Os modelos de dinâmica de sistemas são formulados em tempos contínuos e resolvidos por integração numérica. Apesar disto, seja de forma manual ou com o auxílio de um programa de simulação, tem-se que decidir por um método de integração e por um passo de tempo (time step). Basicamente, sobre os métodos de integração poder-se-ão utilizar dois métodos, o de Euler e o de Runge-Kutta. A diferença essencial entre ambos é que o método de Euler assume que os fluxos médios permanecem constantes, por exemplo, entre o espaço de tempo t0 e um outro tempo subseqüente que será chamado de dt (delta
tempo), ou seja,
St = INTEGRAL(It – Ot, St0) (Obs: notação usada por Sterman, 2000 para integração)
St + dt = St + dt * (It + Ot)
Esta é a técnica mais básica de integração. Segundo Sterman (2000), a premissa de que as taxas dos fluxos permanecerão constantes é razoável se a dinâmica do sistema for suficientemente lenta e o dt suficientemente pequeno, o que depende do propósito do modelo. Pela técnica de Euler, quanto menor o passo de tempo, melhor a aproximação, mas quanto mais rápidas as mudanças das taxas dos fluxos no sistema, maiores os erros. No entanto, para o estudo de sistemas sociais ou humanos, onde as diferenças pequenas não têm maiores conseqüências nos resultados do estudo, Sterman (2000, p. 908), sugere que maior tempo seja usado em melhorar o modelo que em buscar afinar o método de integração.
Já o método de Runge-Kutta, normalmente é utilizado quando se tem informações precisas sobre o comportamento de um sistema, seja ele, por exemplo, de engenharia ou física, onde os erros do uso do método de Euler são considerados muito grandes. Neste caso, ao invés de considerar que o fluxo permanece constante no dt, o método Runge-Kutta busca calcular mais exatamente o fluxo entre t e t + dt. Para isto, ele calcula estimativas provisórias do valor do estoque em t + dt pelo método de Euler. Depois a taxa de fluxo no tempo t + dt é calculada com base no estoque calculado pelo método de
126
Euler em t + dt. Então se calcula a média das taxas de fluxo estimadas em t e t + dt e são utilizadas para calcular o estoque em t + dt. Este método, conhecido como Runge-Kutta de segunda ordem, tem vantagens sobre o de Euler, não somente na maior exatidão dos números, mas é possivel ter passos de tempo maiores para sistemas com rápidas mudanças nas suas taxas de fluxos (Sterman, 2000, p. 908). No entanto, o método Runge-Kutta, pela sua forma de cálculo, de obter médias entre tempos, dificulta sua utilização em sistemas que possuem picos ou vales repentinos como quando se utilizam as funções “degrau” (step) ou “pulso”, para testar o comportamento de um sistema. No caso deste estudo, como ocorre a passagem da operação da Global para o OL, ocorrem decréscimos ou acréscimos pontuais drásticos que a utilização do método Runge-Kutta poderia causar vieses nos resultados pela sua descontinuidade (Sterman, 2000, p. 909), por isso está se testando a sua eficiência neste item comparando-o com o método de Euler. No entanto, nos sub-processos de vazamento de informação (vide itens 4.1.1 e 4.2.3.1) e no de vendas, produção, estoque e distribuição (vide itens 4.1.1 e 4.2.2.), os fluxos são muito rápidos o que podem causar problemas de cálculo para o método de Euler em passos de tempo maiores. Na tabela B.1 abaixo, ver-se-á os resultados finais do VPL Dinâmico, por método de integração e passo de tempo.
Com relação ao passo de tempo, Sterman (2000) sugere que se defina primeiro qual a menor constante de tempo do modelo, que no caso deste estudo é de um mês, ou 1. Para evitar erros de integração por arredondamento, deve-se buscar que o passo de tempo seja uma potência de 2, ou seja, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125 etc. Deve buscar-se, como regra geral, um passo de tempo que seja aproximadamente um quarto a um décimo da menor constante de tempo do modelo, ou seja, no caso deste estudo, 0,25 ou 0,1. Deve-se verificar os erros de integração dividindo o passo de tempo na metade, e processando o modelo novamente até que as diferenças resultantes, não sejam significativas. Se não houver diferenças significativas entre os resultados da integração entre os métodos de Euler e de Runge- Kutta, então utilizar o método de Euler. Na tabela B.1 poder-se-á ver os resultados de ambos os métodos e os passos de tempo.
