Teste com Barreiras

No segundo teste de validação experimental buscou-se verificar a resposta global do algo- ritmo DEM com um número maior de partículas e comparar com um resultado experimental pu- blicado. Para isso, buscou-se reproduzir o experimento realizado por Li et al. (2005), onde foi utilizado o dispositivo mostrado Figura 3.15.

Neste dispositivo experimental a caixa menor se encaixa na caixa maior, permitindo que as partículas sejam lentamente liberadas pela abertura inferior conforme a caixa interna é movida verticalmente para cima. Os resultados experimentais obtidos por Li et al. (2005) foram compa-

with the additional vertical load, is driven by a pull force via a dragline to slide at a low constant velocity along the base plate, the frictional force F (equal to the pull force) and the vertical normal force N can be measured and the sliding friction can be calculated using Eq. (11). This design allows larger contact forces and hence the measurement can be more accurate and stable.

For a DEM simulation, the friction between a particle and the wall of a container and between two particles with different material properties need to be specified. The same methodology as above can be applied using a particle-board and another base plate with specific properties as the user desires.Using the device shown inFig. 2b, three groups of experiments were carried out: (1) Rough glass ball – rough glass plate for inter-particle

friction;

(2) Smooth steel ball – smooth steel plate for inter-particle friction;

(3) Rough glass ball – Perspex plate for friction between the glass ball and the container.

Typical results of the measured frictional forces F and the normal forces N for the three cases are shown inFig. 3, from which it is seen that the frictional force is approximately proportional to the normal force for all three cases, suggesting that the effect of the contact area on sliding friction is not significant and therefore the classical friction theory is applicable. The measured values of sliding friction to be used in the simulations were established by mathematically averag- ing the results and are given inTable 1.

4. Quasi-two-dimensional (Q2D) sandpiles of glass balls 4.1. Experimental setup

The device for a Q2D experiment consists of two flat boxes of Perspex glass with different dimensions. The smaller is the

inner box with two optional outlets for discharge via the base. One outlet is at the side and the other is central. The larger outer box allows the inner box to move vertically and collects the discharged particles as they form a heap.Fig. 4(a) and (b) provide the dimensions of the two boxes used. The depth of the inner box is approximately 5.5 times the average particle size. This is reasonable to reduce the frictional influence of the front and the back walls and to avoid excessive 2D kinematic constraints on the individual particle movements.

In the Q2D experiments, 3000 rough glass beads were used with a mean diameter of 11.175 mm, the particle size distribution is given inTable 2. The physical parameters used in the simulations are listed in Table 3. The values of the physical parameters are either found in relevant standard handbooks or through experiment.

The particles of different sizes were mixed as a homoge- neous poly-dispersed system. All the mixed particles were poured into the inner box, which had been positioned inside the outer box. Then the inner box was vertically raised gently to allow the glass beads to flow slowly into the outer box and settle down to form a wedge. The progressive profiles for Q2D side piling experiment are shown inFig. 6(a), (c) and (e), and the whole process of experiments were taken until both the particles in the outer box and those remaining in the inner box were stationary. The repose angles were then measured from the inclined planes of the wedges for both the side discharge and the central discharge experiments.

Each experiment was repeated several times to eliminate errors from random influences. The final experimental value of the angle of repose was obtained by averaging the measured results obtained from several experiments.

418 mm 260 m m 78 mm 400 mm 248 m m 60 mm 30 mm 155 mm (a) (b)

Fig. 4. Box dimensions used for Q2D experiments. (a) Outer box; (b) inner box.

Table 2

Size distribution of glass beads

Group 1 2 3

Table 3

Parameters used in the simulations

Variable Value

Particle density (Mg/m3_{) 2.456}

Young’s modulus of particle (GPa) 55

Young’s modulus of container (GPa) 200

Particle – wall sliding friction 0.1333

Particle – particle sliding friction 0.1545

Poisson’s ratio of particle 0.25

Y. Li et al. / Powder Technology 160 (2005) 219 – 228 222

Figura 3.15: Dimensões do dispositivo usado por Li et al. (2005).

rados com os resultados obtidos com simulações do DEM, que mostraram grande semelhança no comportamento. Portanto, o objetivo deste teste é reproduzir o experimento realizado por Li et al. (2005) com o algoritmo DEM implementado neste trabalho e comparar a resposta global com os resultados experimentais e computacionais publicados.

Pelas limitações físicas impostas na construção do dispositivo experimental não é possível reproduzir uma simulação bidimensional, uma vez que o atrito oriundo das faces da caixa interfe- ririam fortemente no resultado do experimento. Portanto, a espessura do dispositivo mostrado na Figura 3.15 é maior que o diâmetro das esferas usadas no experimento, implicando que tanto a simulação quanto o experimento são realizados considerando um domínio tridimensional. Como a implementação realizada neste trabalho é bidimensional algumas modificações foram necessárias para manter a equivalência de ambos, obviamente tendo em vista que tais modificações prejudicam as posteriores comparações dos resultados.

