5.4 Experimentos para os problemas de sequenciamento de tarefas
5.4.2 Testes para o problema com máquinas em paralelo
Para o problema com máquinas em paralelo foram testados os seguintes con- juntos de formulações:
• (M.Manne) = ((M.Manne.Cmax), (M.Manne.Ti), (M.Manne.LC)), • (M.WG2) = ((M.WG2.Cmax), (M.WG2.Ti), (M.WG2.LC)),
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 179
• (M.WG1) = ((M.WG1.Cmax), (M.WG1.Ti), (M.WG1.LC)),
• (M.WG.comp) = ((M.Comp.Cmax), (M.Comp.Ti), (M.Comp.LC)). As dimensões das formulações estão descritas na Tabela 27.
Tabela 27 – Dimensão das formulações para máquinas em paralelo.
Formulações Variáveis Variáveis Inteiras Restrições
(M.WG2) 𝑂(𝑛4) 𝑂(𝑛3) 𝑂(𝑛4)
(M.WG1) 𝑂(𝑛4) 𝑂(𝑛3) 𝑂(𝑛3)
(M.WG.comp) 𝑂(𝑛3) 𝑂(𝑛3) 𝑂(𝑛3)
(Manne) 𝑂(𝑛3) 𝑂(𝑛3) 𝑂(𝑛3)
As instâncias de testes foram baseadas nas dimensões da Tabela 15 e os parâmetros com a distribuição normal da Tabela 28.
Tabela 28 – Distribuição dos parâmetros para máquinas em paralelo.
Parâmetros Distribuição C1 Distribuição C2
𝑝𝑖 𝑈 [1, 100] 𝑈 [1, 100] 𝑑𝑖 𝑈 [ ∑︁ 𝑝𝑖× (1, 5)/𝑚, ∑︁ 𝑝𝑖× (3, 5)/𝑚] 𝑈 [ ∑︁ 𝑝𝑖× (0, 05)/𝑚, ∑︁ 𝑝𝑖 ×(0, 20)/𝑚] 𝑃𝑖 𝑈 [1, 50] 𝑈 [1, 50] 𝑠𝑖𝑘𝑚 𝑈 [1, 50] 𝑈 [1, 50] 𝑤𝑖 𝑈 [1, 10] 𝑈 [1, 10]
Na Tabela 29 temos o resultado do gap entre o nó raiz e o melhor limitante. Para o conjunto de instâncias estudado, novamente, os resultados refletem as análises teóricas das formulações de Wagner, mostrando que o conjunto (𝑀.𝑊 𝐺1) é mais forte que (𝑀.𝑊 𝐺2). (𝑀.𝑊 𝐺1) obteve um gap em média 23% melhor no nó raiz do que (𝑀.𝑊 𝐺2) para o problema 𝐶𝑚𝑎𝑥. Já para os problemas
∑︁ 𝑤𝑖𝑇𝑖 e
∑︁
𝑃𝑖 não apresentaram
diferença. As formulações de (𝑀.𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝) apresentam fracos resultados no gap do nó raiz para o problema 𝐶𝑚𝑎𝑥 e
∑︁
𝑤𝑖𝑇𝑖, mas no problema ∑︁
𝑃𝑖 apresentou resultados
consideráveis próximos aos melhores resultados de (𝑀.𝑊 𝐺1) e (𝑀.𝑊 𝐺2). A mesma análise de (𝑀.𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝) pode ser feita com a formulação de (𝑀.𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒): resultados eficientes para ∑︁𝑃𝑖 e fracos para 𝐶𝑚𝑎𝑥 e
∑︁ 𝑤𝑖𝑇𝑖.
Analisando a capacidade de se resolver o problema, a formulação (𝑀.𝑊 𝐺2) apresentou problemas com instâncias de grande porte (acima de 50 tarefas), não con- seguindo resolver a primeira relaxação. Isso decorre do grande número de restrições que o modelo apresenta (𝑂(𝑛4)). Para o problema ∑︁𝑤𝑖𝑇𝑖, todas as formulações tiveram
problemas em resolver a primeira relaxação (não resolveram instâncias acima de 50 tarefas). Na obtenção da melhor solução após o método de branch-and-bound ser exe- cutado com critério de parada de 3600 segundos, temos os resultados na Tabela 30, de
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 180
onde podemos analisar que para 𝐶𝑚𝑎𝑥, a formulação (𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝) apresentou o menor gap
entre o melhor limitante dual e o custo da solução obtida. O fato pode ser atribuído à formulação ter um baixo número de variáveis (𝑂(𝑛3)) e restrições (𝑂(𝑛3)), sendo que tanto (𝑀.𝑊 𝐺1) quanto (𝑀.𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝) encontram o ótimo 6(10) vezes. Para o problema
∑︁
𝑃𝑖 as formulações apresentaram resultados equivalentes, com uma ligeira diferença nas instâncias maiores (acima de 50 tarefas), onde (M.Manne) se sobressaiu em relação as outras. Para ∑︁𝑤𝑖𝑇𝑖 foi onde as formulações não tiveram bons resultados. Nestes casos,
todas as formulações falharam em produzir uma solução para problemas acima de 30 tarefas, enquanto que, para instâncias de pequeno porte, todas elas encontraram uma solução ótima do problema.
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 181
Tabela 29 – Gap nó raiz com o melhor limitante - Máquinas em paralelo.
Gap nó raiz
FO Instâncias (M.WG1) (M.WG2) (M.WG.comp) (M.Manne)
𝐶𝑚𝑎𝑥 C1-IN1 28,61 51,86 81,39 100,00 C1-IN2 17,35 54,41 98,28 100,00 C1-IN3 17,68 43,17 98,04 100,00 C1-IN4 22,82 39,34 97,78 100,00 C1-IN5 12,00 28,47 98,24 100,00 C1-IN6 15,28 36,21 99,02 100,00 C1-IN7 0,62 22,25 100,00 100,00 C1-IN8 0,00 NA 100,00 100,00 C1-IN9 0,00 NA 99,85 100,00 C1-IN10 0,00 NA 99,90 100,00 ∑︁ 𝑃𝑖 C2-IN1 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN2 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN3 2,33 2,97 2,48 0,00 C2-IN4 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN5 0,55 0,55 0,55 0,55 C2-IN6 0,00 0,00 0,92 0,00 C2-IN7 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN8 0,00 NA 0,00 0,00 C2-IN9 NA NA 0,00 0,00 C2-IN10 NA NA 0,00 0,00 ∑︁ 𝑤𝑖𝑇𝑖 C2-IN1 0,00 0,00 100,00 100,00 C2-IN2 76,71 76,71 100,00 100,00 C2-IN3 72,98 72,98 100,00 100,00 C2-IN4 0,00 0,00 100,00 100,00 C2-IN5 100,00 100,00 100,00 100,00 C2-IN6 0,00 0,00 100,00 100,00 C2-IN7 NA NA NA NA C2-IN8 NA NA NA NA C2-IN9 NA NA NA NA C2-IN10 NA NA NA NA
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 182
Tabela 30 – Gap solução final - Máquinas em paralelo.
