TEXTO DO MINICURSO MINISTRADO DURANTE A XIX SEMANA DA MATEMÁTICA DO CCET DA UFRN
TABELAS TRIGONOMÉTRICAS
Um pouco da história
O surgimento da Trigonometria se deu no Egito, a partir das medições das pirâmides, e na Babilônia, relacionada à confecção de calendários, épocas de plantio e estações do ano. Na China o triângulo retângulo era muito usado para medir distâncias, comprimentos e profundidades, tendo lá surgido, também pelo interesse astronômico dos chineses, o conceito de ângulo e a forma de medi-lo.
A Trigonometria desenvolveu-se então na Antigüidade, em especial durante a civilização grega, para atender às necessidades da Astronomia, Agrimensura e Navegações e está intimamente ligado ao desenvolvimento da Geometria. Desde então, e até a Idade Moderna, os estudiosos construíram tabelas que mais tarde deram origem à Trigonometria, dentre eles podemos destacar Hipócrates de Chios (450- 430 a.C.), Hiparco de Nicéia (180- 125 a.C.), Menelau de Alexandria (cerca de 100 a.C.), Cláudio Ptolomeu (90-168), Regiomontanus (1436-1476) e Nicolau Copérnico (1473-1543).
O marco da história da Trigonometria se deu no século II a.C., quando o grego Hiparco de Nicéia, construiu a primeira tabela trigonométrica, baseada em uma única função, que relaciona cada arco da circunferência à sua respectiva corda, fato que lhe deu o título de “Pai da Trigonometria”. A Hiparco também se atribui a divisão do círculo em 360°.
Menelau de Alexandria, que também se dedicou em seus estudos astronômicos à Trigonometria, escreveu um tratado sobre cordas chamado “Cordas num círculo”. Tanto Menelau como Hiparco já teriam conhecimento da relação fundamental da Trigonometria, só que em termos de corda e não em função do ângulo.
Com o desaparecimento da maioria dos trabalhos de Hiparco, são os escritos de Menelau e Ptolomeu que marcam a história da Trigonometria tanto plana como esférica.
Cláudio Ptolomeu, astrônomo, geógrafo e matemático, nascido num Egito sob dominação romana, tendo vivido e trabalhado em Alexandria, com base nos estudos de Hiparco, escreveu a mais importante obra de Trigonometria da Antiguidade, o Almagesto. Esta obra, composta de 13 volumes, trata do cálculo da posição dos planetas sendo
completamente lógica a ordem de tratamento dos tópicos: começa com a matemática básica que usará, e instrui como calcular a função trigonométrica da corda, aplicando-a a uma série de demonstrações; lança mão da geometria elementar, sistema de numeração de base 60 e constrói uma tabela de cordas mais completa que a de Hiparco, a qual se tornou um modelo de astronomia perdurando até Copérnico, no século XVI.
Com a queda do Império Romano, o centro da cultura se deslocou para a Índia que revolucionou a Trigonometria com uma série de textos sobre sistemas de Astronomia, a introdução de novas “funções” trigonométricas e o aperfeiçoamento dos métodos de tabulação. Após os hindus, as contribuições à Trigonometria vieram dos árabes com a idéia de introdução do círculo de raio unitário, que permitiu construir tabelas mais precisas que as existentes na época.
No século XV, após a queda de Constantinopla ante os turcos, teve início o Renascimento Europeu, quando importantes passos foram dados para o desenvolvimento da Matemática e paralelamente o da Trigonometria, entre eles o desenvolvimento das funções. Neste século a obra de Ptolomeu foi retomada pelo inglês Peurbach iniciando uma tradução latina, a partir do grego, do Almagesto. Com sua morte, seu discípulo Johann Muller (Regiomontanus) tomou a si a tarefa de concluir a tradução.
Regiomontanus, um dos mais importantes matemáticos do século XV, escreveu De triangulis omnimodis, quando calcula novas tabelas trigonométrica incluindo nelas o uso das tangentes, por cuja introdução na Europa é responsável.
