Testes de robustez

Com o objetivo de verificar a validade dos métodos usados para resolver o problema estudado, fizeram-se alguns testes para verificar sua robustez. Um código é dito robusto quando ele resolve o determinado problema independente dos dados de entrada, como o fator de anisotropia ou o tamanho de discretização de malha, além disso, para os

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parâmetros de entrada fixos, seu fator de convergência assintótico se mantém constante quando ocorre refinamento da malha. Dessa forma, pode-se garantir que tal método e principalmente o suavizador associado ao método multigrid funciona bem quando a malha é super-refinada, ver por exemplo Llorente e Melson (1998).

Para esses testes numéricos, a condição inicial e de contornos são consideradas nulas, a estimativa inicial para os pontos internos é considerada aleatória entre 0 e 1 e o ciclo escolhido é o ciclo V(0,1) (ou V(1,0)). A escolha do ciclo V com apenas 1 suavização se deu pelo fato de que se observou através de vários testes numéricos que se um método for robusto com o ciclo V e 1 suavização, este também será robusto com os ciclosF eW e com mais suavizações internas.

O métodoTime-Stepping - multigrid não foi testado na equação do calor 1D. Isso se dá pelo fato de ser possível utilizar o método TDMA para resolver de forma direta e eficiente esse problema 1D com o método Time-Stepping - multigrid, ou seja, resolve-se de forma direta em todos os pontos espaciais e em cada passo de tempo e de forma sucessiva até o passo de tempo final.

Para verificar a robustez do métodoTime-Stepping - multigrid na equação do calor 2D, fizeram-se simulações numéricas considerando o ciclo V(0,1), N = 2^Lmax+ 1 em que L_max = 6,7, . . . ,10 e os métodos de Euler e de CN, mostrados nas Fig. 56(a) e Fig. 56(b), respectivamente. Excepcionalmente neste método, pelo fato de se considerar a solução obtida no passo de tempo anterior como condição inicial para a solução no passo de tempo atual (subsequente), o fator de convergência assintótico é obtido nos cálculos relacionados ao último passo de tempo e também no último ciclo multigrid antes de se alcançar o erro de máquina.

Observa-se nas curvas descritas na Fig. 56 que, quando a malha é refinada, os fatores de convergência se estabilizam. Desta forma, pode-se dizer que o método TimeStepping -multigrid é robusto com relação ao fator de anisotropia e à discretização da malha.

Para verificar a robustez do métodoWaveform Relaxation - multigrid nas equações do calor 1D e 2D, fizeram-se simulações numéricas considerando o ciclo V(0,1) e N = 2^Lmax + 1 em que L_max = 8,9, . . . ,13 para o caso 1D eL_max = 5,6, . . . ,9 para o caso 2D.

As Fig. 57 e Fig. 58 mostram as simulações para os casos 1D e 2D, respectivamente. Nestas Fig. 57(a) e Fig. 58(a) é usado o método de Euler, enquanto que nas Fig. 57(b) e Fig. 58(b) é usado o método de CN.

Com os resultados descritos nas Fig. 57(a) e Fig. 57(b) pode-se observar que com métodoWaveform Relaxation - multigrid, o fator de convergência assintóticoρnão aumenta quando a malha é refinada e/ou o fator de anisotropia λ é alterado. Com isso pode-se dizer que o método Waveform Relaxation - multigrid é robusto em relação ao tamanho de discretização e também em relação ao fator de anisotropia λ para o ciclo V(0,1) no

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(a) Método de Euler.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 56 – Robustez do método Time-Stepping - multigrid e ciclo V(0,1) para resolver a equação do calor 2D.

caso unidimensional. Sendo assim, este método é robusto para qualquer ciclo multigrid e também para qualquer número de suavizações para aproximar a equação do calor 1D.

Observa-se nas Fig. 58(a) e Fig. 58(b) que, quando a malha é refinada, ocorre um leve aumento no valor do fator de convergência assintótico ρ. Sendo assim, fizeram-se

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(a) Método de Euler.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 57 – Robustez do método Waveform Relaxation - multigrid e ciclo V(0,1) para resolver a equação do calor 1D.

testes adicionais para verificar melhor a robustez desse método, considerando N_x =N_y ou N_t sempre fixos, como pode-se ver nas Fig. 59 e Fig. 60.

Com o valor deN_x =N_y fixo (Fig. 59) pode-se observar que para ambos os métodos de Euler (Fig. 59(a)) e de CN (Fig. 59(b)), o fator de convergência assintóticoρse estabiliza

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(a) Método de Euler.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 58 – Robustez do método Waveform Relaxation - multigrid e ciclo V(0,1) para resolver a equação do calor 2D.

quando o número de passos de tempo aumenta, independente do fator de anisotropia λ.

Ocorre comportamento semelhante quando se fixa o número de passos de tempo e se refina a discretização da malha espacial; ; pode-se observar a Fig. 60(a) com o método de Euler e a Fig. 60(b) com o método de CN. Com isso, devido a essa estabilidade do fator de

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(a) Método de Euler.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 59 – Robustez do método Waveform Relaxation - multigrid e ciclo V(0,1) para resolver a equação do calor 2D. Neste caso considerou-se a malha espacial mais refinada fixa com N_x = 2⁵+ 1.

convergência em relação à discretização de malha e ao fator de anisotropia, pode-se dizer que o método Waveform Relaxation - multigrid é robusto para qualquer ciclo multigrid e também para qualquer número de suavizações para aproximar a equação do calor 2D.

Para o métodoSpace-Time - multigrid não serão apresentados aqui os testes de robustez. Horton e Vandewalle (1995) comentam que este método não é robusto com o ciclo V. Com alguns testes computacionais (que não são mostrados nessa tese) foi possível verificar que este método não é robusto com o ciclo F e apenas uma suavização interna.

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(a) Método de Euler.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 60 – Robustez do método Waveform Relaxation - multigrid e ciclo V(0,1) para resolver a equação do calor 2D. Neste caso considerou-se a aproximação temporal mais refinada fixaN_t = 2⁵+ 1.

Com isso, pode-se concluir que esse método é robusto quando se usam os ciclos F com 2 ou mais suavizações ou o ciclo W.

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