Teste de solvência e suas particularidades

Capítulo 3 – O Capital Social livre

2. Mecanismos alternativos

2.3. Teste de solvência e suas particularidades

Nous donnons dans les deux paragraphes qui suivent les développement mathématiques utilisés pour l’obtention d’une formule variationnelle du premier ordre. Nous tenons compte des qua

tre types d’incertitude énumérés au paragraphe V.2 de ce chapitre. Ensuite, nous décrivons l’application de la formule variationnelle au milieu géologique. Nous terminons par une descrip tion de la méthode utilisée pour la résolution approchée du problème inverse. Nous décrivons enfin, l’algorithme du code d’analyse de sensibilité développé dans ce travail.

V.4.1 Le principe variationnel

Afin de simplifier les expressions, nous supposerons ci-dessous que le tenseur de conductivité hydraulique K{f) est isotrope [K{f) = K{f)I où I est le tenseur identité). L’équation (5.1) devient alors

v(ü:(f)V0(f)) =Q(f) (5.3)

Une généralisation au cas d’un tenseur de conductivité hydraulique anisotrope pourra être envisagé à l’avenir. Nous définissons la quantité suivante:

= ^ [(/)(f) Q*{f) + Q{f) - <j)*{f)V{K{r) V 0(f))] df

+ s) -&D{rs) 0(^s) + ÔN{rs) K{rs) + f{rs) dS (5.4)

où V est un volume quelconque limité par une surface 5; n est la normale extérieure à cette surface et ^ = n V est la dérivée normale. La fonction <f)* (f) est pour le moment une fonction quelconque de f, le vecteur position. La fonction ^(f) est la solution de l’équation (5.3) pour laquelle deux types de conditions aux limites ont été considérées: une condition aux limites de Dirichlet (potentiel hydraulique imposé) et une condition aux limites de Neumann (fiux normal imposé). Nous définissons la fonction indicatrice Ooif^s) qui est égale à l’unité si fs se situe sur les parties de la surface S où une condition aux limites de Dirichlet est imposée et est nulle partout ailleurs. La fonction indicatrice Ôn{^s) est définie similairement pour les conditions aux limites de Neumann. Nous pouvons alors écrire les conditions aux limites de l’équation (5.3) comme suit

(f){fs) = f{fs) si Ooifs) = -K{fs) = fi^s) si ÔNifs) = 1

où la fonction f{fs) est une fonction générique qui prend les valeurs des deux types de conditions aux limites.

Nous voyons immédiatement que si <f>{f) satisfait l’équation d’écoulement stationnaire (5.3) et les conditions aux limites (5.5), nous avons à partir de (5.4)

1= [ (j){r) Q*{r) dr (5.6)

De plus, si Q*{f) = S{f — fo) où 6{f) est la fonction de Dirac, alors I = (/>(fo). La quantité

I définie peu' l’expression (5.4) peut donc être utilisée pour calculer la variation S(j){fQ) du potentiel hydraulique au point fo causée par les variations des quantités qui apparaissent dans le membre de droite de l’équation (5.4).

Sauf quand cela s’avérera nécessaire pour la compréhension des développements mathéma tiques, nous ne mentionnerons plus dans la suite la dépendance spatiale des fonctions. Jusqu’à

présent, nous n’avons pas encore défini la fonction 4>*{f). Ce degré de liberté au niveau du choix de <p*{f) peut être mis à profit de telle sorte à rendre la variation 61 (obtenue à partir de (5.4)) indépendante des variations 64> et 6(j)*. Si nous considérons dans (5.4) la variation 61

causée uniquement par les variations de 6^ et 6(f)*, nous avons

-0u(l, + eNK^ + f dS

i^{—4>*6D<t> + 6}ⁿ^{4>*K^}on ^dS ^(5.7)

où les parenthèses [ ] désignent l’intégrand de la première intégrale du membre de droite de l’équations (5.4).

