TESTES COM O MODELO MATEMÁTICO

O modelo matemático apre sentado no capítulo anterio r é classificado como um Problema de Programação Line ar Inteira Mista (PLIM) e foi implem entado em dois softwares de otim izaçã o de problemas de programação linear, conhecidos como solvers, o LINGO3 e o GUROBI4. Esta im plementação visava as so luções ótimas para o problema apresentado e a comparação com as soluçõ es encontrada s pelo método heurístico, ap resentado n esta tese.

Entendendo que o s 100 cená rios gerados possuem alto níve l de complexidade pa ra serem otimizados , foram gerados trê s cenários com menor complexidade para teste s pre liminares.

5.3.1 Testes Prelimina re s

O primeiro cená rio foi nomeado de Teste 1, possuindo 1 2 talhões e um único centro de demanda. Cada um destes talhões possui apenas um produto flore stal e seu re levo po de ser classificado como tipo 1 ou tipo 2. Foram consideradas duas frentes de corte distinta s para efetua r a colhe ita destes talhões, sendo qu e estas frente s p ossue m custo s operaciona is, custo de deslocamento e p rodutividade s distin tas. O horizonte de plane jamento foi fixado e m 7 dias e o centro apresenta uma demanda diária co nstante por este ú nico p roduto flore stal que pode se r colhido.

Este pode ser co nsiderado um cen ário pequeno e d e fácil otimização. Quand o o modelo foi imp lementado no solve r LINGO, este o classificou como u m modelo da classe PLIM e dete rminou para este cenário 5.006 va riáveis, sendo 4.248 variáve is inteiras, além de 3.720 restrições para o modelo .

Este modelo fo i resolvido pelo so lver LINGO e foi ge rado um arquivo de extensã o .mps, que foi utilizado pa ra reso lvê -lo através d o

3 LINDO Systems Inc. (2013) – versão Extended Lingo/Win 64 13.0.2.21 4 Gurobi Optimization Inc. (2017) – versão 7.5.2

solve r GUROBI. Para fin s de co mparação, o mesmo cenário fo i implementado no modelo heurístico apresentado na te se. A Tabela 6 apresenta a comp aração do desem penho destes dois so lve rs e do método heurístico proposto, compara ndo o tempo de processamento, as soluções obtidas e o GAP (diferença percentual) desta s soluções em relação à solu ção ótima encontrada p elos so lve rs.

TABELA 6 – COMPARAÇÃO ENTRE MODELO EXATO E MÉTODO HEURÍSTICO NO CENÁRIO TESTE 1

Tempo Solução ^GAP1

(LINGO) GAP2 (GUROBI) LINGO 13 s $ 9.640,17 0,00 % 0,00 % GUROBI 1,93 s $ 9.640,17 0,00 % 0,00 % Heurís tica 2,77 s $ 13.650,50 41,60 % 41,60 % Heurís tica 60 s $ 11.287,20 17,09 % 17,09 % Heurís tica 150 s $ 9.749,70 1,14 % 1,14 % FONTE: O Autor (2018)

Nota-se que, por se tratar de um teste pequeno, os dois solve rs atingiram a so luçã o ótima em pouco tempo. A heurística, mesmo com tempo computacional baixo, conseguiu realiza r um número conside ráve l de itera ções, com 1.217 itera ções no teste com 2,77 s e mais de 11.300 itera ções no teste com 150s. Ressa lta -se ainda qu e no teste com 150s, que pode ser considerado um tempo de processamento baixo, o métod o heurístico ap resen tou uma solução apenas 1,14% acima do mínimo global do p roblema encontrado pelo s solve rs.

Buscando aumentar a complexidade , elaborou -se um segundo cenário, nomeado de Teste 2. Este possui 20 talhões e um único centro de demanda. Cada um de seus talhõ es possui trê s pro dutos flo resta is distintos e o rele vo pode ser classificado como tipo 1 o u tipo 2. Foram conside radas trê s frente s de co rte distinta s pa ra efetuar a co lheita destes talhõe s, se ndo que estas fren tes possuem custo s operacionais, custo de desloca mento e produtividades distintas. O horizonte d e planejamento foi fixado em 7 dias e o centro apresenta uma demanda diária constante por cada p roduto f lo restal que pode se r colhido.

