Verifiquemos agora a existência ou não de correlação linear entre duas variáveis com classificação no mínimo ordinal. Ou seja, as variáveis consideradas a seguir são ou quantitativas ou qualitativas ordinais.
Para n ≥ 10, e ao se supor verdadeira a hipótese nula, isto é, que não existe correlação linear entre as variáveis, então, nesse caso, a estatística do teste é:
cuja distribuição também é uma t de Student com n-2 graus de liberdade, sendo rs o coeficiente de correlação de postos de Spearman, que é dado por:
para di definido como a diferença entre os postos do i-ésimo par de observações das variáveis.
Observações:
1) Em caso de empates, usa-se os postos médios, de acordo com procedimentos anteriores.
2) Para 4 ≤ n ≤ 50, pode-se usar a Tabela Q do apêndice (SIEGEL; CASTELLAN, 2006). Para esses casos, rejeita-se H0 quando o valor observado de rs for maior ou igual ao tabelado.
Exemplo 5.2
Com o objetivo de verificar a existência ou não de corre- lação entre o fato de um indivíduo ceder a pressões grupais e o grau de aspirações de status social, pesquisadores submete- ram cada um dos 12 estudantes do exemplo 5.1 a 12 diferentes pressões grupais, e verificou-se o número de vezes que cada um cedeu. Os resultados obtidos foram:
Pode-se então concluir, ao nível de 5%, que existe corre- lação linear entre o fato do indivíduo ceder às pressões grupais e o grau de aspirações de status social?
De maneira análoga ao Exemplo 5.1, iniciamos a análise com um gráfico de dispersão.
Para esse gráfico, os comandos do R são:
Aspiração<-c(42,46,39,37,65,88,86,56,62,92,54,81) Pressão<-c(0,0,1,1,3,4,5,6,7,8,8,12)
plot(Pressão,Aspiração)
Aqui também se percebe que possivelmente há uma relação linear positiva entre a variável “número de vezes que o aluno cede às pressões grupais” e a variável “aspirações de status sociais”. Porém, diferentemente do Exemplo 5.1, não há indicativo de pontos atípicos. O teste a seguir revelará se a correlação positiva sugerida pelo gráfico de dispersão é estatisticamente diferente de zero.
Ao se considerarem as variáveis X=número de vezes que o aluno cede às pressões grupais e Y=aspirações de status social, então:
1) Nesse caso, o teste é bilateral, ou seja: H0:ρ(X,Y)=0
H1:ρ(X,Y)≠0
2) A estatística do teste, ao se supor H0 verdadeira, é:
3) Pela tabela da distribuição t de Student, com v=10 graus de liberdade e α=5%, obtém-se que o valor z, tal que P(-z<t<z|v=10)=5%, é 2,228. Logo, a região crítica é a seguinte:
RC={Y|Y<-2,228 ou Y>2,228}
Assim, por (5.6):
Portanto:
5) Como tc∈ RC, rejeita-se H0; ou seja, pode-se acreditar que existe correlação entre o fato de um indivíduo ceder às pressões grupais e o grau de status social.
Nesse exemplo, o comando do R para o teste do coeficiente de correlação de Spearman entre as variáveis “Número de vezes que o aluno cede às pressões grupais” e “Aspirações de status social” é:
cor.test(Pressão,Aspiração,method=”spearman”)
Problemas
1) Sejam as variáveis X=número de anos completos de frequência à escola atingidos pelo pai e Y=número de anos de frequência à escola completados pelo respectivo filho. Os dados da tabela abaixo representam essa relação numa amostra aleatória de sete respondentes.
Ao se basear nesses dados, pode-se concluir, ao nível de 1%, que existe correlação linear positiva entre X e Y?
2) Num teste psicológico, dois candidatos ordenaram 10 cores segundo suas preferências pessoais. De acordo com os resultados abaixo indicados, pode-se concluir, ao nível de 1%, que existe correlação linear entre as preferências dos candidatos?