Pom calculer les expressions apparaissant dans l’expression (5.7), nous utilisons la théorie générale de variation d’intégrales multiples [De Donder, 1935]. A partir de la définition suivante de la dérivée fonctionnelle

à _ d d d ^ (P d

d(f>

. . dxi dxj

I * ’ ’

ovi éi = etc, nous obtenons après quelques calculs

’ OXi <j>)]=V{KV <t>*) 6<j)\ ^ dn) dxi d(j)^i = —&N K^ + a<!>* on (5.8) ou O = -5---1- i^(V n). on

Des expressions semblables peuvent être obtenues pour la dérivée fonctionnelle Afin de

clarifier les expressions, nous utiliserons conjointement ci-dessous les notations ou ou (n .V) F pour la dérivée normale d’une fonction quelconque F. L’équation (5.7) devient alors

51 = l^6<l) [q* - V {KV(I>*)] dr + J^ 6<f>* [q - V (KV^)] df

J V ** y

6(f)* [—9d(I> + OpfKcpn + f] dS + 6(f) + On -f a dS

(5.9)

Nous voyons dans l’équation (5.9) que si <^(r) est la solution de l’équation d’écoulement (5.3) avec les conditions aux limites (5.5) et si (j)*{f) est solution de l’équation adjointe

V (AT(f) V (f>*{f)) = Q*{f) = 6{f - fo) (5.10) avec les conditions aux limites suivantes:

<l>*irs) = 0 si 6>p(f5) =

K{rs) + a{rs)4>*{rs) = 0 si 0Af(»'5) = 1

alors SI = 6 <f>{fo) = 0 dans l’équation (5.9). Cela signifie que pour un choix de la fonction qui est solution de l’équation (5.10) et qui satisfait les conditions aux limites mixtes (5.11), la formule variationelle (5.4) donnera explicitement la variation du potentiel hydraulique

S(j){fo){= SI) au point fo en fonction des variations des paramètres. Remarquons que l’équation (5.10) étant auto-adjointe, la même méthode de résolution utilisée pour l’équation (5.3) peut être appliquée pour l’équation (5.10).

Les expressions vues ci-dessus se généralisent aisément dans le cas où la condition aux limites de Neumann apparaissant dams (5.5) est remplacée par la condition aux limites mixte suivante:

-K{fs) ^{d(t> (rs)}

+

^<P{rs)

a'{rs) ^{= f{rs)} ^si⁰^{N{rs) =} ¹ ^(5.12)

Nous avons vu au chapitre II qu’une telle condition apparaissait pour une rivière dont le lit est semi-perméable. La quantité I (5.4) s’écrit alors

I =J^ [4>{r) Q* (r) + (p* (f) Q{f) - (f>* (f)V(K(f) V <^(f))] df

- 4>*{rs) -Ooifs) <l>{rs) - 0N{rs) (^-K{fs)

et il faut considérer une solution adjointe (t>*{fs) satisfaisant la condition aux limites

(5.13)

K{rs) + ^a(>'5) + <^*(^s) = 0 si 0Af(rs) = 1 (5.14) du même type que la condition aux limites (5.11) pour 6N{rs) = 1- Nous nous limiterons néanmoins dans la suite à la condition aux limites de Neumann apparaissant dans (5.5).

V.4.2 Expression des variations du potentiel hydraulique

Nous considérons les variations au premier ordre des paramètres ÔQ,ôQ* ,ÔK,ôf et les dépla cements Sfs de la surface S limitant le volume V. Nous avons vu au paragraphe précédent que si <j>*{f) était solution de l’équation (5.10) avec les conditions aux limites (5.11), la variation

SI = S(j){fo) = L {ÔQ,ÔQ*,ÔK,ôf,6fs) où L est une fonctionnelle ne dépendant ni de S(f> ni de ô^*. Nous montrons dans ce paragraphe les développements mathématiques qui mènent à l’expression de la fonctionnelle L.

Nous partons de l’équation (5.4) et nous modifions la première intégrale du membre de droite en utilisant le théorème de Gauss, nous avons

I = [PQ* + 4>*Q + KVcpVcj)*] df -h £0* [-OdcP + 0NK(l>n + î]dS- £(P*K dS

= h+h + h (5.15)

Les quantités Ii,l2 et I3 correspondent aux trois intégrales apparaissant dans l’expression (5.15). Elles sont traitées séparément ci-dessous;

La quantité Ii a la forme /i = /y G dr. Sa variation est calculée à l’aide de la formule

8h ~ ~ y^) (n.Srs) G dS (5.16)

où |y^} = {Q) Q*, /}• La première intégrale représente les effets de variations in trinsèques des paramètres dans V. La seconde intégrale est due aux déplacements ôfs

de S. Nous supposerons qu’il n’y a pas de déplacement de matière dans le domaine V; c’est-à-dire que = 0 dans V. La variation SIi peut alors s’écrire

5h = J [(PÔQ* + (I>*5Q + 6KV(t>V(i>*] df + ^ {n.Sfs) [<f>Q* + (p*Q + KV0V(^*] dS

(5.17)

2) variation de /a.