Gap final
FO Instâncias (M.WG1) (M.WG2) (M.WG.comp) (M.Manne)
𝐶𝑚𝑎𝑥 C1-IN1 0,00 0,00 0,00 0,00 C1-IN2 0,00 0,00 0,00 0,00 C1-IN3 0,00 0,00 0,00 0,00 C1-IN4 0,00 0,00 0,00 0,00 C1-IN5 0,00 0,00 0,00 3,59 C1-IN6 0,00 31,69 0,00 33,82 C1-IN7 48,90 59,22 19,66 62,01 C1-IN8 100,00 NA 60,26 100,00 C1-IN9 99,89 NA 80,17 85,84 C1-IN10 99,98 NA 82,86 94,71 ∑︁ 𝑃𝑖 C2-IN1 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN2 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN3 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN4 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN5 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN6 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN7 1,83 10,03 2,60 0,22 C2-IN8 2,74 NA 13,61 0,23 C2-IN9 17,68 NA NA 5,10 C2-IN10 48,70 NA NA 8,85 ∑︁ 𝑤𝑖𝑇𝑖 C2-IN1 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN2 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN3 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN4 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN5 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN6 0,00 0,00 0,00 0,00 C2-IN7 100,00 100,00 100,00 100,00 C2-IN8 100,00 NA NA 100,00 C2-IN9 100,00 NA NA 100,00 C2-IN10 NA NA NA 100,00
5.5
Comentários finais do capítulo
O objetivo desse capítulo foi estudar formulações de programação linear inteira mista que são aplicadas em problemas de sequenciamento de tarefas com uma máquina e com máquinas em paralelo que consideram tempo de troca e data de entrega, com foco em alguns resultados de teoria poliédrica e como esses resultados afetam problemas práticos.
Foi possível demonstrar que a formulação de Wagner com a representação do tempo de troca por igualdade é a mais forte encontrada na literatura. Também foi proposta
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 183
uma nova formulação baseada em Wagner que reduz o número de variáveis de forma a facilitar o método de branch-and-bound a encontrar soluções melhores do problema. Ainda na formulação compacta foi inserida uma nova restrição derivada de um lifting tornando a formulação mais forte.
Nos resultados teóricos foi demonstrada a dominância da formulação de Wagner com igualdades em relação a com desigualdades para todos os problemas estudados (sequenciamento com uma máquina e com máquinas em paralelo) para o problema de
minimizar 𝐶𝑚𝑎𝑥, ∑︁
𝑤𝑖𝑇𝑖 e a maximização de ∑︁
𝑃𝑖.
Para a nova abordagem de maximizar o lucro das tarefas∑︁𝑃𝑖 foram adaptadas
as formulações clássicas de problemas de sequenciamento: Wagner, Manne, Sousa e Wolsey e Pessoa, e estudado o comportamento de cada uma delas na prática.
Para o problema com uma máquina, as formulações baseadas em discretização do tempo analisadas foram as de Sousa e Wolsey e Pessoa. A formulação de Pessoa se mostrou superior à formulação de Sousa e Wolsey em todos os testes, mas ambas se mostraram limitadas a ser eficientes para instâncias de pequeno porte. Quando aplicadas a instâncias de grande porte, ambas não conseguiram nem calcular a primeira relaxação. Nas formulações baseadas em Wagner, (𝑊 𝐺1) se mostrou superior as outras formulações de Wagner (𝑊 𝐺2) e (𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝). Já era esperado que (𝑊 𝐺1) fosse superior que (𝑊 𝐺2) pelos resultados teóricos de dominância, mas com os resultados práticos foi possível medir esse impacto, evidenciado principalmente para o problema 𝐶𝑚𝑎𝑥.
Outro ponto abordado nesse capítulo para o problema com um máquina foi a aplicabilidade de cortes das formulações de (𝑊 𝐺1). Dessa forma foi sugerido um corte inspirado no Capítulo 4. Nos resultados práticos este corte gerou uma melhoria, principalmente em 𝐶𝑚𝑎𝑥, porém mostrou-se sem efeito em
∑︁ 𝑤𝑖𝑇𝑖.
A formulação compacta de Wagner desponta como uma boa opção na resolução dos problemas investigados, apesar de possuir resultados inferiores na primeira relaxação que (𝑊 𝐺1). No objetivo de encontrar o melhor gap geral a formulação apresentou bons resultados devido ao menor número de variáveis e restrições.
Na formulação Manne foram estudadas duas formulações: clássica e alternativa. Nos testes com o conjunto de instâncias estudadas, a formulação alternativa se mostrou superior à clássica com grande impacto (74% na primeira relaxação de 𝐶𝑚𝑎𝑥), encontrando
a solução ótima em 20 instâncias de um total de 30 contra apenas 16 para a clássica. Em uma análise geral, a formulação de Pessoa possui os melhores resultados para instâncias pequenas, mas com resultados altamente sensíveis a proporção da maior data de entrega com os tempos de produção e troca, o que afeta a discretização do tempo e não permite a resolução de instâncias médias e grandes. (𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒) com a formulação alternativa apresentou bons resultados, porém exigindo que as instâncias respeitem a
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 184
desigualdade triangular no tempo de produção e troca, sendo menos geral que outras formulações. (𝑊 𝐺1) e (𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝) possuem resultados ligeiramente inferior a (𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒), mas com as vantagens de obter soluções em todas as instâncias testadas, não depender da proporção dos tempos e não necessitar das restrições de desigualdade triangular.
Nos testes para máquinas em paralelo foram analisadas as formulações de Wagner (𝑊 𝐺1), (𝑊 𝐺2), (𝑊 𝐺.𝑐𝑜𝑚𝑝) e (𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒). As formulações de Wagner se mostraram superiores a (𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒), onde (𝑊 𝐺1) se mostrou como a melhor formulação para esse problema. Entre as formulações de Wagner novamente como esperado (𝑊 𝐺1) foi superior que (𝑊 𝐺2), como mostrado nos resultados teóricos, e na prática com bons resultados como em 𝐶𝑚𝑎𝑥 que superou a segunda melhor formulação em 23% na primeira relaxação.