Este cená rio pode ser considerado mediano e sua otimização já

apresenta um custo computacion al mais elevado . Quando foi

implementado no solve r LINGO, o modelo foi classificado como um modelo da classe PLIM e este cenário apre sentou 23.643 variáve is, sendo 19.380 variáveis inteiras, alé m de 14.302 restrições para o modelo.

Semelhantemente ao cenário ante rio r, este também foi resolvido nos dois so lve rs, sendo implementado no LINGO e reso lvido também no GUROBI, atra vés d e um arqu ivo de extensão .mps. O método heurístico também foi aplicad o e a Tabela 7 apresenta uma comparação semelhante à tabela anterior.

TABELA 7 – COMPARAÇÃO ENTRE MODELO EXATO E MÉTODO HEURÍSTICO NO CENÁRIO TESTE 2

Tempo Solução ^GAP1

(LINGO) GAP2 (GUROBI) LINGO 157 s $ 20.770,42 0,00 % 0,00 % GUROBI 6 s $ 20.770,42 0,00 % 0,00 % Heurís tica 60 s $ 25.712,70 23,79 % 23,79 % Heurís tica 120 s $ 23.962,60 15,37 % 15,37 % Heurís tica 300 s $ 21.796,80 4,94 % 4,94 % Heurís tica 600 s $ 21.013,80 1,17 % 1,17 % FONTE: O Autor (2018)

Mais uma vez percebe -se o bom dese mpenho do modelo nos dois solve rs, pois atingiram a so lução ótima em pouco tem po. A heu rística novamente se mostrou eficiente, pois em um tempo de processamento relativamente baixo (10 min) atingiu uma solução que esteve apenas 1,17% acima do mínimo global do p ro blema encontrado pelos so lve rs.

Buscando uma situação mais próxima dos cenários resolvidos pelo método heurístico ap resentado na tese, elaborou -se um terceiro cenário nomeado de Teste 3. Foram utilizados o s mesmos dados do cenário Teste 2, mas fixando o ho rizo nte de planejamento em 15 dias.

Quando implementado no solve r LINGO, o modelo tam bém foi classificado como PLIM, po rém e ste cenário ap re sentou 36.603 variá veis, sendo 29.940 variáve is inteiras, além de 29.142 restrições para o modelo.

Da mesma forma, este cenário também foi res o lvido nos dois solve rs, LINGO e GUROBI. O método heurístico também foi aplicado e a Tabela 8 ap resenta uma comparação entre as so luçõe s encontradas.

TABELA 8 – COMPARAÇÃO ENTRE MODELO EXATO E MÉTODO HEURÍSTICO NO CENÁRIO TESTE 3

Tempo Solução ^GAP1

(LINGO) GAP2 (GUROBI) LINGO* 17 h* $ 68.759,37* 0,00 % 23,92 % GUROBI* 1 h* $ 61.249,02* –10,92 % 10,39 % GUROBI 5 h 17 min 46 s $ 55.485,41 –19,30 % 0,00 % Heurís tica 300 s $ 80.732,20 17,41 % 45,50 % Heurís tica 900 s $ 71.754,90 4,36 % 29,32 % Heurís tica 1500 s $ 62.946,90 –8,45 % 13,45 % * : N ã o é a s o l u ç ã o ó t i m a , m a s a m e l h o r s o l u ç ã o e n c o n t r a d a n o t e m p o d e s c r i t o . FONTE: O Autor (2018)

Este cenário já d emonstra maior co mplexidade, exigin do mais esforço computacio nal para ating ir a solução ótima. O so lver LINGO, em 17 horas de processamento, não foi capaz de encontrar a solução ótim a do problema. O solver GUROBI, em u ma hora de processame nto também não havia atingido a solução ótima, m as já tinha uma so lução melhor que o outro solve r, em tempo muito menor. O solver GUROBI foi capaz d e encontrar uma solu ção ótima pa ra o p roblema, porém fo ra m necessárias mais de 5 hora s de processamento.