Considérons la quantité ^ J dS. Nous pouvons montrer que

6 j> JdS = j> |(ÎJ-l-Jn[Vx (n X Sfs) - (Jfs.V)n-f-(5fs (Vn) ] | d5 (5.18) Ici, dans I2, J = <t>* [-6d<I> + 6NK(j)n + /] = 0 sur S. Par conséquent,

ôjjdS = £6JdS (5.19)

ÔJ = 6 {(j)* [—6d(I> + GN^4>n + / ] }

= 4>*&[-eD4> + eNK(i>n + î] (5.20)

Nous considérons dans l’expression (5.20) deux types de variations à: les déplacements

ôfs de S et les variations des paramètres: (a) déplacements ôfs de S. Nous avons

ô + dNKcpn + /] = (<îrs-V) [—ÔD(f> + ^NK(f)n -|- /]

Nous supposerons, dans la suite, un déplacement ôfs parallèle à la normale extérieure

fl. Nous écrirons alors ôfs = n{fs)ôa{fs) où ôa{fs) représente l’amplitude du déplacement au point fs le long de la normale n;

(b) variations des paramètres. Nous avons également

Dès lors, nous obtenons pour ÔI2

Ôl2= { (<5fs.

v)

[-eo(p

+

0NK4>n

+

f]^[eN5K4>n + ôf]]dS

(5.21)

Dans l’expression (5.21), la première expression entre parenthèse [ ] est nulle sur S. Le calcul de la dérivée normale de cette expression fait intervenir la fonction / en-dehors de S

où rigoureusement, elle n’est pas définie. Nous pouvons supposer que le déplacement de la surface S “transporte” avec elle les conditions aux limites et que sur la surface S' = S+ô S,

nous avons toujoinrs —9d<P + 9j^Kcj)n -f / = 0; Dès lors, [ ] = 5a [ ] = 0.

3) variation de I3.

Nous appliquons la formule (5.18) pour J = —K(f>*(f>n'i nous avons

ÔI3 = j> [SJ +J 6a (Vn)} dS (5.22) où nous avons utilisé la relation 6fs = n{fs) ôa{fs)- Nous considérons à nouveau dans l’expression (5.22) deux types de variations 6:

(a) déplacements ôfs sur S. Nous avons

ÔJ = - (ôfs.v) [<P*K<l>n]

(b) variations des paramètres. Nous avons également

ÔJ = -(f>*(Pn6K

Par conséquent, nous obtenons à partir de l’expression (5.22)

5/3 = _ £1 -K 4>*K (n.v) (f>n + Kcj>n 4>*n + <!>*K4>n{^n) 6a + 4>*(t)n6K i dS

En appliquant l’identité doirs) + dN{fs) = 1 Vf^ G 5 et sachant à partir des conditions aux limites (5.11) de l’équation adjointe que 4>*{fs) = 0 si 0p(fs) = ls~^, l’expression précédente de 6I3 se modifie comme suit

5/3 = - + <f>n +Kcl>nCf>*^ + r<PnK{Vn) ) + eDK(j)n(t)*n \6a + eN4>* (t>n6K]dS

En utilisant à nouveau les conditions aux limites (5.11) mais cette fois-ci pour le cas

9N(fs) = 1, 6I3 devient

L’expression finale de <5(/)(ro) obtenue à partir des équations (5.17), (5.21) and (5.23) s’écrit S<f>{fo) = 61 = 6I\ + 5I2 + ôlz = j^[t> ^Q* + + àKV4>V(j>*'\ df + j^ (j)*6f dS + £ [4>Q* + (t>*Q + KV(t>V(l>* - 6NK(f)* (n. v) ivT <^„ ôa dS (5.24) Nous avons donc obtenu l’expression (5.24) de ô(j){fo) en faisant les trois hypothèses sui vantes:

• pas de déplacements de matière à l’intérieur de V

• des déplacements à la surface parallèles à la normale ôfs = n{rs)

^d{rs)-• une conservation des conditions aux limites pour un faible déplacement de S: [Sfs.V) [-eD(f> + 9NK4>n + f] = 0.