O problema com função-objetivo ∑︁𝑤𝑖𝑇𝑖 se mostrou como o mais difícil de se
resolver. No caso de máquinas em paralelo, para todas as formulações, somente as menores instâncias puderam ser resolvidas. Além disso, a primeira relaxação em muitos casos ficou com um gap de 100%, comprovando a dificuldade do problema.
5.6
Provas
Nesta seção estão apresentadas as provas de proposições utilizadas no estudo do problema de sequenciamento de tarefas que são originais desse trabalho. As provas que não são originais estão contidas junto ao enunciado das proposições e referenciadas para seus respectivos autores.
5.6.1
Prova da Proposição
11
Proposição 11: Seja 𝐹 1 estendida de 𝐻1 e 𝐹 2 estendida de 𝐻2, se 𝐹 1 e 𝐹 2 são formulações compatíveis, então se 𝐻1 ⊂ 𝐻2 podemos afirmar que 𝐹 1 ⊂ 𝐹 2.
Demonstração. Pela definição de relação de dominância entre formulações (Definição 1), temos que mostrar que toda solução relaxada de 𝐹 1 está em 𝐹 2 e existe uma solução relaxada de 𝐹 2 que não está em 𝐹 1.
• Mostrar que toda solução relaxada de 𝐹 1 está em 𝐹 2.
Seja 𝑠 uma solução relaxada de 𝐹 1 então 𝑠 é uma solução relaxada de 𝐻1 pois 𝐹 1 é estendida de 𝐻1. Logo pela hipótese 𝐻1 ⊆ 𝐻2, então 𝑠 é uma solução relaxada de
𝐻2.
A solução 𝑠 é uma solução relaxada de 𝐹 2 pois 𝑠 ∈ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐻2) pela hipótese,
𝑠 ∈ {𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐹 1) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐻1)} pois 𝑠 é solução relaxada de 𝐹 1 e 𝑠 ∈ {𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐹 2) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐻2)} pois 𝐹 1 e 𝐹 2 são compatíveis, logo 𝑠 ∈ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐹 2) e 𝑠 ∈ 𝐹 2.
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 185
• Mostrar que existe uma solução relaxada 𝑠 em 𝐹 2 que não está em 𝐹 1.
Como 𝐹 2 é estendida de 𝐻2, então é possível construir uma solução 𝑠 ∈ 𝐹 2 tal que
𝑠 = (𝑠′, 𝑠′′), onde 𝑠′ ∈ 𝐻2 e 𝑠′ ∈ 𝐻1, já que 𝐻1 ⊆ 𝐻2.Desse modo como 𝑠 ∈ 𝐹 2 e 𝐹 1/
e 𝐹 2 são compatíveis, então 𝑠 ∈ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐹 1) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐻1), mas como 𝑠 /∈ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝐻1), então 𝑠 /∈ 𝐹 1 mostrando que 𝐹 1 ⊂ 𝐹 2.
5.6.2
Prova da Proposição
12
Proposição 12: As formulações de Wagner com igualdades: (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) e (𝑊 𝐺1.𝐿𝐶) para o 1/𝑑𝑗/𝑆𝑇𝑠𝑑 dominam as formulações de Wagner com de-
sigualdades: (𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖) e (𝑊 𝐺2.𝐿𝐶); (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) ⊂ (𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) ⊂ (𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖) e (𝑊 𝐺1.𝐿𝐶) ⊂ (𝑊 𝐺2.𝐿𝐶).
Demonstração. Para as formulações dos problemas 𝐶𝑚𝑎𝑥 e ∑︁
𝑤𝑖𝑇𝑖 iremos mostrar através
da Proposição 11, dado que, são formulações estendidas do PCV. Para o problema∑︁𝑃𝑖
iremos mostrar do modo tradicional através dos poliedros das formulações.
• Prova da formulação para o problema 𝐶𝑚𝑎𝑥 e ∑︁
𝑤𝑖𝑇𝑖.
Vamos provar que as formulações de 𝑊 𝐺1 e 𝑊 𝐺2 são compatíveis.
Pela divisão das formulações definidas temos para o problema 𝐶𝑚𝑎𝑥 os conjuntos,
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝐶𝑚𝑎𝑥(𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥) = {(𝑊 𝐺2.𝑅𝑆) ∪ (𝑊 𝐺2.𝐹 𝐹 𝑂.𝑀 𝐾)}, (5.357)
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝐶𝑚𝑎𝑥(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) = {(𝑊 𝐺1.𝑅𝑆) ∪ (𝑊 𝐺.𝐹 𝐹 𝑂.𝑀 𝐾)}, (5.358)
e para o problema ∑︁𝑤𝑖𝑇𝑖 os conjuntos,
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟∑︀
𝑤𝑖𝑇𝑖(𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖) = {(𝑊 𝐺2.𝑅𝑆) ∪ (𝑊 𝐺.𝐹 𝐹 𝑂.𝑇 𝐴)}. (5.359)
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟∑︀
𝑤𝑖𝑇𝑖(𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) = {(𝑊 𝐺1.𝑅𝑆) ∪ (𝑊 𝐺.𝐹 𝐹 𝑂.𝑇 𝐴)}. (5.360)
Se notarmos que as restrições da formulação (𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 ) do Capítulo 4 são as mesmas de (𝑊 𝐺1.𝑅𝑆) mas para o PST, podemos afirmar que (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) é uma
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 186
formulação estendida de (𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 ). O mesmo processo é válido para (𝑊 𝐺2.𝑃 𝐶𝑉 ) do Capítulo 4, e com isso, (𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥) é estendida de (𝑊 𝐺2.𝑃 𝐶𝑉 ).
Para mostrar que as formulações são compatíveis podemos verificar que para 𝐶𝑚𝑎𝑥,
(𝑊 𝐺2.𝐹 𝐹 𝑂.𝑀 𝐾) = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 ) = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺2.𝑃 𝐶𝑉 ), (5.361) e para ∑︁𝑤𝑖𝑇𝑖, (𝑊 𝐺2.𝐹 𝐹 𝑂.𝑇 𝐴) = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 ) = 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖) ∖ 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟(𝑊 𝐺2.𝑃 𝐶𝑉 ). (5.362)
Como mostrado na Proposição2, que (𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 ) ⊂ (𝑊 𝐺2.𝑃 𝐶𝑉 ), junto com a Pro- posição 11, implica que (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) ⊂ (𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥) e (𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) ⊂ (𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖). • Prova da formulação para o problema ∑︁𝑃𝑖.
