ obtemos uma combinação linear de S e P (escalar e pseudoescalar).

Como os acoplamentos S e P não têm nenhuma semelhança

-99-na E.Q. não devemos esperar que um cancelamento similar ocorra.

Até agora tratamos apenas com processos fundamentais mas, no caso de considerarmos o problema de muitos corpos, e.g.

o decaimento beta nuclear, aparecem várias dificuldades. A mais importante delas, está relacionada ao fato de que se quizermos calcular o processo real de muitos corpos temos de saber as funções de onda de todos os estados que contribuem no processo, inclusive os intermediários por causa dos propagadores. A outra ê que o valor de p , no caso de muitos corpos, não ê necessária mente igual a m como no caso de partícula livre. Assim o que se faz ê considerar a contribuição individual de cada nucleon que decai. Portanto, temos duas maneiras de associarmos as correções radiativas: uma é aditiva, i.e. consideramos as corre -ções como um termo somado ao elemento de matriz e a outra, mui ti plicativa, é quando consideramos as correções como uma porcentia gem associada ao elemento de matriz.

Esse assunto tem sido tratado explicitamente ou impli^

- . (26-30) - ~

citamente por varxos autores — — e ate agora nao esta resol-vido, pois ainda apresenta alguma ambigüidade.

Uma outra característica que difere o espalhamento do decaimento no caso leptônico, está ligada ao fato de que quando tratamos com interação do tipo (V-A) pura não temos no segundo termos cruzados, i.e. do tipo VA, mas o temos no primeiro. Va-mos explicar melhor:

Se temos corrente do tipo j=(V-A), tanto a taxa de transição quanto o bremsstrahlung são proporcionais a

-100-Assim

Pa (4.5)

Como vimos, no decaimento, guando integramos no ço dos neutrinos como eles tem todas as possibilidades no espa-ço para decairem o resultado da integral é simétrico em a,a'.

Portanto os termos I ™ e IA V são nulos, isso implica que a parte imaginária nos traços desaparece, daí:

pa

C

1

W

+ I

A A ]

Temos que Iw = 1 ^ , então

2 I

Mas a probabilidade de transição tem que ser real, então são também nulos.

Finalmente,

Pa2 M

A A ]

^(4.6)

No caso do espalhamento chegamos também a eq. (4.5) , mas o resultado da integral nos neutrinos agora não é simétrica portanto, existe uma contribuição dos termos I e IAV«

Eles são imaginários mas, como os termos MyA e

-101-tarribém o são, o produto dos dois ê real e portanto contribuem para a taxa de transição.

Uma conclusão que podemos tirar então, é que no caso do decaimento não importa se utilizamos a interação (V-A) ou não, pois o resultado é puramente W ou AA o que já não aconte_

ce com o espalhamento onde o problema da quebra de paridade tem que ser levado em consideração.

Outra característica bastante importante nos cálcu los de correção radiativa é que, a divergência do infraverme -lho que aparece na probabilidade de transição (fõtons virtuai^

ê cancelada por um termo similar que advém do bremsstrahlung in_

terno (fõtons reais), o que foi confirmado nos nossos cálculos do espalhamento.

Vimos aqui que um cálculo de correção radiativa para decaimento beta não é renormalizave1, i.e., não sabemos quan-tos resultados sensíveis podem ser extraídos das infinidades surgindo de tal cálculo.

Assim,é de nosso interesse extender o presente traba_

lho para teorias mais recentes, nas quais o cálculo para decai mento beta é renormalizave1, por exemplo, Teoria de Gauge.

Uma comparação qualitativa pode ser feita entre os nossos resultados, do espalhamento, e os feitos por Bahcall — , em termos do comportamento do espectro do espalhamento em relíi ção ã energia incidente. Notamos que o espectro com correções radiativas tem um comportamento similar do espectro sem corre-ções dado por esse autor.

APÊNDICE A

REDUÇÃO PADRÃO NA E.Q.

O elemento de matriz da correção de vértice para fó tons virtuais ê dado por:

(A.l)

Multiplicando e dividindo o integrando da eq. (A.l)por ). obteinos

Aa

4fe = (ge2/4ui)

/' ^{2 2}

2 2 2 2

Usando o fato de que Pj^m, ? P 2= m2 f resulta

(A. 2)

d*fe (A. 3)

k fe*-2p

¹

.fe

No sentido de calcular a integral (A.3), esta pode

-103-ser escrita como uma soma de três termos (desde que sim

(A. 4)

onde

que quando integrados em d fe resultam

AaM<*>

(A.5)

agora Jn . 2 a * 3 c n ) eqs. (2.2.3)-(2.2.'6).

APÊNDICE B

UM MfiTODO PARA RESOLVER AS INTEGRAIS J(l;2a;3aT)

Consideremos para exemplo a integral

(dy/Py2) £n (B.l)

fazendo as substituições

2 2 2 2 2 2 2" 2 2

y=boothoi+a; a = - ( p2. q ) / q ; b =a -m2/<3 ' Py = b *3 cosech a

a eq. (B.l) torna-se

1/2 £n ^—y

(B.2)

1/2 Jln

o s e n h j ( u - e )

O p r i m e i r o termo do i n t e g r a n d o da e q . (B.2) pode s e r i n t e g r a d o usando a forma exponencial de senha. O r e s u l t a d o é

, , , (B.3)

|^{t o} ( ) +2L ( e~8) -2L ( -e6)

-105-onde L(x) I uma das funções de Spence e usando as relações _

L(x) = - I x

ⁿ

/n

²

, x < 1

L(x) = -n=l

I

+ |(£nx)2+£n(-l)

L (x) = Jtn (1-x) In (x) - ~ - L (1-x) , 0 < x <_

passamos a forma das egs. (2.2.11) a (2.2.15)

APÊNDICE C

TRANSFORMAÇÃO DE FIERZ

Temos que os invariantes de Lorentz formado por qua -tro espinores é

( ?

¹

r

ⁱ

¥

²

) (?

³

r

^li

i'.

⁴

) (c.i)

e pode ser expandido em termos dos invariantes do tipo escalar - S - 1

Pelos coeficientes C1 3 dados pela eq. (C.3) vemos que fazendo-se uma transformação de Fierz para a teoria (V-A),a for ma da interação se mantém, i.e., continua (V-A).

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No documento LUIZ CARLOS SANTOS DE OLIVEIRA (páginas 68-117)