Se comparamos o resultado do método heurístico, com 25 minutos de tempo de processamento, com o resultado do modelo exato, vemos que este ficou 13,4 5% acima do mínimo global. Porém, se compararmos com a melho r solução encontrada pelo GUROBI em uma hora de processamento, vemos que o método heurístico ficou apenas 2,77% acima deste va lor.

5.3.2 Resultado s dos Te stes

Após realiza r a comparação entre o desempenho do método heurístico e do modelo exato, para os dois solve rs, com os testes preliminare s, optou -se po r rea liza r co mparação semelha nte utilizando o

Cenário 1, criado para o desenvo lvimento do métod o heurístico. O horizonte de planejamento foi fixado e m 15 dias.

Entendendo que o solver L INGO apresentou desempenho muito inferior ao so lve r GUROBI, utilizo u -se o pr imeiro apenas para a constru ção do modelo e geração do a rquivo de exten são .mps para que o problema fosse resolvido no GUROBI. Após a im plementação do modelo exato, o problema envolvendo o Cenário 1 apre sentou 195.003 variá veis, sendo 17 8.350 variáveis int eiras, e 135.942 re strições.

A Tabela 9 ap rese nta a compara ção entre so luções encontradas pelo modelo e xato, utilizando o solver GUROBI, e o método heurístico. Optou-se po r utiliza r o so lve r GUROBI duas vezes, sendo uma com limite de tempo de 25 minutos (t empo utilizado no método he urístico ) e uma sem lim ite de temp o, a fim de bu sca r a solução ótima g lob al do p roblema. A solução do método heurístico utilizada nesta comparação é a melhor solução encontrada nos 30 testes rea lizados para e ste ce nário.

TABELA 9 – COMPARAÇÃO ENTRE MODELO EXATO E MÉTODO HEURÍSTICO NO CENÁRIO 1

Tempo Solução ^GAP1

(GUROBI*) GAP2 (GUROBI) GUROBI* 1500 s* $ 60.414,09* 0,00 % 49,44 % GUROBI 5 h 17 min 46 s $ 40.427,38 –33,08 % 0,00 % Heurís tica 1500 s $ 42.776,50 –29,19 % 5,81 % * : N ã o é a s o l u ç ã o ó t i m a , m a s a m e l h o r s o l u ç ã o e n c o n t r a d a n o t e m p o d e s c r i t o . FONTE: O Autor (2018)

Nota-se, mais uma vez, o bom desemp enho do método heurístico. Quando comparado ao modelo exato, com o limite de temp o, ficou quase 30% abaixo da melhor so lução encontrada por este modelo, em 25 minutos de pro cessamento, porém q uando comparado à solução ó ti ma global ficou 5,81% acima desta solu ção. Cabe ressalta r que o solver demandou de mais de 5 ho ras de pro cessamento para a tingir a solu ção ótima, enquanto que o método heurístico a ting iu sua solução em 25 minutos.

A Tabela 10 aprese nta a comparação d a solu ção ótima do modelo exato com a soluçã o do método heurístico. Esta compara ção vai além do

valor da solu ção e do tempo de p roce ssamento. Ap resen ta -se aqui uma descrição deta lhad a da solução obtid a.