Vamos mostrar que toda solução relaxada de (𝑊 𝐺1.𝐿𝐶) está em (𝑊 𝐺2.𝐿𝐶) e que pelo menos uma solução relaxada de (𝑊 𝐺2.𝐿𝐶) não está em (𝑊 𝐺1.𝐿𝐶).
Dado uma solução 𝑠 ∈ 𝑊 𝐺1.𝐿𝐶, 𝑠 satisfaz o conjunto de restrições (WG2.FFO.LC), logo para a solução satisfazer as restrições de 𝑊 𝐺2.𝐿𝐶 basta mostrar que 𝑠 satisfaz o conjunto de restrição (WG2.RS1).
Como 𝑠 ∈ 𝑊 𝐺1.𝐿𝐶, 𝑠 satisfaz as Inequações (5.46) e (5.47), as quais equivalem respectivamente as Equações (5.4) e (5.5) de (WG2.RS1), com isso vamos mostrar que 𝑠 satisfaz a Equação (5.6) e a Inequação (5.7).
Mostrar que a solução 𝑠 satisfaz Equação (5.6).
Somando em 𝑖 a Inequação (5.48) para um 𝑗 qualquer temos,
∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑧𝑖𝑗 ≥ ∑︁ 𝑖∈𝐼 ∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑤𝑗𝑖𝑘, (5.363)
somando em 𝑘 a Inequação (5.49) com 𝑗 + 1 temos,
∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑧𝑘,𝑗+1= ∑︁ 𝑘∈𝐼 ∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑤𝑖𝑘𝑗 , (5.364)
substituindo a Equação (5.364) na Inequação (5.363) obtemos,
∑︁ 𝑖∈𝐼
𝑧𝑖𝑗 ≥∑︁ 𝑘∈𝐼
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 187
concluindo assim que 𝑠 satisfaz a Equação (5.6). Agora basta mostrar que 𝑠 satisfaz a Inequação (5.7).
Aplicando 𝑠 na Inequação (5.7), com os índices ∀𝑖1, 𝑘1 ∈ 𝐼, e utilizando as Inequações (5.48) e (5.49) temos, 1 − (2 − 𝑧𝑖1,𝑗−1− 𝑧𝑘1𝑗) = 𝑧𝑖1,𝑗−1+ 𝑧𝑘1𝑗 − 1 = ∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑤𝑘𝑖𝑗−21 +∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑤𝑖𝑘𝑗−11 − 1 = 𝑤𝑖𝑗−11𝑘1 + (∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑤𝑘𝑖𝑗−21 + ∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑘1 𝑤𝑗−1𝑘1𝑖 − 1), (5.366)
agora vamos mostrar que,
∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑤𝑗−2𝑘𝑖1 + ∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑘1 𝑤𝑘𝑗−11𝑖 ≤ 1, (5.367) temos que, ∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑤𝑗−2𝑘𝑖 1 ∈ {0, 1}, (5.368)
dada a Inequação (5.49) e pelo fato que 𝑤𝑗−2𝑘𝑖1 ∈ {0, 1}. Logo se,
∑︁ 𝑘∈𝐼
𝑤𝑗−2𝑘𝑖1 = 0, (5.369)
a Inequação (5.367) é válida pois,
∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑘1 𝑤𝑗−1𝑘 1𝑖 ∈ {0, 1}, (5.370) onde 𝑤𝑗−1𝑘
1𝑖 ∈ {0, 1} e a Inequação (5.49) garante que será menor igual que um.
Se,
∑︁ 𝑘∈𝐼
𝑤𝑗−2𝑘𝑖
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 188
então pela Inequação (5.49) temos 𝑧𝑖1,𝑗−1 = 1 e 𝑧𝑖,𝑗−1 = 0 para ∀𝑖 ̸= 𝑖1. Portanto,
pela Inequação (5.48) concluímos que,
∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑘1
𝑤𝑗−1𝑘1𝑖 ≤ 𝑧𝑘1,𝑗−1= 0, (5.372)
já que 𝑘1 ̸= 𝑖1 por hipótese.
Por fim utilizando as Equações (5.366) e (5.367),
𝑤𝑗−1𝑖𝑘 ≥ 1 − (2 − 𝑧𝑖,𝑗−1− 𝑧𝑘𝑗). (5.373)
Logo, 𝑠 pertence à (WG2.RS1).
Para finalizar a prova basta mostrar que existe uma solução relaxada 𝑠 ∈ 𝑊 𝐺2.𝑅𝑆1 que não pertence a 𝑊 𝐺1.𝑅𝑆1. A prova segue com a mesma solução explicitada na demostração da Proposição 2, e com isso, mostramos que 𝑊 𝐺1.𝐿𝐶 ⊂ 𝑊 𝐺2.𝐿𝐶 para o problema ∑︁𝑃𝑖.
5.6.3
Prova da Proposição
13
Proposição 13: Dado 𝐹 1 uma formulação estendida de 𝐻1. Se 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐹 1)) −
𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐻1)) = 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐹 1)−𝐼𝑞(𝐻1)) então 𝑑(𝑃 (𝐻1)) = 𝑑(𝑃 (𝐹 1)), isso é, as dimensões
das envoltórias convexas de 𝐻1 e 𝐹 1 são iguais, onde 𝑉 𝑎𝑟(𝐹 ) é o conjunto das variáveis de uma formulação 𝐹 e 𝐼𝑞(𝐹 ) o conjunto de restrições de igualdades de 𝐹 .
Demonstração. (⇒) Mostrar que 𝑑(𝑃 (𝐻1)) ≤ 𝑑(𝑃 (𝐹 1)).
