A validação e comparação das metodologias descritas no capítulo 3 foi feita usando um conjunto de instâncias disponíveis na literatura [1]. A dimensão das redes estudadas varia entre 9 e 2007 nós, sendo alguns deles zero-injection e outros não. As instâncias de maiores dimensão foram testadas só com o método que se apre-sentou mais efetivo - Simulated Annealing. A descrição de cada uma das instâncias consideradas é apresentada em apêndice.
Para cada uma das instâncias foram considerados vários cenários de teste, sendo que a cada cenário estava associado um número diferente de PMUs. A informação relativa aos cenários e os melhores resultados obtidos para cada cenário através de um modelo de programação inteira é apresentada na tabela 4.1. Para a obtenção destes valores foi usado o modelo apresentado na secção 2.3, inserido no solver de otimização comercial Gurobi [36]. Estes valores servirão de referência para a análise aos resultados obtidos através da utilização da solução proposta neste trabalho. A itálico, são apresentados valores para os quais não há garantia de otimalidade ao m de um limite de tempo (lt) de 30 minutos. Para a construção das tabelas apresentadas ao longo deste capítulo foi utilizada a notação seguinte:
• |V|: Número de nós da rede;
• k: Número de PMUs utilizados;
• Obs∗: Número de nós observados usando o modelo de programação inteira proposto em [6];
• Obs: Número de nós observados usando a técnica em análise;
39
40 Capítulo 4. Testes Computacionais e Análise de Resultados
• Sol: Solução obtida para o problema (posição dos PMUs);
• It: Iteração em que a melhor solução foi obtida;
• Time: Tempo, em segundos, para o qual a melhor solução foi obtida;
• Erro: Diferença percentual entre a solução obtida neste estudo e a obtida por Obs∗. Calculada através de Erro= ObsObs∗−Obs∗ .100%.
Tabela 4.1: Cenários e resultados obtidos através de [6]
|V| |k| Obs∗ Time (s)
Como se pode observar na tabela 4.1, para |V| ≥150as técnicas exatas deixam de ser ecientes, não havendo garantia de otimalidade para a maioria das soluções
4.1 Pesquisa Aleatória 41 testadas. Para|V|= 2007o solver não revelou capacidade suciente para a resolução do problema.
4.1 Pesquisa Aleatória
Os resultados obtidos através da pesquisa aleatória são apresentados na tabela 4.2. A geração aleatória de soluções consegue atingir o valor ótimo para instâncias pequenas (até 39 nós e 7 PMUs). A partir deste, e com o aumento do tamanho das redes e da quantidade de PMUs, não foi obtida nenhuma solução que igualasse as obtidas através do modelo de programação inteira.
Uma explicação para este acontecimento é a ausência de uma fase de intensica-ção da procura de soluções numa vizinhança da soluintensica-ção atual.
4.2 Pesquisa Local
Os resultados obtidos usando pesquisa local encontram-se sumariados nas tabe-las 4.3 e 4.4. A tabela 4.3 apresenta os resultados obtidos usando a operação de vizinhança Troca de uma posição e a tabela 4.4 os resultados obtidos usando a operação de vizinhança Operação Probabilística.
Uma análise geral dos resultados obtidos com a utilização de um algoritmo de pesquisa local clássico, sem nenhuma estratégia delineada para ultrapassar os ótimos locais, mostra que a pesquisa local encontra a mesma solução dos Obs∗ para vários cenários. Apresentando inclusive, para o cenário da rede de tamanho 150 com a utilização de 15 PMUs, soluções melhores em comparação comObs∗.
Comparativamente à abordagem discutida na secção anterior, a operação de vi-zinhança Troca de uma posição diminuiu consideravelmente o erro obtido para redes de maior tamanho, tendo apresentado uma solução melhor para |V| = 150 e |k| = 15. Por outro lado, para redes de menor tamanho o seu desempenho foi inferior, o que numa primeira instância levou a crer que esta estrutura e vizinhança não era sucientemente ampla para permitir uma correta exploração do espaço de pesquisa.