3) Sejam as variáveis aleatórias X= aptidão para a área escolhida pelo aluno novato de certo curso universitário e Y= média obtida pelo aluno no final do primeiro ano de curso. Considere-se que para uma amostra de 20 alunos novatos foi obtido o coeficiente de correlação de Pearson, entre essas vari- áveis, igual a 0,24, pode-se afirmar, ao nível de 5%, que existe correlação linear entre X e Y?
4) Em certa universidade, um pesquisador estava inte- ressado em verificar a correlação entre as variáveis X= posição acadêmica e Y= QI do aluno. Para isso, ordenou 10 alunos (do pior para o melhor) e obteve seus QIs:
Ao nível de 5%, pode-se concluir que existe correlação positiva entre a posição acadêmica do aluno e seu QI?
5) Para verificar a correlação entre as variáveis X= anos completos de frequência à escola e Y= número de reprovações durante a vida escolar, foram entrevistados 10 indivíduos de certa comunidade. Obteve-se então:
Com base nesses dados, pode-se concluir, ao nível de 1%, que existe correlação linear entre X e Y?
6) Para verificar a correlação entre as variáveis aleatórias X= nível de participação voluntária em associações e Y= número de amigos íntimos, um pesquisador consultou uma amostra aleatória de 10 indivíduos, cujos resultados estão na tabela seguinte. Os valores para X foram ordenados do menor para o maior de acordo com a participação voluntária em associações.
Pode-se então concluir, ao nível de 5%, que existe corre- lação entre X e Y?
Capítulo 1
1. a) Sim. b) Sim. 2. a) Sim. b) Não. 3. Não. 4. a) Não. b) Sim. 5. Não. 6. a) Sim. b) Sim. 7. Sim. 8. a) Não. b) Sim. 9. Não. 10. Não. 11. Sim.Não.
Capítulo 2
1. Não. 2.
Não se rejeita a hipótese nula. 3.
Sim. 4. Não. 5.
Conclui-se que as três classes não têm a mesma posição.
Capítulo 3
1. Não. 2. Sim. 3. Sim. 4. Não. 5. Sim.Não. 7. Sim. 8. Não. 9. Sim. 10. Sim.
Capítulo 4
1. Não. 2. Não. 3. Não. 4.Conclui-se que pelo menos dois dos métodos são diferentes. 5.
Não. 6. Sim. 7.
8. Sim. 9. Não. 10. Sim
Capítulo 5
1. Sim. 2. Não. 3. Não. 4. Sim. 5.Sim.
6.
Sim.
AZEVEDO, P. R. M. de. Introdução à estatística. 2. ed. Natal: EDUFRN, 2009.
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PAULO ROBERTO MEDEIROS DE AZEVEDO é bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), Mestre em Matemática Aplicada (Estatística) pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)-CNPq e Doutor em Ciências da Saúde pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Professor do Departamento de Estatística, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, tem ministrado disciplinas de Estatística em diversos cursos dessa Universidade. É autor dos livros “Introdução à Estatística”, Editora da UFRN, 2009, e “Modelos de Regressão Linear”, Editora da UFRN, 2012. FIDEL ERNESTO CASTRO MORALES é professor do Departamento de Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) desde 2010 e ministrou várias disci- plinas para o Curso de Estatística como também para outros cursos na UFRN. O professor Fidel é formado em Engenharia Industrial (2003) pela Universidade Nacional da Colômbia. Possui Mestrado em Estatística (2004) pela Universidade Nacional da Colômbia (UNAL) e Doutorado (2010) em Estatística pela Universidade Federal de Rio de Janeiro (UFRJ). O professor Fidel tem particular interesse no uso e desenvolvimento de métodos estatísticos na área de estatística espacial.
ANDRÉ LUÍS SANTOS DE PINHO é professor do Departamento de Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) desde 1997 e ministrou várias disci- plinas para o Curso de Estatística como também para outros cursos na UFRN. Desde o seu ingresso na Universidade, já atuava no ensino tanto em nível de graduação como pós-graduação. O professor André é formado em Técnico de Estatística (1988) e
(1995) pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), e Mestrado (2002) e Doutorado (2003) em Engenharia Industrial pela Universidade de Wisconsin (UW)-Madison, este último com ênfase em Estatística. O professor André tem particular interesse no uso e desenvolvimento de métodos estatísticos para a solução de problemas reais.