Seja 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) a dimensão da envoltória convexa de 𝐹 1, pela definição da dimensão de uma envoltória convexa temos que,
𝑑(𝑃 (𝐹 1)) = 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐹 1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐹 1)), (5.374)
como 𝐹 1 é estendida de 𝐻1, logo 𝐼𝑞(𝐻1) ⊆ 𝐼𝑞(𝐹 1), e 𝐼𝑞(𝐹 1) = 𝐼𝑞(𝐻1) + (𝐼𝑞(𝐹 1) − 𝐼𝑞(𝐻1)), portanto,
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 189
aplicando a Equação (5.375) na Equação (5.374),
𝑑𝑖𝑚(𝑃 (𝐹 1)) ≥ 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐹 1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐻1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐹 1) − 𝐼𝑞(𝐻1)), (5.376)
adicionando e subtraindo 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐻1)), temos,
𝑑𝑖𝑚(𝑃 (𝐹 1)) ≥𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐹 1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐻1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐹 1) − 𝐼𝑞(𝐻1))
+ 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐻1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐻1)), (5.377)
e pela hipótese, concluímos que,
𝑑(𝑃 (𝐹 1)) ≥ 𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝐻1)) − 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝐻1)) = 𝑑(𝑃 (𝐻1)), (5.378)
mostrando que 𝑑(𝑃 (𝐻1)) ≤ 𝑑(𝑃 (𝐹 1)). (⇐) Mostrar que 𝑑(𝑃 (𝐻1)) ≥ 𝑑(𝑃 (𝐹 1)).
Vamos mostrar que a envoltória convexa 𝑃 (𝐹 1) possui pelos 𝑑(𝑃 (𝐻1)) vetores LI.
• Se 0 /∈ 𝐻1.
Podemos encontrar 𝑑(𝑃 (𝐻1)) + 1 vetores LI em 𝑃 (𝐻1).
Seja 𝛽 = {𝛽𝑖} a base LI de 𝑃 (𝐻1) com 𝑖 ∈ {1, ..., 𝑑(𝑃 (𝐻1)) + 1}. Como 𝐹 1 é
estendida de 𝐻1, podemos construir um conjunto de soluções 𝜁, tal que 𝜁𝑖 = (𝜁𝑖′ 𝛽𝑖),
com 𝑧𝑒𝑡𝑎′𝑖 as coordenadas das variáveis somente de 𝐹 1 e 𝛽𝑖 as coordenadas de 𝐻1.
Como 𝛽 é LI 𝜁 também será LI.
Como 0 /∈ 𝐻1, temos 0 /∈ 𝐹 1 pela extensão entre elas, e, usando a definição de dimensão da envoltória convexa; 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) = 𝜌(𝑃 (𝐹 1)) − 1, temos 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) ≤
𝑑𝑖𝑚(𝜁) ≤ 𝑑𝑖𝑚(𝛽) ≤ 𝑑(𝑃 (𝐻1)).
• Se 0 ∈ 𝐻1
A prova é a mesma do item acima com a definição de 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) = 𝜌(𝑃 (𝐹 1)). Como 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) ≤ 𝑑(𝑃 (𝐻1)) e 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) ≥ 𝑑(𝑃 (𝐻1)) então 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) = 𝑑(𝑃 (𝐻1)).
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 190
5.6.4
Prova da Proposição
14
Proposição 14: Seja 𝐹 1 uma formulação estendida de 𝐻1 com 𝑑(𝑃 (𝐻1)) =
𝑑(𝑃 (𝐹 1)), então se a face 𝐹 for uma equação válida em 𝐹 1 e for faceta em 𝐻1 será faceta
em 𝐹 1.
Demonstração. Sendo 𝐹 uma faceta para 𝐻1, então existe um conjunto de soluções 𝛽 =
{𝛽𝑖} LI em 𝐹 , com 𝑖 ∈ {1, ..., 𝑑(𝑃 (𝐻1)) − 1}. Como 𝐹 1 é estendida de 𝐻1 então podemos
construir um conjunto 𝜁 = {𝜁𝑖} de soluções LI em 𝐹 1, com 𝑖 ∈ {1, ..., 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) − 1},
já que 𝑑(𝑃 (𝐹 1)) = 𝑑(𝑃 (𝐻1)). Por último, como 𝐹 é válida em 𝐹 1 por hipótese e tem
𝑑(𝑃 (𝐹 1)) − 1 vetores LI, então 𝐹 é faceta em 𝐹 1.
5.6.5
Prova da Proposição
15
Proposição 15: A dimensão da envoltória convexa de 𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥 é
𝑑(𝑃 (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)) = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) com 𝑛 o número de tarefas a ser sequenciada. Demonstração. Como 𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥 é estendida de 𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 mostrado na prova da
Proposição 12, então utilizando a Proposição 13temos que mostrar que,
𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥))−𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )) = 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)−𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )).
(5.379)
logo temos,
𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) − 𝑉 𝑎𝑟(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )) = 𝑛 + 1, (5.380)
que são 𝑛 variáveis do tipo 𝑦𝑗 com 𝑗 ∈ {1, ..., 𝑛} e mais uma variável 𝐶𝑚𝑎𝑥.
No caso de,
𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) − 𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )),
em 𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥 é possível trocar a Equação (5.13) e a Inequação (5.14) por igualdades sem tornar a formulação inválida. Dado uma solução 𝑠′ com coordenadas
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 191
(𝑧′, 𝑤′, 𝑦′, 𝐶𝑚𝑎𝑥′ ), tal que 𝑠 seja factível e não satisfaça a Inequação (5.14) para 𝑗 = 𝑗1 na igualdade, então, 𝑦𝑗1′ > 𝑦𝑗1−1′ +∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑝𝑖𝑧𝑖,𝑗1′ + ∑︁ 𝑖∈𝐼 ∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑖̸=𝑘 𝑤′𝑖𝑘𝑗1−1𝑠𝑖𝑘, (5.381)
dessa forma é possível construir uma nova solução 𝑠′′ = 𝑠′, exceto por 𝑦𝑗1′ , o qual será factível pois,
𝑦𝑗1′′ = 𝑦𝑗1−1′′ +∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑝𝑖𝑧𝑖,𝑗1′′ + ∑︁ 𝑖∈𝐼 ∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑖̸=𝑘 𝑤′′𝑖𝑘𝑗1−1𝑠𝑖𝑘, (5.382)
concluímos que 𝑦𝑗′′1 < 𝑦𝑗′1, o que irá resultar em 𝐶𝑚𝑎𝑥′′ < 𝐶𝑚𝑎𝑥′ , mostrando que a solução 𝑠′ nunca será ótima e pode ser retirada da formulação, já que sempre existe uma solução 𝑠′′ com função-objetivo menor que 𝑠′.
Por fim trabalhando com as igualdades temos que,
𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) − 𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )) = 𝑛 + 1, (5.383)
as quais são as Equações (5.13) e (5.15) e a Inequação (5.14) utilizada na igualdade.
Vamos mostrar que as Equações (5.13) e (5.15) e a Inequação (5.14) utilizada na igualdade são LI.