127
Variável Método de Integração
Passo de
Tempo Resultado Observação Resultado Observação
1 $ (1,683,290.00)
Falta de exatidão em
t0 e t36 Não Disponível
Fluxo muito veloz - Vaz. Info - Número de Funcionários
0,5 $ (1,682,920.00)
Falta de exatidão em
t0 Não Disponível
Fluxo muito veloz - Vaz. Info - Número de Funcionários
0,25 $ (1,682,940.00)
Falta de exatidão em
t0 Não Disponível
Fluxo muito veloz - Taxa de Embarques
0,125 $ (1,682,650.00)
Falta de exatidão em
t0 Não Disponível
Fluxo muito veloz - Taxa de Embarques 0,0625 $ (1,682,620.00) - $ (1,614,110.00) - 0,03125 $ (1,682,760.00) - $ (1,623,600.00) - 0,015625 $ (1,682,980.00) - $ (1,665,610.00) - Euler Runge-Kutta Resultado: VPL Dinâmico
Tabela B.1. Tabela comparativa dos resultados de Método de Integração versus Passo de Tempo (Time Step).
Observa-se na tabela B.1 que se confirmam as observações previstas em Sterman (2000). O método de Runge-Kutta perdeu exatidão no início do modelo derivado do inicial do processo de terceirização e no mês 36, quando ocorre o início da operação do OL. Esta falta de exatidão, apontada pelo software Vensim, no entanto foi extremamente pequena e diminui até ser imperceptível no passo de tempo 0,0625. A diferença dos resultados do VPL Dinâmico foi muito pequena entre todos os passos, variando em poucas centenas de reais (R$ 670,00 entre o menor e maior resultado), o que para a avaliação de um processo como o de terceirização logística, pode ser considerado muito bom.
O método de Euler no Vensim, por sua vez, não conseguiu gerar os resultados do VPL Dinâmico nos passos de tempo 1, 0,5, 0,25 e 0,125, porque Vensim não conseguiu fazer o cálculo devido à velocidade de mudança de alguns fluxos ou variáveis, como já alertara Sterman (2000). Nos passos de tempo 1 e 0,5, a velocidade da mudança da variável “proporção de funcionários informados” criou uma discrepância nos cálculos de integração logo no início da simulação. Com a diminuição do passo de tempo para 0,25 e 0,125, a velocidade da mudança da proporção de funcionários informados deixou de ser um problema, mas a “taxa de embarques” passou a ser muito veloz para o cálculo pelo método Euler. Ao se passar a um passo de tempo menor os cálculos de integração passaram a ser possíveis e foram obtidos resultados não muito satisfatórios com uma diferença de $ 9.490,00 entre os passos de tempo 0,0625 e 0,03125, e $ 42.010,00 entre os passos de tempo 0,03125 e 0,015625.
128
Também a diferença entre os resultados de ambos métodos a partir do passo de tempo 0,0625, demonstraram ser grandes, sendo aproximadamente de 4,24% no passo 0,0625, 3,64% no passo 0,03125 e 1,04% no passo 0,15625.
Baseado nestes resultados, e, após a verificação de que os resultados entre ambos métodos foram próximos e, que o método Runge-Kutta demonstrou muito menor variabilidade ou consistência nos resultados em todos os passos de tempo, optou-se por utilizar este último, com um passo de tempo de 1, já que a sua diferença com os resultados dos outros passos de tempo é ínfima, chegando a ser de apenas $ 670 entre o maior e o menor valor obtido, ou 0,004% com relação ao passo de tempo 1. Esta escolha de passo de tempo ajudaria no menor processamento do modelo, já que o método Runge- Kutta exige maiores cálculos e permite uma simplificação da análise de resultados que são mais curtos e fáceis de verificar.