No entanto, os resultados obtidos com a utilização da operação de vizinhança Operação Probabilística inserida num algoritmo de pesquisa local foram idênticos aos obtidos através da utilização da operação de vizinhança anterior o que leva a crer que há uma necessidade generalizada de implementação de mecanismos que permitem escapar a ótimos locais. Destaque-se nesta abordagem a obtenção da melhor solução até ao momento para o cenário|V|= 150e |k|= 15.
42 Capítulo 4. Testes Computacionais e Análise de Resultados
Tabela4.2:PesquisaAleatória(PA)
|V||k|Obs ∗ObsSolItTime(s)Erro9144410.000.00%14 177420.000.00%211116,9140.000.00%
24 212129,161090.000.00%317179,10,1610.000.00%420203,10,16,212290.000.00%
30 3222210,12,271,2110.010.00%426261,10,12,278900.000.00%629292,10,12,18,248,6130.050.00%
39 320208,13,1615,5880.100.00%530302,8,13,16,2611,7150.100.00%737362,7,12,16,22,26,34270,7152.712.70%57 537366,13,24,35,38214,4322.852.70%849461,7,13,24,31,38,53,56387,2836.426.12%
73 745409,34,35,39,57,64,7134,9160.6311.11%1058529,14,27,34,39,45,58,63,66,71160,8943.1410.34%1468621,8,13,21,23,25,2,34,45,47,5158,64,70335,9337.658.82%
118 1177648,12,20,27,32,37,49,80,93,107,11081,8691.9016.88%1798839,12,17,19,23,34,39,47,49,56,61,71,77,79,85,100,109249,2257.2715.31%23111931,9,12,9,26,29,32,40,45,48,51,52,55,56,66,71,77,80,86,52,8301.9116.22%89,94,105,110 150 15968810,22,23,33,40,63,70,73,80,121,137,142,144,146,150177,46814.198.33%221331053,10,12,21,22,23,33,40,63,70,73,80,81,84,121,136,137,117,88411.7921.05%138,142,144,146,150301491256,19,27,30,31,32,37,47,50,57,60,65,71,73,75,77,80,84,496,23557.4516.11%88,107,119,130,134,136,137,139,141,144,146,150
4.2 Pesquisa Local 43
Tabela4.3:Trocaumaposição(PL-TP) |V||k|Obs∗ PAObsSolItTime(s)Erro 91444920.000.00% 141777410.000.00% 21111116,960.000.00% 2421212129,16710.000.00% 31717173,10,16580.000.00% 42020191,12,16,21140.005.00% 30322222210,12,27240.010.00% 42626246,10,15,29430.007.69% 62929292,10,12,15,18,271180.000.00% 3932020193,8,121050.005.00% 53030303,8,10,16,261280.000.00% 737363510,16,20,23,26,31,391,1300.015.41% 5753736376,13,24,38,567610.020.00% 84946444,9,15,20,25,36,49,521050.0010.20% 73745404210,15,23,27,47,60,645210.016.67% 105852579,16,21,34,39,46,47,51,58,645,0790.141.72% 146862646,7,9,16,18,26,32,40,45,47,57,60,67,695,9170.155.88% 118117764778,12,32,37,49,59,70,80,85,92,1052,8960.100.00% 179883974,10,12,15,23,32,37,49,56,61,71,77,80,85,92,105,1104,1620.161.02% 231119310910,11,12,19,21,24,27,31,35,40,44,49,52,56,62,65,70,77,6,3810.2461.80% 80,85,92,105,110 150
15968810417,19,25,40,64,68,69,78,88,137,139,144,146,1502,8750.31-8.33% 221331051264,7,21,26,27,36,42,47,56,59,62,68,69,71,129,137,139,2,8190.415.26% 141,142,144,146,150 301491251454,6,8,20,21,31,34,37,45,50,60,62,65,71,78,79,84,87,90,3,2290.452.68% 136,137,139,140,141,142,144,146,149,150
44 Capítulo 4. Testes Computacionais e Análise de Resultados
Tabela4.4:OperaçãoProbabilística(PL-OP)
|V||k|Obs ∗PAPL-TPObsSolItTime(s)Erro914444920.010.00%
14 17777410.030.00%2111111116,920.000.00%
24 2121212129,1620.010.00%31717171610,15,23210.005.88%4202019206,9,16,18110.000.00%
30 32222222210,12,2770.010.00%4262624262,10,12,27320.000.00%6292929292,10,12,19,24,27400.000.00%
39 3202019186,10,16360.0510.00%5303030308,13,16,26,302360.010.00%7373635338,10,16,18,23,25,31110.0010.81%