V.4.3 Application au milieu géologique

Le milieu géologique peut être vu comme le résultat d’une superposition de couches de volume

Ui limité par une surface Çîi{i = 1,2,Nt où Nt est le nombre de couches). Chaque surfcice rit peut être décomposée en surfaces externes et surfaces internes comme nous le montrons à la figure V.I.

Figure V.l: Coupe verticale schématique d’un domaine avec iV^ = 4 couches

fil = 5i U Tl

fîi = ^U ^{Ti-i U}Ti Il y^o 1

Dans cette figure, les surface Si représentent les parties de la surface externe du domaine (surfaces externes) et les siurfaces Fj représentent les interfaces entre deux couches géologiques (surfaces internes).

Si nous appliquons la formule variationnelle (5.24) obtenue précédemment à une couche particulière d’indice i, nous obtiendrons les effets sur le potentiel hydraulique (en fa dans

Ui) des variations des paramètres définis dans le volume Ui et sur la surface fij. Réécrivons maintenant la formule (5.24) en l’appliquant à la couche et en mentionnant explicitement les dépendences spatiales.

On trouve

Ô4>{fa) = y [ ^{f) ÔQlif) + 0|(f|fa) ÔQ{f) + V 0(f) V <l)i{f\fa)ÔK{f) ] df + (f (f>i{fs\fa)Sf{rs)dS + <f \ K{fs)V(l){fs)V (l>i{fs\fa)

Jili Jcii

-Owirs) K{fs) <t>t{rs\fa){n-'^)<Pn{rs) ~ OD{rs)K{fs)(f>n{rs)(l>in{rs\'fa) ] Sa{fs) dS

(5.25) Nous avons omis dans l’expression (5.25) les termes 4>Q* + 4>*Q apparaissant dans la dernière intégrale de l’expression (5.24) en supposant qu’il n’y a pas de points de mesure fa et de sources sur les surfaces internes ou externes du domaine. Nous avons également écrit explicitement dans la formule (5.25) la solution <i>i{f\fa) du problème adjoint suivant (Vf € Vi et fa G Ui)-.

v(K(f)v</.(f|fa)) = g(f)

= <5(f - fa) (5.26)

avec les conditions aux limites sur flj

' (t>U^s\ra)=0

K{fs)

+

a{fs)<l>*{rs\ra) =0

Par conséquent, nous devons calculer autant de problèmes adjoints qu’il y a de points de mesure fa- Le fait d’avoir appliqué la formule variationnelle (5.24) à une couche particulière du domaine est équivalent à définir autour du point de mesure fa une “zone d’influence” [Sun and Yeh, 1990]. Nous faisons ainsi l’approximation que seuls les paramètres définis dans cette zone (en l’occurence ici une couche géologique) influencent la valeur du potentiel hy draulique 0(fa) au point fa- Cette aprroximation permet de rendre local le calcul de S<p{fa)

et de considérer les effets des déplacements des surfaces limitant les couches géologiques. Nous verrons plus tard comment nous avons minimisé les effets de cette approximation à l’aide de quelques itérations du problème inverse.

Considérons maintenant les conditions aux limites (5.27) pour la solution adjointe

<l>l{f\fa)-Pour les surfaces externes Si{i = 1,2,... N(), les parties où les fonctions indicatrices 0D{fs) et ^iv(f^s) sont nulles (ou non) sont connues. Cette information provient du type de conditions aux limites imposées pour l’équation d’écoulement (5.3) dans le milieu géologique global. Pour les surfaces internes Pj (les interfaces entre couches géologiques), ces fonctions indicatrices ne sont pas fixées au départ pour la résolution de l’équation d’écoulement (5.3); elles sont indéterminées.

