Testes estatísticos para avaliar características em séries temporais

uma série, recomenda-se analisar as características da série temporal. A seguir, serão apresentados alguns testes úteis para este fim. Caso a série temporal tenha mais de um componente não aleatório, é conveniente testar a existência de um deles (tendência ou sazonalidade) após a eliminação do outro componente (MO- RETTIN; TOLOI, 2006).

2.2.3.1 Testes para a detecção de estacionariedade i) Teste com base no correlograma

Assim como mencionado na seção anterior (2.2.2), se o correlograma apre- sentar autocorrelações amostrais que diminuam gradualmente, teremos um indica- tivo de não estacionariedade na série temporal. Por outro lado, se as autocorrela- ções forem todas nulas, a partir da primeira defasagem, encontraremos o padrão das autocorrelações de um processo estocástico puramente aleatório.

Entre essas duas situações extremas, na prática, pode-se encontrar correlo- gramas com perfis não tão facilmente identificáveis. Por esse motivo, costuma-se também avaliar a significância estatística das autocorrelações estimadas (rh). Essa

avaliação pode ser realizada através do erro padrão do estimador do coeficiente de autocorrelação  EP (rh) = 1 √ N 

, assim como, através do intervalo de confiança para o parâmetro ρ, isto é, o coeficiente de autocorrelação populacional. O inter- valo de confiança pode, então, ser incluído no correlograma. Ao considerar 95% de confiança, por exemplo, o intervalo de confiança para qualquer ρh será dado

por IC (ρh; 95%) =  0 ± 1, 96√1 N  =  −1, 96√1 N; 1, 96 1 √ N  .

Desta forma, há 95% de chance de que cada ρh esteja dentro dos limites de con-

fiança. E se um particular rh estiver incluso no IC (ρh; 95%), a hipótese de que

ρh= 0 não será rejeitada (ESQUIVEL, 2012).

Pode-se também testar se todos os coeficientes de autocorrelação são si- multaneamente iguais a zero. Para testar a hipótese conjunta, costuma-se utilizar a estatística Q de Box e Pierce ou o teste alternativo de Ljung-Box, que se mos- tra mais poderoso em pequenas amostras do que a estatística Q de Box e Pierce (BROCKWELL; DAVIS, 2002; GUJARATI, 2006).

ii) Testes para raiz unitária

A estacionariedade em uma série pode, ainda, ser avaliada através dos tes- tes de raiz unitária. Estes testes verificam se o polinômio (autorregressivo e ou de médias móveis) analisado possui uma raiz sobre o círculo unitário.

Para efeito de ilustração, seja um modelo que considera a regressão do valor de Ytsobre o seu valor no instante imediatamente anterior (t − 1), conhecido

como autorregressivo de ordem 1 (AR (1)),

Yt= φYt−1+ ε, sendo ε ∼ RB 0, σ2ε
,

em que, o peso φ, em valor absoluto, é inferior a um (|φ| < 1).

Se a hipótese nula de existência de uma raiz unitária (φ = 1) não for rejei- tada, temos uma situação de não estacionariedade, conhecida como passeio alea- tório (GUJARATI, 2006).

Na literatura especializada, o teste de raiz unitária mais conhecido é o clás- sico Dickey - Fuller (abreviadamente DF), proposto no trabalho de Dickey e Fuller (1979). O teste de Dickey - Fuller pode ser encontrado, por exemplo, no apêndice B de Morettin e Toloi (2006).

Houveram melhorias no teste de Dickey-Fuller (como o DF aumentado e testes para mais de uma raiz unitária) e propostas de testes específicos que serviriam para complementar a investigação de estacionariedade. É o caso, por exemplo, do teste Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS), proposto por Kwi- atkowski et al. (1992), sendo esta a melhoria mais conhecida.

2.2.3.2 Testes para a detecção de tendência

A presença do componente de tendência pode ser avaliada através de testes estatísticos, além, é claro, da inspeção gráfica da série temporal. Na literatura sobre séries temporais existem algumas propostas de testes que investigam a presença do componente de tendência. Esquivel (2012), cita os testes de estabilidade de Mann- Kendall; o teste de Wald-Wolfowitz; o teste de Cox-Stuart e o teste de Spearman para séries temporais.

i) Teste de sequências (Wald-Wolfowitz)

Considere as N observações Yt, t = 1, 2, . . . , N , de uma série temporal,

e seja m a mediana destes valores. Atribuímos a cada valor Yto símbolo A, se

ele for maior ou igual a m, e B, se ele for menor que m. Teremos, então, N = (n1pontos A + n2pontos B). A estatística de teste é

T1= Número total de sequências (isto é, grupos de símbolos iguais).

Rejeitamos a hipótese nula H0se há poucas sequências, ou seja, se T1 for

pequeno. Para um dado α, rejeitamos H0se T1 < wα, em que wαé o α-quantil da

distribuição de T1, que é tabelado e conforme Moretttin e Toloi (2006), pode ser

Para n1 ou n2 maior que 20, podemos utilizar a aproximação normal, isto é, T1 ∼ N (µ, σ2), em que µ = 2n1n2 N + 1, σ = s 2n1n2(2n1n2− N ) N2_{(N − 1)} .

2.2.3.3 Testes para a detecção de sazonalidade

Os testes utilizados para avaliar a presença de sazonalidade são específicos para o caso determinístico, isto é, as séries que possuem sazonalidade determi- nística, ou seja, que podem ser previstas perfeitamente a partir de observações anteriores.

A sazonalidade determinística pode ser testada usando testes usuais, ao considerarmos as suposições dos modelos lineares generalizados, como pode ser visto em Draper e Smith (1998); ou fazendo uso dos testes não-paramétricos, como, por exemplo, o teste de Friedman (adequado para várias amostras depen- dentes/emparelhadas); e teste de Kruskall-Wallis (apropriado para várias amostras independentes) (ESQUIVEL, 2012).

i) Teste de Kruskall-Wallis

Ao aplicar o teste de Kruskall-Wallis em uma série temporal mensal, cada mês da série é suposto ser uma das k amostras de uma população dentro de cada um dos p anos. Considere Yij (i = 1, · · · , nj; j = 1, · · · , k) as observações da série.

Sejam Rijos postos obtidos ao ordenar todas as N observações N = k P j=1 nj ! e Rja soma dos postos associados à j−ésima amostra

 Rj = nj P i=1 Rij  .

A estatística do teste de Kruskal-Wallis será expressa por TKW = 12 N (N + 1) k X j=1 (Rj)2 nj − 3(N + 1).

Sob H0, a distribuição assintótica de TKW é uma qui-quadrado com k − 1

graus de liberdade. A hipótese nula de ausência de sazonalidade é rejeitada se o valor calculado a partir de TKW for maior ou igual ao valor crítico da distribuição

da estatística TKW.