3 A POLÍTICA MONETÁRIA BRASILEIRA E SEUS MODELOS
4.2 Métodos
4.2.2 Teste de cointegração
Segundo Gujarati (2006), na linguagem estatística, duas ou mais variáveis são ditas cointegradas, se entre elas existir uma relação de longo prazo, ou em outras palavras, se a longo prazo as variáveis “caminharem” juntas.
Variáveis são consideradas cointegradas, quando possuem a mesma ordem de integração e a combinação linear entre elas é estacionária, mesmo sendo ambas individualmente não estacionárias, isto é, ambas com uma raiz unitária. Porém, é importante salientar que nem todas as variáveis que possuem a mesma ordem de integração são cointegradas, e que por outro lado, se elas não forem integradas de mesma ordem elas não poderão ser cointegradas (ENDERS, 2004).
Segundo Engle e Granger (1987) apud Enders (2004) os componentes de um vetor
1t, 2t,..., nt
't x x x
x são ditos cointegrados de ordem d, b, e então representados por
d b
CI
xt ~ , se todos os componentes de xt forem integrados de ordem d e se existe um
vetor
1,2,...,n
tal que a combinação linear xt 1x1t,2x2t,...,nxnt sejaintegrada de ordem (d-b) onde b>0.
Sendo assim, se for comprovada a existência de cointegração entre as variáveis, tem-se que estas se movimentam conjuntamente, e desta maneira existe um modelo de correção de
erro que indica a velocidade com que as variáveis caminham para o equilíbrio de longo prazo. Logo, as variáveis que tiverem o diagnóstico acima poderão fazer parte de uma mesma regressão, sem dar origem a uma regressão espúria26 e sem a necessidade de serem diferenciadas, o que pode trazer resultados mais adequados, uma vez que o procedimento de diferenciar séries de tempo com o objetivo de torná-las estacionárias pode ocultar as informações de longo prazo a respeito das relações existentes entre as mesmas.
Os principais testes utilizados atualmente para a detecção de cointegração entre as variáveis são o teste de Engle-Granger (1987) e o de Johansen (1988). De acordo com Enders (2004), Engle e Granger (1987) consideram um sistema com as seguintes variáveis supostamente integradas de ordem um: y e t z , e desta forma sugerem um procedimento t
com quatro passos para determinar se tais variáveis são cointegradas de ordem um: CI (1,1). Seguindo Enders (2004), os passos são basicamente os seguintes:
1- Realizar um teste de raiz unitária para cada variável de interesse, de modo a verificar se ambas são integradas de ordem um;
2- Se for verificado que as variáveis são integradas de ordem um, o próximo passo é estimar uma relação de equilíbrio de longo prazo na seguinte forma:
yt 01ztet (20) E a partir de tal relação, deve-se obter o erro estimado e assim testar a cointegração utilizando a seguinte equação:
êa
1ê
t1
t (21) Considerando que a hipótese nula é de que a =0, aplica-se na formulação acima um 1teste ADF e se a presença de raiz unitária nos resíduos for rejeitada (hipótese nula rejeitada) as variáveis serão cointegradas.
3- O próximo passo é estimar o modelo de correção de erro, pois se as variáveis são integradas de ordem um e também cointegradas, os resíduos da regressão de equilíbrio podem ser usados para estimar o modelo de correção de erro.
4-Por fim, deve-se certificar se o modelo de correção de erro estimado é adequado. Isso pode ser feito através da análise dos resíduos ou do número de defasagens.
É importante salientar que Engle e Granger também desenvolveram um procedimento para variáveis integradas de ordem dois I(2), porém, como ressalta Enders (2004) o teste de
26 Regressão com resultados errados/duvidosos, uma vez que uma regressão espúria pode originar estatísticas t e
F com valores altos e um R2 próximo de um (que são indícios de que as variáveis possuem algum tipo de relação entre si), mesmo quando as variáveis não têm qualquer ligação entre si.
Engle e Granger possui alguns defeitos significativos, já que só testa a cointegração entre duas variáveis e não é indicado para casos em que seja possível a existência de múltiplos vetores de cointegração. Logo para evitar tais deficiências, outros testes têm sido desenvolvidos, dentre eles esta o de Johansen (1988), descrito a seguir.
4.2.2.1 Teste de cointegração de Johansen
O método proposto por Johansen tem basicamente como objetivo determinar o número de vetores de cointegração (ranking) por meio de um Modelo de Vetores Autorregressivos (VAR) 27 de ordem p, logo, o teste busca examinar a existência de mais do que um vetor de cointegração e não apenas um como é feito pelo teste de Engle Granger (JOHANSEN, 1988). Como pontua Ishii (2008), este teste é uma versão multivariada do teste de Engle e Granger.
Seguindo o artigo seminal de Johansen (1988) e a exposição de Enders (2004), tem-se que o teste de Johansen parte de um modelo autorregressivo vetorial, com a seguinte formulação: t i t p i i t t x x x 1 1 1 (22) Em que x é um vetor (n x 1), t p i i A I 1 e p i j j i A 1
O objetivo do método de Johansen é examinar o posto da matriz , que é igual ao número de vetores de cointegração independentes. Se for considerado que o posto da matriz aqui em questão seja r, os seguintes casos são passíveis de ocorrerem: Se r=0 a matriz será nula e a equação (22) será um VAR na primeira diferença. Se r=n o vetor será um processo estacionário. E quando 1<r <n existirão múltiplos vetores de cointegração (ENDERS, 2004).
De acordo com Johansen (1991) a matriz também pode ser definida como '
, em que α é uma matriz (n x r) de coeficientes de ajustamento e β é uma matriz de vetores de cointegração, também (n x r). Considerando tal definição, pode-se reescrever a equação (22) da seguinte forma:
t i t p i i t t x x x 1 1 1 ' (23)
Em que 'xt1 representa a parcela de correção de erro, que compreende a quantidade de relações de cointegração entre as variáveis.
Tais relações podem ser obtidas através de dois testes designados como estatística traço e do máximo autovalor, que testam a hipótese nula de que existem r vetores de cointegração (JOHANSEN e JUSELIUS, 1990).
Seguindo Johansen e Juselius (1990) tem-se que os testes do traço e do máximo autovalor são respectivamente representados pelas seguintes equações:
p r i i traço T 1 1 ln (24) máx Tln
1ˆr1
(25)Em que T é o número de observações da amostra e λ representa os autovalores estimados das raízes características.
De modo geral, apenas a utilização de um dos testes já é suficiente para a identificação da existência de vetores de cointegração. Quando a presença de tais vetores é comprovada, faz-se necessária a inclusão destes no modelo VAR, de modo a obter um modelo de correção de erros, como será exposto na próxima subseção.