TABELA 10 – COMPARAÇÃO DETALHADA ENTRE AS SOLUÇÕES DO MODELO EXATO E DO MÉTODO HEURÍSTICO NO CENÁRIO 1

Resultados Mode lo Exa to Método He urís tico

Solução $ 40.427,38 $ 42.776,50

Custo Ope racional $ 5.255,55 $ 5.288,70

Custo de

Movimentação ^{$ 4.851,29 $ 5.760,95}

Custo de Transpo rte R$ 30.320,54 R$ 31.726,85

Sequência de Corte Talhão ^{Dia de}

Início ^Talhão Dia de Início Frente 1 𝑡 = 2 𝑡 = 31 𝑡 = 49 𝑡 = 3 𝛿 = 1 𝛿 = 4 𝛿 = 11 𝛿 = 15 𝑡 = 48 𝑡 = 5 𝛿 = 1 𝛿 = 9 Frente 2 𝑡 = 35 𝑡 = 6 𝑡 = 44 𝑡 = 34 𝛿 = 1 𝛿 = 4 𝛿 = 8 𝛿 = 15 𝑡 = 33 𝑡 = 44 𝑡 = 11 𝛿 = 1 𝛿 = 5 𝛿 = 12 Frente 3 𝑡 = 41 𝑡 = 17 𝑡 = 21 𝛿 = 1 𝛿 = 9 𝛿 = 12 𝑡 = 7 𝑡 = 18 𝑡 = 38 𝛿 = 1 𝛿 = 5 𝛿 = 11 FONTE: O Autor (2018)

Observando a Tab ela 10 pode -se concluir que as duas soluções são diferente s no sequenciamento da colheita e, con sequentemente, serão dife rentes no transporte da mesma. Percebe -se qu e, em ambos os casos, o custo do transporte representou a maior parcela da soluçã o obtida. A tabela ainda mostra os três custos sepa rados (operacional, movimentação e transporte) na solu ção do método heurísti co , porém é perceptíve l ainda que o custo de movimentação foi ma ior que o custo operaciona l no método heurístico, ao contrá rio do modelo exato. Pode -se atribu ir esta diferença de comportamento dos custos ao fato de que no método heurístico as frente s de co rte se deslocam menos entre o s talhões, trabalhand o em talhões que e xigem mais d ias de colheita.

Continuando na id eia de comparaçã o de resultado s do método heurístico com o modelo matemático, optou -se po r comp arar a s so luções encontradas pa ra o s 10 primeir o s cen ários gerados.

Com exceção do Cenário 7, todos os demais ap rese ntaram o mesmo número de variáveis do Cen ário 1 (195.003 variáve is, sendo 178.350 inteiras), além da mesma quantidade de restrições (135.942). Apenas o Cenário 7 apresentou um número de v ariáve is e restriçõe s levemente infe rio r: 186.753 variáve is, sendo 170.700 inteiras; 135.574 restrições.

Nesta comparação, para o método he urístico, a melho r solução obtida dentro do s 30 testes realiza dos. Cabe ressa ltar que, para o Cenário 6, apenas 12 do s 30 testes apresenta ram soluções factíveis. Enquanto isso, pa ra o modelo exato, apresenta -se a solução encontrada pelo so lve r GUROBI com limite de te mpo computacional de 25 minutos (mesmo tempo do método heurístico ). A Tabela 11, abaixo, apresenta tal comparação.

TABELA 11 – COMPARAÇÃO ENTRE AS SOLUÇÕES DO MODELO EXATO E DO MÉTODO HEURÍSTICO

Cenário ^Método Heurís tico

Mode lo

Matemá tic o ^GAP

1 $ 42.776,50 $ 60.414,09 – 29,19 % 2 $ 37.553,51 $ 38.438,92 – 2,30 % 3 $ 37.146,59 $ 31.152,02 + 19,24 % 4 $ 35.386,66 $ 50.460,76 – 29,87 % 5 $ 35.440.47 $ 54.593,43 – 35,08 % 6 $ 95.762,47 $ 140.208,66 – 31,70 % 7 $ 47.494,69 $ 37.616,78 + 26,25 % 8 $ 38.629,64 $ 65.276,21 – 40,82 % 9 $ 32.214,62 $ 38.382,41 – 16,06 % 10 $ 44.524,33 $ 48.694,38 – 8,56 % FONTE: O Autor (2018)

Nota-se, com a co mparação apre sentada nesta ú ltima ta bela, que o modelo matemático tem dificu ldade em otimizar os cenários p ropostos em baixo tempo co mputacional.