si Ooirs) = Is ^

si 0N{fs) = 1

Cela nous conduit à un degré de liberté supplémentaire. Nous pouvons choisir pour toute smrfcice interne Fj les parties où une condition aux limites mixtes est imposée {0N{rs) = 1) et celles (les parties restantes) où une condition de Dirichlet est imposée (0£>(fs) =

Supposons que 6d(^s) = sm: toutes les surfaces internes Fj. La dernière intégrale dans la formule (5.25) devient alors sm: Fj

^ K{rs) [V 4>{rsW<f>KrsK) ~ Mrs) </>i„(f5|fa)] Sa{rs) dS (5.28)

Ecrivons __

VMs) = <t>nn +

^<t>i{rs) = 4>lnn +

où n est, comme nous l’avons déjà mentionné, la normale extériemre au volume i/j (ici une couche géologique) et t et i' deux vecteurs unités (généralement différents) tangents à la surface Fj. L’expression entre parenthèses [ ] dans (5.28) vaut Elle est nulle car 4>u ^st nul à cause de la condition aux limites (5.27) pour Boirs) = F)ès lors, si nous choisissons

Boirs) = sur tous les smrfaces externes Fj, nous ne pourrons pas considérer l’effet des déplacements de ces surfaces à l’aide de la formule variationnelle (5.25). Par conséquent, nous en déduisons la règle importante suivante: les parties de Fj où BD{fs) = sont les parties de ces surfaces que nous maintenons fixes, tandis que les parties restantes de Fj où 0iv(r) = 1

peuvent subir un déplacement ôfs d’amplitude 6a{fs). Cette règle met en évidence la flexibilité de la méthode proposée ici. Nous pouvons en effet considérer les application suivantes:

1) toute surface Fj délimite deux domaines: i/j and i/j+i. Nous choisissons, par exemple, pour la solution du problème inverse dans i^j, B^irs) = 1 sm Fj; l’interface Fj peut subir un déplacement ôfs- Nous obtenons alors une position modifiée de Fj. Pour la solution du problème inverse dans j/j+i, nous devons maintenant fixer la position de Fj

{Boirs) = sur Fj) pour éviter (par exemple) un déplacement en contradiction avec le déplacement précédent; et nous permettons à Fj+i de subir un déplacement [BN{fs) = 1

sur Fj+i) et ainsi de suite pour les couches successives. La méthode consiste donc à changer une par une les interfaces successives de chaque couche.C’est la méthode que nous appliquerons dans nos problèmes tests (voir plus loin)

2) Si nous connaissons les emplacements de puits d’observation (où des carottages en milieu géologique ont été effectués, nous pouvons construire un algorithme plus élaboré en sup posant que dans le voisinage de ces emplacements la position des interfaces Fj est bien connue; dans ce voisinage nous imposerons toujours Bo{rs) = • Cependant pour les parties de Fj éloignées des puits d’observation, nous imposerons alternativement comme au point 1), Bpf{fs) = 1 (ou Bo{rs) = ls~^) afin de permettre (ou non) les déplacements de ces parties de Fj.

A la lumière des considérations précédentes, nous pouvons écrire notre formule variationnelle finale appliquée à la couche géologique comme suit

SMa) = {Sfa.^)(f>{ra) + j [<t>i{f\ra) ôQ{r)+ V (f){r)W <l)l{r\ra)SK{f)^ df

+ / (f>i{rs\ra)^f{rs)dS +<f K{fs) [ V</>(fs)V(f>*{fs\fa)

où nous avons utilisé l’identité doifs) + ^Nirs) = 1 et les conditions aux limites (5.27). Nous avons également défini la surface qui est la partie de fij où ÔN{rs) = 1- Enfin, nous avons considéré dans la variation (5Q|(f) l’effet d’un déplacement ôfa- Le terme qui en résulte

{Sfo,-V)(f>{fa) devra être pris en compte si une incertitude existe sur la position des points de mesures fa (principalement la hauteur). Nous ne considérons pas ce cas dans la suite.

V.4.4 Résolution du problème inverse - algorithme du code

Nous décrivons dans ce paragraphe la méthode utilisée pour la résolution du problème inverse à partir de la formule variationnelle (5.29). Nous terminerons par une description de l’algorithme implanté dans le code de résolution de l’écoulement et d’analyse de sensibilité.