Seja 𝛽 o vetor gerador da igualdade da Equação (5.13), 𝜁𝑗 o vetor gerador da
igualdade 𝑗 das Inequações (5.14) e 𝛼 o vetor gerador da igualdade da Equação (5.15). Para mostrar que as igualdades são LI temos que mostrar que,
𝛾1𝛽 +∑︁ 𝑗
𝛾𝑗2𝜁𝑗 + 𝛾3𝛼 = 0 ⇔ 𝛾1 = 0 𝛾𝑗2 = 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽 ∖ {1} 𝛾3 = 0. (5.384)
Desenvolvendo o sistema de Equações (5.384), para a variável 𝐶𝑚𝑎𝑥 temos,
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 192
para a variável 𝑦0,
𝛾1− 𝛾2
1 = 0, (5.386)
e para variável 𝑦𝑗 com 1 < 𝑗 < 𝑛,
𝛾𝑗2− 𝛾2
𝑗+1= 0, (5.387)
e para 𝑗 = 𝑛,
𝛾𝑛2 = 0, (5.388)
Logo aplicando a Equação (5.388) na Equação (5.387) obtemos,
𝛾𝑗2 = 0 ∀𝑗 ∈ 𝐽, (5.389)
e pela Equação (5.386) temos que 𝛾1 = 0, concluindo que as igualdades são LI. Como as Equações (5.13) e (5.15) e a Inequação (5.14) são LI chegamos em,
𝑑𝑖𝑚(𝑉 𝑎𝑟(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)−𝑉 𝑎𝑟(𝑊 𝐺2.𝑃 𝐶𝑉 )) = 𝑑𝑖𝑚(𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)−𝐼𝑞(𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )),
(5.390)
e podemos afirmar que 𝑑(𝑃 (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)) = 𝑑(𝑃 (𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )) = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2).
5.6.6
Prova da Proposição
16
Proposição16: A Inequação (5.70) é uma faceta para a formulação (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥).
Demonstração. Utilizando a Proposição 14, temos que a formulação (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥) é estendida de (𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 ) como provado na Proposição 12.
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 193
𝑑(𝑃 (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)) = 𝑑(𝑃 (𝑊 𝐺1.𝑃 𝐶𝑉 )) mostrado na Proposição 15basta provar que a Inequação (5.70) é valida em (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥)
Dado uma solução 𝑠 ∈ (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥), 𝑠 satisfaz a Inequação (𝑊 𝐺1.𝑓 𝑎𝑐) como mostrado na prova da Proposição 4. Portanto pela Proposição 14, a Inequação (𝑊 𝐺1.𝑓 𝑎𝑐) é faceta em (𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥).
5.6.7
Prova da Proposição
18
Proposição 18: O valor de 𝐺 ∈ R+ para a formulação de Manne definido na Equação (5.223) mantém a formulação válida.
Demonstração. Dado uma solução factível 𝑠 ∈ (𝑁.𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒.𝑅𝑆) ou 𝑠 ∈ (𝑁.𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒.𝑅𝑆1),
vamos mostrar que 𝑠 satisfaz as Inequações (5.225) e (5.226) com G definido na Equação (5.223).
Para uma tripla (𝑖′, 𝑘′, 𝑚′) tal que 𝑖′ ̸= 𝑘′, temos nas formulações (𝑁.𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒.𝑅𝑆) e
(𝑁.𝑀 𝑎𝑛𝑛𝑒.𝑅𝑆1), as possíveis soluções para as variáveis são (𝛼𝑖′𝑚′, 𝛼𝑘′𝑚′, 𝛽𝑖′𝑘′𝑚′) ∈ {(0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}.
• Caso (𝛼𝑖′𝑚′, 𝛼𝑘′𝑚′, 𝛽𝑖′𝑘′𝑚′) = (1, 1, 1).
Nesse caso a constante G não interfere as equações,
𝑅𝑘′ ≥ 𝑅′
𝑖+ 𝑝𝑖′𝑚′+ 𝑠𝑖′𝑘′𝑚′, (5.391)
𝐺 + 𝑅𝑖′ ≥ 𝑅′
𝑘+ 𝑝𝑘′𝑚′ + 𝑠𝑘′𝑖′𝑚′, (5.392)
e as equações são verdadeiras, pois como 𝛽𝑖′𝑘′𝑚′ = 1 a alocação de 𝑖′ acontece antes
da alocação de 𝑘′, logo o tempo de início de 𝑘′ (𝑅𝑘′) deve ser menor que o tempo de
final de 𝑖′ definido por; 𝑅′𝑘+ 𝑝𝑖′𝑚′ + 𝑠𝑖′𝑘′𝑚′.
Para a Inequação (5.225), dado a sequência de tarefas até 𝑘′, temos o conjunto de tarefas 𝑆′ sequenciadas com no máximo |𝐼 − 1| tarefas, nesse caso,
𝑅′𝑘≥ ∑︁ 𝑖∈𝑆′
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 194
pela definição de 𝐺, 𝑀 𝑎𝑥𝑃 e 𝑀 𝑎𝑥𝑆, temos que,
𝐺 ≥ |𝐼| ∑︁ 𝑖=1 𝑀 𝑎𝑥𝑃 (𝑖) + 𝑀 𝑎𝑥𝑆(𝑖) ≥ ∑︁ 𝑖∈𝑆′ 𝑝𝑖𝑚′+ 𝑝𝑘′𝑚′+ ∑︁ 𝑖∈𝑆′ 𝑠𝑖,𝑖+1,𝑚′+ 𝑠|𝑆′|,𝑘′,𝑚′, (5.394)
logo a Inequação (5.225) fica,
𝑅𝑖′ ≥ 0. (5.395)
• Caso (𝛼𝑖′𝑚′, 𝛼𝑘′𝑚′, 𝛽𝑖′𝑘′𝑚′) ∈ {(0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}.
Nesse caso, como 𝛽𝑖′𝑘′𝑚′ = 0, então a tarefa 𝑘′ não é alocada antes de 𝑖′, e portanto
o tempo de início de 𝑘′ não pode restringir o tempo de início de 𝑖′, por conseguinte a Inequação (5.225) é,
𝑘𝐺 + 𝑅𝑘′ ≥ 𝑅′𝑖+ 𝑝𝑖′𝑚′ + 𝑠𝑖′𝑘′𝑚′, (5.396)
onde 𝑘 pode assumir valores {1, 2, 3}, vamos mostrar que 𝑘 = 1 a equação é satisfeita, logo com 𝑘 ∈ {2, 3} também será.