57 5373637326,15,20,36,491810.0113.51%8494644491,4,13,24,29,31,38,564100.010.00%
73 7454042439,21,27,34,40,57,643440.014.44%10585257569,10,16,21,33,40,47,53,57,644980.023.45%14686264672,10,15,20,21,26,34,39,46,47,51,58,67,691,1850.031.47%
118 11776477775,12,17,23,37,49,59,80,85,92,1059260.040.00%179883979710,11,12,15,27,32,37,49,56,61,72,75,80,85,7,2860.271.02%92,105,11023111931091094,10,12,15,17,20,23,29,34,40,45,49,51,59,6,9400.291.80%67,71,77,80,85,92,105,110,115 150 15968810410722,26,40,47,56,62,78,137,139,140,141,144,7,2310.83-11.46%146,147,1502213310512613013,22,36,37,39,42,47,56,68,71,75,79,83,90,3,2820.422.26%137,138,139,141,144,146,147,150301491251451474,6,21,26,30,34,38,40,43,50,60,62,68,70,71,2,3290.311.34%77,78,83,84,90,137,139,140,141,144,146,147,149,150
4.3 Simulated Annealing 45 Concluindo, a operação de vizinhança Operação Probabilística inserida num algoritmo de pesquisa local foi a que até este ponto apresentou melhores resultados, não tendo atingido a melhor solução para 11 cenários. As restantes abordagens não atingiram a melhor solução conhecida para 12 cenários.
4.3 Simulated Annealing
Os resultados obtidos através da implementação da meta-heurística SA podem ser observados nas tabelas 4.5 para a operação Troca de uma posição e na 4.6 para a Operação Probabilística.
Como se pode observar, as duas metodologias atingiram os valores de melhor so-lução conhecida para cada cenário, tendo inclusive apresentado um melhor resultado para o cenário|V|= 150 e|k|= 15.
Não se pode armar que um operador de vizinhança se destaque em relação ao outro, pois tanto a nível de número de iterações e de tempo necessário para obter as melhores soluções não apresentam diferenças signicativas.
Para a abordagem baseada em SA foram consideradas um conjunto de redes com 300 e 2007 nós. Os resultados obtidos encontram-se na tabela 4.7.
Para os cenários propostos para a rede com 300 nós, os resultados obtidos foram iguais para as duas operações de vizinhança propostas. Sendo obtidos resultados que apresentam uma melhoria signicativa na qualidade da solução para os dois primeiros cenários, que utilizam 30 e 45 PMUs.
Para os cenários de teste da rede com 2007 nós não existem resultados obtidos através do modelo de programação inteira para comparação, sendo que a comparação será feita entre os resultados obtidos para as duas operações de vizinhança. Ao contrário dos casos anteriores, para esta rede a Operação Probabilística apresenta melhores resultados na quantidade de nós observados, no número de iterações que necessita para o atingir e também no intervalo de tempo necessário.
De forma geral os resultados obtidos com a utilização de SA revelaram-se posi-tivos, tendo atingido a meta proposta para esta dissertação. Ou seja, o desenvol-vimento de uma metodologia eciente para a resolução do problema proposto. Isto pode ser armado, uma vez que os resultados são obtidos num intervalo de tempo inferior ao que eram obtidos através do modelo de programação inteira garantindo a melhor solução conhecida para cada cenário. Outro fator em que a meta-heurística se revelou uma técnica de otimização eciente, foi na obtenção de soluções para os cenários da rede com 2007 nós, pois a partir de técnicas exatas não foi possível obter nenhuma solução.