Tout d’abord, nous donnons ci-dessous quelques techniques pour obtenir une expression simple ô <i>{fa) à partir de la formule variationnelle (5.29). Nous pouvons

1 ) discrétiser les intégrales sur Ui et fli pour la couche géologique. Nous introduisons les paramètres Q\, K\, and a\ ainsi que leurs variations 5Q\^ ôK}, 5fl et Sal avec

£ — 1,2,..., N^' et k = 1,2,..., N^' (rappelons que SQ représente la variation associée à l’intensité des sources, 6K celle associée à la conductivité hydraulique, Sf celle associée à la valeur des conditions aux limites et Sa celle associée à la position des interfaces entre couches géologiques). Les nombres and N^' sont respectivement le nombre de cellules considérées dans la discrétisation du volume i/j et dans la discrétisation de la surface fij. La formule variationnelle (5.29) peut donc être approchée par l’expression

S<f>{ra) = É [^Q ]

e~i

N^'

+ É K {ra, fk) Sa{ ] (5.30)

k=l

Le vecteur p (qui regroupe l’ensemble des paramètres soumis à une incertitude) contien dra alors Np = 2 {N^' +N^'^ composants pour la couche. Nous aurons intérêt à considérer une discrétisation grossière (à cellules larges) afin de limiter le nombre N^;

2) remplacer Q{f), K{f), f{fs) et a{fs) par des fonctions connues dépendant d’un faible nombre (Ncoeff) de coefficients ')j{j = 1,2,..., iVcoeff)- Cette méthode permet de réduire le nombre de paramètres à considérer dans le modèle car Spj = ôjj 'ij = 1,2,..., iVcoeff. Ce type de paramétrisation est particulièrement utile pour la position ou la forme des interfaces entre couches (par exemple la fonction a{fs) peut être représentée par une expression polynomiale) ;

3) considérer des paramètres constants par région. Nous utiliserons cette méthode dans certains de nos problèmes tests.

Etant donné ce qui précède, nous pouvons toujours obtenir une expression du premier ordre qui s’écrit

S(t>{fa)=J2Haj Spj (5.31)

où 6pj est la composante du vecteur de variation des paramètres 5p et Haj est le coefficient de sensibilité du potentiel hydraulique au point par rapport au paramètre py, c’est-à-dire

i/aj = ^H(Xa)

Spj ^(5.32)

La matrice H d’éléments Haj est appelée matrice de sensibilité.

Supposons maintenant que <f>^{f\p) soit la solution de l’équation d’écoulement (5.3) calculée pour un vecteur de paramètres p fixé. La valem: mesurée du potentiel hydraulique ^ au point

fa est notée 4>'^{fa) ; a = 1,2,..., Nm- En raison d’incertitudes fiées aux mesures (erreiurs de mesmre, imprécision des appareils de mesme,... ) nous modélisons la valeur mesurée (jf^{fa) par une variable aléatoire que nous supposerons gaussienne de moyenne <if{fa\p) et de variance cr^. Parallèlement, nous supposerons que le vecteur des paramètres p a également une distribution gaussienne de moyenne (p'’ ®- est une valeur “best estimate” de p donnée par jugement d’experts) et de variance pour la fc®”'® composante de p (les différentes composantes du vecteur p sont supposées statistiquement indépendantes).

Nous définissons ensuite la fonction de vraisemblance F par l’expression

InF = Cst — <

Q=1 fc=l 2-Zl ^(5.33)

Nous considérons dans (5.33) l’expression entre accolades comme une fonction coût g(p) à minimiser

9W = E---üi---+ L

a=l ® k=l ^2E|

(5.34)

c’est-à-dire que nous recherchons un vecteur p qui foinnit le meilleur ajustement aux valeurs mesmées 4‘^[fa) avec des contraintes qui imposent que le vecteur des paramètres p ne peut pas s’éloigner “exagérément” de sa meilleure estimation p^ ®-; les paramètres indépendants caractérisent l’importance de ces contraintes. Ces contraintes (deuxième terme de (5.34)) constituent une régularisation de l’estimation par moindres carrés (premier terme de (5.34)) utilisée habituellement pour la détermination du vecteur p à partir des écarts entre 4>'^{fa) et