Seja 𝑠′ a solução tal que contém o maior valor de 𝑅𝑖′, logo,
𝑅𝑠𝑖′′ = { ∑︁ 𝑖1∈𝐼 𝛽𝑖1𝑖′𝑚=1 𝑝𝑖1𝑚′+ ∑︁ 𝑖1,𝑖2∈𝐼 𝛽𝑖1𝑖′𝑚=1 𝛽𝑖2𝑖′𝑚=1 𝑠𝑖1𝑖2𝑚}, (5.397) teremos, ∑︁ 𝑖1∈𝐼 𝛽𝑖1𝑖′𝑚=1 𝑝𝑖1𝑚′ ≤ |𝐼| ∑︁ 𝑖=1 𝑀 𝑎𝑥𝑃 (𝑖), (5.398)
já que 𝑀 𝑎𝑥𝑃 é conjunto ordenado de forma decrescente de 𝑝𝑖𝑚 e,
∑︁ 𝑖1,𝑖2∈𝐼 𝛽𝑖1𝑖′𝑚=1 𝛽𝑖2𝑖′𝑚=1 𝑠𝑖1𝑖2𝑚 ≤ |𝐼| ∑︁ 𝑖=1 𝑀 𝑎𝑥𝑆(𝑖), (5.399)
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 195
pois 𝑀 𝑎𝑥𝑆 é conjunto ordenado de forma decrescente de 𝑠𝑖𝑘𝑚 então,
𝑅𝑠𝑖 ≤ 𝑅𝑠′
𝑖′ ≤ 𝐺, (5.400)
e a Inequação (5.225) é valida com G definido pela Equação (5.223).
Para a Inequação (5.226) vale o mesmo raciocínio da Inequação (5.225), já que aplicando as soluções {(0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)} na equação obtemos,
𝑘𝐺 + 𝑅𝑖′ ≥ 𝑅′
𝑘+ 𝑝𝑘′𝑚′ + 𝑠𝑘′𝑖′𝑚′, (5.401)
desse ponto em diante segue a mesma prova apresentada.
E portanto, G definido pela Equação (5.223) satisfaz as equações e torna as formula- ções válida.
5.6.8
Prova da Proposição
21
Proposição21: As formulações (𝑀.𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑀.𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) e (𝑀.𝑊 𝐺1.𝐿𝐶) são mais fortes que (𝑀.𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑀.𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖) e (𝑀.𝑊 𝐺2.𝐿𝐶), respectivamente, para o 𝑚/𝑑𝑖/𝑆𝑇𝑠𝑑.
Demonstração. • Todas as soluções relaxadas das formulações (𝑀.𝑊 𝐺1) estão nas formulações (𝑀.𝑊 𝐺2).
Como o conjunto de restrições (𝑊 𝐺2.𝐹 𝑂.𝑀 𝐾), (𝑀.𝑊 𝐺2.𝐹 𝐹 𝑂.𝑀 𝐾),
(𝑀.𝑊 𝐺2.𝐹 𝐹 𝑂.𝑇 𝐴) e (𝑀.𝑊 𝐺2.𝐹 𝐹 𝑂.𝐿𝐶) das formulações (𝑀.𝑊 𝐺1) estão conti- das nas formulações de (𝑀.𝑊 𝐺2), basta mostrar que (𝑀.𝑊 𝐺1.𝑅𝑆) implica em (𝑀.𝑊 𝐺2.𝑅𝑆) e (𝑀.𝑊 𝐺1.𝑅𝑆1) implica
(𝑀.𝑊 𝐺2.𝑅𝑆1). Para (𝑀.𝑊 𝐺1.𝑅𝑆) e (𝑀.𝑊 𝐺2.𝑅𝑆) as equações que diferenciam das formulações (𝑀.𝑊 𝐺2.𝑅𝑆) e
(𝑀.𝑊 𝐺1.𝑅𝑆1) são as mesmas, portanto podemos fazer a prova somente para um caso.
Dado a solução relaxada 𝑠 que satisfaça a Equação (5.290) e a Inequação (5.291), que são as mesmas respectivamente que a Equação (5.255) e a Inequação (5.256), precisamos mostrar que 𝑠 satisfaz a Inequação (5.257). Aplicando 𝑠 na Inequação
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 196
(5.257) para 𝑚′ ∈ 𝑀 e 𝑘′ ∈ 𝐼 ∖ {1} e utilizando a Equação (5.293) e a Inequação (5.292) temos, ∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑧𝑖𝑚𝑗 ′ = ∑︁ 𝑖∈𝐼 ∑︁ 𝑘∈𝐼 𝑤𝑗−1𝑘𝑖𝑚′ ≥ ∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑧𝑖𝑚𝑗 ′, (5.402)
mostrando que 𝑠 satisfaz a Inequação (5.257).
Para a Inequação (5.258), aplicando 𝑠 na Inequação (5.258) para (𝑖′, 𝑘′, 𝑗′, 𝑚′),
1−(2−𝑧𝑗𝑖′′𝑚−1′−𝑧 𝑗′ 𝑘′𝑚′) = 𝑧 𝑗′−1 𝑖′𝑚′+𝑧 𝑗′ 𝑘′𝑚′−1 = 𝑧 𝑗′−1 𝑖′𝑚′+ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑤𝑗𝑖𝑘′−1′𝑚′−1 = 𝑤 𝑗′−1 𝑖′𝑘′𝑚′+ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑖̸=𝑖′ 𝑤𝑖𝑘𝑗′−1′𝑚′+𝑧 𝑗′−1 𝑖′𝑚′ −1, (5.403) e pela Inequação (5.292) concluímos que,
𝑤𝑗𝑖𝑘′−1′𝑚′ ≤ 𝑧
𝑗′−1
𝑖𝑚′ , (5.404)
e usando a Inequação (5.291) obtemos,
𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑖̸=𝑖′ 𝑤𝑖𝑘𝑗′−1′𝑚′ + 𝑧𝑗 ′−1 𝑖′𝑚′ ≤ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑧𝑗𝑖𝑚′−1′ ≤ 1, (5.405)
por fim temos,
1 − (2 − 𝑧𝑗𝑖′′𝑚−1′ − 𝑧𝑗 ′ 𝑘′𝑚′) ≤ 𝑤𝑗 ′−1 𝑖𝑘′𝑚′ ≤ 𝑤𝑗 ′−1 𝑖′𝑘′𝑚′, (5.406)
e com isso 𝑠 satisfaz a Inequação (5.258).