Em 1520, Copérnico completou alguns trabalhos de Regiomontanus os quais foram incluídos em seu De Lateribus et Angulis Trianguloum. Como em sua teoria do Universo, necessitasse de alguns desenvolvimentos em trigonometria, ele próprio se incumbiu de implementá-los num trabalho sobre a matéria. Entre esses desenvolvimentos encontramos, em sua obra As revoluções das Orbes Celestes, uma tabela de senos, onde Copérnico utiliza 100.000 como unidade de medida do raio.
Essas tabelas, feitas para uso dos astrônomos e muito utilizadas nas navegações, contemplam nos procedimentos usados para suas construções, além de conteúdos matemáticos, em especial a Geometria, conhecimentos de História, Geografia, Desenho Geométrico, dentre outros.
Construções Geométricas com Régua e Compasso
A sequência de atividades apresentadas a seguir, tem por objetivo familiarizar os professores em formação com as construções geométricas, como pré-requisito para a construção de tabelas trigonométricas. Além disso, pretendemos desenvolver relações entre os elementos geométricos e ampliar as noções e conceitos sobre esses elementos.
Material a ser utilizado: Régua ou Esquadro e Compasso.
Atividade – Explorando a circunferência
1)Trace uma circunferência e tente encontrar procedimentos para dividi-la em 3 e 6 partes iguais e depois inscreva o polígono regular correspondente.
2) Agora encontre procedimentos para dividir uma circunferência em 4 e 8 partes iguais e depois inscreva o polígono regular correspondente.
Questão:
- Que relação você encontra entre os lados dos polígonos inscritos e as cordas determinadas por eles na circunferência?
Das cordas aos senos
A sequência de atividades aqui apresentadas tem a finalidade de, a partir das construções e conceitos trabalhados nas atividades anteriores, construir uma tabela trigonométrica seguindo os passos da construção da tabela de cordas de Ptolomeu e Copérnico. Material a ser utilizado: Régua ou Esquadro, Compasso e Calculadora.
Atividade 1 – Medindo as cordas
Em outro momento você construiu polígonos regulares inscritos em uma circunferência e relacionou os lados desses polígonos com as cordas por eles determinadas na circunferência. Agora vamos encontrar uma relação de medida para essas cordas, em função do raio da circunferência.
1) Encontre uma relação de comprimento das cordas dos arcos de 0°, 60°, 90°, 120° e 180°.
Questões:
- Você observou que 120° é arco suplementar de 60°?
- Como determinar, a partir de corda conhecida, a corda de seu arco suplementar?
A partir de agora, para facilitar os cálculos, considerar o raio igual a um.
2) Encontre, com o auxílio da calculadora, o comprimento das cordas cuja relação você determinou.
Atividade 2 – Relacionando corda e seno
1) Construa uma circunferência qualquer e trace uma de suas cordas.
Questão:
- Você observou que com alguns traçados é possível relacionar a corda do arco que você traçou com o seno de um ângulo?
2) Escreva uma lei geral de conversão de corda de um arco em seno de um ângulo.
3) A partir dessa lei, calcule os senos dos ângulos cujo comprimento das respectivas cordas você determinou na atividade 1.
Referências:
AABOE, Asger. Contrucción de lãs tablas trigonométricas de Ptolomeu. In: Mathesis. Vol. III /n° 3 / agosto, 1967.
BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad.: Elza F. Gomide. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
COPÉRNICO, Nicolau. As revoluções do Orbes Celestes. Trad.: Gomes, A. Dias e Domingues, Gabriel.Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 2.ed. Lisboa, 1996.
COSTA, M. J. M. da. A Trigonometria plana do Almagesto. Dissertação de Mestrado – Universidade do Minho. Portugal: Ed. Associação de Professores de Matemática, 1995. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.
MOREY, Bernadete B. Tópicos de História da Trigonometria. Editor geral, John A. Fossa. – Natal: Editora SBHMat, 2001.