No experimento real foram usadas 3000 esferas com raio médio de 6 mm. A fim de usar as mesmas dimensões espaciais do dispositivo experimental, neste teste foram usadas 420 partículas com raio médio igual a 6 mm, sendo que a distribuição de tamanhos das partículas é mostrada na Tabela 3.5, onde foi mantida a mesma proporção de tamanhos do experimento real. Os valores dos parâmetros dos modelos de contato usados neste teste são mostrados na Tabela 3.6, calculados conforme descrito na metodologia apresentada na seção 2.1.10 deste trabalho. A fim de comparar os resultados, foram usados os mesmos valores adotados por Li et al. (2005) para os coeficientes de atrito.

Os valores de 𝑘𝑡e 𝑐𝑡não constam na tabela 3.4 pois dependem do par de partículas que está

em contato, ou se o contato ocorre com as fronteiras do domínio espacial, sendo determinados pelas

Tabela 3.5: Distribuição de tamanho das partículas do teste de validação experimental 2.

Grupo 1 2 3

Diâmetro (m) 0,013 0,012 0,011

Quantidade 105 210 105

Tabela 3.6: Parâmetros usadas no teste de validação experimental 2.

Parâmetro Unidade Valor 𝑘𝑛 (N/m) 1,02 × 106 𝑘𝑡 (N/m) 5,09 × 104 𝑐𝑛 (N.s/m) 173,4 𝑐𝑡 (N.s/m) 27,7 𝜇𝑡 0,4 𝜇𝑟 0,1 𝛼𝑑𝑎𝑚𝑝,𝑡 (1/s) 6,7 × 10−5 𝛼𝑑𝑎𝑚𝑝,𝑟 _{(1/s) 6,7 × 10}−6

equações 2.100 e 2.101, respectivamente. Para esta simulação adotou-se que 𝜂𝑟 = 0,3.

As partículas foram inicialmente posicionadas de maneiras aleatória a acomodadas sob a ação da gravidade sobre a barreira fixa de partículas, em uma simulação com 2 s de duração. Após a etapa de adensamento a barreira é aberta e movida a uma velocidade de 0,01 m/s durante 15 s, permitindo que as partículas saiam da caixa interna pela abertura no canto inferior esquerdo e se acomodem na caixa externa. Após atingir a altura máxima, a barreira permanece em repouso por mais 2 s para permitir a acomodação final das partículas, totalizando 19 s de simulação. Na Figura 3.16 é possível acompanhar o progresso da simulação em quatro momentos distintos. O passo de tempo utilizado é igual a ∆𝑡 = 1 × 10−5 s, o que corresponde a 5,4% do passo de tempo crítico desse sistema.

É possível observar a formação de uma pilha com ângulo em relação a horizontal de aproxi- madamente 28∘, conforme mostrado na Figura 3.18 com a posição das partículas após atingirem o repouso. Esse resultado é ligeiramente maior que o obtido por Li et al. (2005) em seu experimento físico, 21∘, conforme mostrado na Figura 3.17. Essa diferença pode ser atribuída às implicações que

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.16: Posição das partículas em (a) 0 s; (b) 5 s; (c) 10 s; (d) 17 s para o teste com barreira móvel.

a simplificação de um domínio tridimensional para um domínio bidimensional trazem na resposta global da simulação. Também deve-se notar diferença nos métodos de contato normal e tangencial usados no modelo constitutivo da implementação de Li et al. (2005), onde é usado o modelo de contato não linear de Hertz e partículas tridimensionais.

28°

Figura 3.18: Ângulo de empilhamento obtido no teste com barreira móvel.

A fim de avaliar o efeito do aumento do número de partículas no ângulo de empilhamento fi- nal foi realizada uma nova simulação. Na nova simulação foram mantidas as mesmas dimensões do domínio espacial da simulação anterior, porém foi aumentado o número de partículas para 15000, assim como foi reduzido o diâmetro médio de forma que a altura inicial da coluna de partículas em repouso no início da simulação fosse aproximadamente a mesma. Na Tabela 3.7 tem-se a nova distribuição de tamanhos.

Tabela 3.7: Distribuição de tamanho das partículas.

Grupo 1 2 3

Diâmetro (m) 0,002 0,0018 0,0022 Quantidade 3750 7500 3750

Os demais valores de propriedades foram mantidos os mesmos mostrados na Tabela 3.6. Na Figura 3.19 tem-se a condição de equilíbrio após 19 s de simulação.

Com o aumento do número de partículas o ângulo de empilhamento obtido foi de 20,5∘, um valor mais próximo do obtido no experimento conduzido por Li et al. (2005). Esse resultado indica que a quantidade de partículas usadas no teste anterior não foi suficiente para capturar a resposta global desejada do material granular que se desejava simular. Além disso, mostra a limitação do modelo bidimensional, uma vez que o primeiro ensaio foi feito com o mínimo de partículas usado no experimento.

Figura 3.19: Configuração final com 15000 partículas.