46 Capítulo 4. Testes Computacionais e Análise de Resultados
Tabela4.5:SA-Trocaumaposição
|V||k|Obs ∗ObsSolItTime(s)Erro9144720.000.00%14 177410.000.00%211114,6120.000.00%
24 212129,161930.000.00%317176,9,163850.000.00%420205,9,16,221660.000.00%
30 3222210,12,271,3710.010.00%426262,10,12,277340.010.00%629292,10,12,19,24,272,7270.020.00%
39 320208,13,167,3030.060.00%530303,8,10,19,263,5940.040.00%737376,13,24,38,567,6550.120.00%57 537376,13,24,38,567610.020.00%849491,6,9,15,24,31,38,567,0290.130.00%
73 745459,16,34,39,47,58,7111,9910.240.00%1058589,19,21,34,39,41,47,54,57,6437,5460.860.00%1468683,10,19,21,26,27,34,40,45,50,53,57,67,6927,9250.690.00%
118 1177778,12,32,37,49,59,70,80,85,92,10517,4350.470.00%17989810,11,12,17,23,34,37,49,59,71,77,80,85,92,105,110,11520,7930.690.00%2311111110,11,12,17,21,23,28,34,37,45,49,52,56,61,72,75,77,80,24,5980.920.00%85,92,105,110,114 150 159610816,23,37,47,56,65,70,78,88,137,139,141,144,146,15030,1473.12-12.50%221331334,13,29,36,38,47,54,56,62,65,71,75,84,87,90,137,139,30,5753.430.00%140,141,144,146,150301491493,6,21,25,26,30,36,38,40,44,47,54,56,59,62,65,71,75,77,44,5705.300.00%79,85,87,135,137,139,142,143,144,146,150
4.3 Simulated Annealing 47
Tabela4.6:SA-OperaçãoProbabilística |V||k|Obs∗ ObsSolItTime(s)Erro 9144720.010.00% 14177410.000.00% 211114,6180.000.00% 24212129,1620.000.00% 317176,9,161940.000.00% 420209,10,16,222230.000.00% 303222210,12,271,7690.020.00% 426262,10,12,273300.000.00% 629292,10,12,19,24,272,3130.020.00% 39320208,13,162,3000.030.00% 530303,8,10,16,261,7020.020.00% 737372,6,12,16,20,23,264,5270.060.00% 57537376,13,24,38,567,1770.130.00% 849491,6,9,15,24,31,38,568,1210.170.00% 73745459,16,34,39,47,58,719,4740.200.00% 1058589,10,21,27,34,41,51,58,66,6710,1720.240.00% 1468681,10,19,21,27,34,39,41,44,53,54,57,67,6911,4640.310.00% 1181177778,12,32,37,49,59,70,80,85,92,10514,5940.430.00% 1798988,11,12,17,20,23,28,37,49,59,71,77,80,85,92,105,11019,6120.680.00% 231111118,11,12,17,21,27,32,34,37,40,45,49,53,56,61,72,75,77,27,3021.040.00% 80,85,92,105,110 150
159610813,23,37,47,56,65,70,78,88,137,139,141,144,146,15029,1013.15-12.50% 2213313313,19,21,25,38,39,42,47,56,62,65,71,75,84,87,137,139,34,4113.980.00% 142,144,146,150 301491494,16,19,21,24,25,28,34,38,39,41,47,54,56,59,62,68,69,25,0513.150.00% 71,78,79,81,83,88,137,139,142,144,146,150
48 Capítulo 4. Testes Computacionais e Análise de Resultados
Tabela 4.7: SA - Troca de uma posição e Operação Probabilística Troca de uma posição
|V| |k| Obs∗ Obs It Time(s) Erro
300 30 213 224 55,118 24.16 -5.16%
45 259 269 78,838 37.97 -3.86%
60 293 293 54,412 27.81 0.00%
2007 200 - 1087 71,010 1078.76
-300 - 1440 103,900 1790.14
-400 - 1717 180,437 3439.91
-Operação Probabilística
|V| |k| Obs∗ Obs It Time(s) Erro
300 30 213 224 60,099 26.96 -5.16%
45 259 269 51,969 26.16 -3.86%
60 293 293 56,064 29.25 0.00%
2007 200 - 1094 68,458 1053.71
-300 - 1446 87,210 1540.11
-400 - 1722 118,827 2286.6