4>''{ra\P)-En minimisant la fonction coût p(p) donnée par (5.34), nous obtenons

^ (</>"^(rg) -(/>®(rg|p)) 5(j)‘^{ra\p) ^ {Pk Pk'^ ) ^ ^

Jt=l

(5.35)

c’est-à-dire qu’en utilisant l’expression variationnelle (5.31) , les paramètres optimaux, notés p sont solution de

^ {(p'^ira) - 4>‘"{ra\p)) Hak(p) ^ (pfc-Pfc®')

2^1 ^ 2^1 - ^{k = l...Np} ^(5.36)

qui est une équation fonctionnelle vu que (f>'^{ra\p) ne peut seulement s’exprimer qu’à l’aide d’une fonctionnelle. Nous atteignons le minimum par une méthode itérative (voir Annexe A),

c’est-à-dire par minimisation de l’expression ^ -

nrg\P) -

H^iiP)SpiŸ

. ^ Q=1 fc=l {pk+spk -Pk'^y 2S| ^(5.37) ou Cst + b^ ôp+ -ôp^ B ôp Zi

où l’indice supérieur T représente la transposée et

Bktip) hiP)

= E +

^{6k e} a=l Nm E—rf—+ ^ a=l « OU (5.38) (5.39) (5.40)

A«^(rab) = 4>" {ra\p) - {ra) (5.41)

Apfc = Pk-Pk'^' (5.42)

Nous obtenons comme résultat

JVp

(P) ^Pj = -biip) (5.43)

j=i

et nous avons par conséquent un processus itératif

ê (pW) (p<”+‘> - pS">) = -6i(p<’») (5.44)

j=i

OÙ le système algébrique (5.43) est résolu par une méthode directe (ici par une routine d’élimi nation de Gauss obtenue dans LINPACK), la matrice B étant définie positive.

L’itération commence avec n = 1 : et converge vers une solution de (5.36) qui n’est cependant pas nécessairement unique. Résoudre (5.36) revient à utiliser une méthode de Newton modifiée [Ortega and Rheinboldt, 1970] et non pas une méthode de Newton avec une convergence quadratique car nous négligeons les dérivées secondes du type et la convergence est toujours garantie si la norme de la matrice B est suffisamment grande; ce qui revient à prendre des valeiurs de suffisamment faibles (voir l’Annexe A).

Poin: clôturer ce paragraphe, nous présentons à la figmre V.2 un diagramme de l’algorithme implanté dans le code d’analyse de sensibilité développé dans ce travail. Ce code reprend la méthodologie développée dans ce chapitre pour le calcul des coefficients de sensibilité et pour le traitement du problème inverse. Il inclut le code de résolution d’écoulement déjà décrit au chapitre IV.

Figure V.2: Organigramme général représentant le processus itératif mis en oeuvre pour la résolution du problème inverse (Fq = S\).

La figure V.2 appelle les commentaires suivants:

1) nous avons vu au chapitre IV que l’utilisation d’un système de coordonnées curvilignes permettait de réduire le domaine “physique” à un domaine “de calcul” de forme pa rallélépipédique. Quand les déplacements d’interfaces entre couches géologiques sont considérées (Sa ^ 0), le code génère la grille par interpolation de Lagrange (ou par “cubic spline” ) et calcule les coefiicients métriques du système de coordonnées curvilignes pour tous les noeuds de la grille à chaque itération du problème inverse;

2) la discrétisation par différences finies et la résolution par ITSOL ont été décrites au chapitre IV. Elles sont appliquées au domaine entier (résolution de l’écoulement) et à chaque couche contenant un point de mesure fa (problème adjoint);

3) le code résout autant de problèmes adjoints qu’il y a de points de mesure fa- Cependant povn deux points de mesure (ou plus) situés dans la même couche, le coût en calcul est réduit vu que la discrétisation est identique excepté pour le terme de source;

4) le calcul des coefficients de sensibilité est réalisé à l’aide de méthodes élémentaires d’inté gration à partir des expressions (5.29) et (5.31). Les dérivées normales sont évaluées par différences finies dans le système de coordonnées cm-vilignes;

3) le test de convergence interrompt le processus itératif quand la norme du vecteur de variations des paramètres ôp a diminué d’un factem- fixé par l’utilisateur.

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