• Mostrar que existe uma solução relaxada das formulações (𝑀.𝑊 𝐺2) que não perten- cem as formulações (𝑀.𝑊 𝐺1).
Pegue a solução para 𝑛 par 𝑠 = (𝑧𝑖𝑚𝑗 , 𝑤𝑖𝑘𝑚𝑗 ), tal que:
𝑧𝑖𝑚𝑗 = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, 5 se 𝑗 = 𝑖 e 𝑚 = 1, 0, 5 se 𝑗 = 𝑛 − 𝑖 e 𝑚 = 1, 0 caso contrário.
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 197 𝑤𝑗𝑖𝑘𝑚 = ⎧ ⎨ ⎩ 1 se 𝑖 = 1 e 𝑘 = 2, 0 caso contrário. E se 𝑛 for ímpar: 𝑧𝑖𝑚𝑗 = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0, 5 se 𝑗 = 𝑖 e 𝑗 ̸= (𝑛 + 1)/2 e 𝑚 = 1, 0, 5 se 𝑗 = 𝑛 − 𝑖 e 𝑗 ̸= (𝑛 + 1)/2 e 𝑚 = 1, 1 se 𝑗 = 𝑖 = (𝑛 + 1)/2 e 𝑚 = 1, 0 caso contrário. 𝑤𝑗𝑖𝑘𝑚 = ⎧ ⎨ ⎩ 1 se 𝑖 = 1 e 𝑗 = 2 e 𝑚 = 1, 0 caso contrário.
Podemos verificar que a solução 𝑠 satisfaz a Equação (5.255) e as Inequações (5.256), (5.257) e (5.258) mas não satisfaz a Equação (5.293) para 𝑖 = 2, 𝑘 = 2 e 𝑚 = 1.
– 𝑠 satisfaz a Equação (5.255) e Inequação (5.256). Aplicando 𝑠 na Equação (5.255) para um 𝑖 qualquer,
∑︁ 𝑚∈𝑀 ∑︁ 𝑗∈𝐽 𝑧𝑗𝑖𝑚= 𝑧𝑗𝑖1+∑︁ 𝑗∈𝐽 𝑗̸=𝑖 𝑧𝑖1𝑗 + ∑︁ 𝑚∈𝑀 𝑚̸=1 ∑︁ 𝑗∈𝐽 𝑧𝑖𝑚𝑗 = 1, (5.407)
e para a Inequação (5.256) com um 𝑚 e 𝑗 qualquer,
∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑧𝑗𝑖𝑚= 𝑧𝑗𝑗𝑚+∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑗 𝑧𝑖𝑚𝑗 = 1 ≤ 1, (5.408) – 𝑠 satisfaz a Inequação (5.258). Aplicando 𝑠 na Inequação (5.258). ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑧𝑖𝑚𝑗−1+ 𝑧𝑘𝑚𝑗 − 1 = 0 se 𝑗 = 𝑖 − 1 ⇒ 𝑧𝑖𝑚𝑗−1 = 1 e 𝑧𝑘𝑚𝑗 = 0, 𝑧𝑖𝑚𝑗−1+ 𝑧𝑘𝑚𝑗 − 1 = 0 se 𝑗 = 𝑖 ⇒ 𝑧𝑖𝑚𝑗−1 = 0 e 𝑧𝑘𝑚𝑗 = 1, 𝑧𝑖𝑚𝑗−1+ 𝑧𝑘𝑚𝑗 − 1 = −1 caso contrário ⇒ 𝑧𝑗−1𝑖𝑚 = 0 e 𝑧𝑘𝑚𝑗 = 0, e portanto 𝑧𝑖𝑚𝑗−1+ 𝑧𝑘𝑚𝑗 − 1 ≤ 𝑤𝑖𝑘𝑚𝑗−1 já que 𝑤𝑗−1𝑖𝑘𝑚 ≥ 0. – 𝑠 satisfaz a Inequação (5.257).
Aplicando 𝑠 na Inequação (5.257) para ∀𝑚 ∈ 𝑀 e ∀𝑗 ∈ 𝐽 ∖ {1},
∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑧𝑗𝑖𝑚= 𝑧𝑗𝑗𝑚+∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑗 𝑧𝑖𝑚𝑗 = 1 ≤ 𝑧𝑗−1𝑗−1,𝑚+ ∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑖̸=𝑗−1 𝑧𝑖𝑚𝑗 =∑︁ 𝑖∈𝐼 𝑧𝑖𝑚𝑗−1, (5.409)
Capítulo 5. Problema de sequenciamento de tarefas 198
– 𝑠 não satisfaz a Equação (5.293) para (𝑖, 𝑘, 𝑚) = (2, 2, 1). Aplicando 𝑠 na Equação (5.293) para (𝑖, 𝑘, 𝑚) = (2, 2, 1) temos,
𝑧212 = 0, 5 ̸= ∑︁
𝑗∈𝐽
𝑤𝑗111 = 0, (5.410)
o que nos mostra que 𝑠 não satisfaz a Equação (5.293) quando (𝑖, 𝑘, 𝑚) = (2, 2, 1).
Logo 𝑠 está nas formulações (𝑀.𝑊 𝐺2) e não está nas formulações (𝑀.𝑊 𝐺1), com isso mostramos que as formulações (𝑀.𝑊 𝐺1.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑀.𝑊 𝐺1.𝑇 𝑖) e (𝑀.𝑊 𝐺1.𝐿𝐶) são mais fortes que (𝑀.𝑊 𝐺2.𝐶𝑚𝑎𝑥), (𝑀.𝑊 𝐺2.𝑇 𝑖) e (𝑀.𝑊 𝐺2.𝐿𝐶), respectivamente.
199
6 Análise do problema da indústria de pães e
bolos e resultados computacionais
Neste capítulo mostramos como foi o processo de escolha da melhor formulação que atende ao problema da indústria de pães e bolos. Para isso, são apresentados os argumentos teóricos e práticos que levaram a escolha da formulação aplicada no PR. Serão relacionados os capítulos de estudo do problema do caixeiro viajante (Capítulo 4) e sequenciamento de tarefas (Capítulo 5) com a formulação do PR (Capítulo 2). Também mostramos os resultados computacionais associados a indústria de pães e bolos com instâncias reais.
As próximas seções estão fortemente ligadas as conclusões dos estudos do PCV e PST e como eles afetam o PR, nesse caso, são utilizados principalmente as Equações (2.6) e (2.7) de sequenciamento de produção do PR e as explanações feitas nas Seções 4.1
e 5.1.