Para Saber Mais A Denição de Bourbaki
Acima, denimos função como um tipo especial de relação entre dois con-juntos. Podemos pensar em relação como qualquer forma de associar elementos de um conjuntoX com elementos de um conjuntoY. Entretanto, não enunci-amos uma denição para esse termo isto é, neste texto considerenunci-amos relação como um termo primitivo, sem denição (assim, como os termos ponto e reta geralmente são considerados na Geometria Euclidiana).
Uma alternativa para este caminho é denir uma relação entre os conjuntos X eY como qualquer subconjunto do produto cartesianoX×Y, isto é, como um conjunto de pares ordenados (x, y) ∈ X × Y. Formar um conjunto de pares ordenados é uma forma de relacionar elementos x ∈ X com elementos y ∈Y. Seguindo esta linha, poderíamos denir função como um subconjunto f ⊂X×Y com a seguinte propriedade:
Para todo x∈X, existe um único y ∈Y |(x, y)∈f.
De fato, esta denição (proposta pelo grupo de matemáticos Bourbaki em 1932) é a mais rigorosa e abstrata para o conceito de função. Neste texto, optamos pelo enunciado da Denição 1 por ser esta mais próxima da prática de sala de aula do ensino básico.
Para Saber Mais De Euler a Bourbaki
O conceito função é um dos mais genéricos e mais unicadores de toda a Ma-temática contemporânea, fazendo-se presente em efetivamente todos os seus campos, incluindo Álgebra, Geometria, Análise, Combinatória, Probabilidade, etc. Diversas noções importantes desde as mais elementares até as mais sosticadas admitem formulações em linguagem de funções, que contribuem para a clareza da exposição e impulsionam o desenvolvimento de ideias.
Para dar conta de toda essa generalidade, o conceito de função sofreu sig-nicativas mudanças ao longo de seu desenvolvimento histórico, até que se chegasse à denição atual de Bourbaki. Nem sempre no passado o conceito foi assim tão genérico como é hoje. Por exemplo, observe as denições de fun-ção abaixo, propostas respectivamente por Leonhard Euler1 (1707-1783) e por Bernhard Riemann2 (1826-1866), com pouco mais de um século de diferença.
Uma função de uma variável é uma expressão analítica composta de uma maneira qualquer de quantidades variáveis e de números ou quantidades constantes.
L. Euler, 1748 Suponhamos quez seja uma quantidade variável que possa assumir, gradualmente, todos os possíveis valores reais, então, se para cada um desses valores corresponde um único valor da quantidade inde-terminada w, w é chamada uma função de z. [. . . ] Não faz [. . . ] qualquer diferença, se dene-se a dependência da quantidade w da quantidade z como sendo arbitrariamente dada, ou como sendo determinada por certas operações das quantidades.
B. Riemann, 1852 Na denição de Euler, função é considerada apenas como uma expressão analítica, isto é, uma fórmula envolvendo as variáveis, números e constantes. O desenvolvimento da Matemática e da Física e a necessidade de resolver proble-mas cada vez mais complicados, forçou a generalização do conceito. De fato, Riemann chama atenção explicitamente para o fato de que é indiferente se uma função é denida por meio de uma fórmula envolvendo as operações ou não.
Unidade 3 Textos Complementares
Como comentamos acima, atualmente, o conceito de função não está atre-lado a existência de fórmulas algébricas, nem mesmo a variáveis numéricas.
Uma função pode ter como variável, não apenas números, mas quaisquer obje-tos matemáticos como vetores, conjunobje-tos, e até mesmo outras funções (ver Exercício 1). Para saber mais, veja por exemplo [2].
Para Saber Mais Inversa à Direita e Inversa à Esquerda
O Exemplo 1 mostra que pode haver funções f : X → Y tais que existe g : Y → X com f ◦g = IY, mas não existe g : Y → X com g ◦f = IX, e vice-versa. Por isso, precisamos escrever as duas condições na denição de função inversa (Denição 3), pois uma condição não implica a outra.
Dada f :X →Y, denimos (ver Exercícios 3 e 4):
(i) uma função g :Y →X tal que f ◦g =IY é dita uma função inversa à direita de f;
(ii) uma funçãog :Y →X tal queg ◦f =IX é dita uma função inversa à esquerda de f.
Assim, pode existir inversa à direita sem que exista inversa à esquerda, e vice-versa. Se ambas, existirem a função original será invertível.
No caso do Exemplo 1,pé função inversa à esquerda deqe, reciprocamente, q é função inversa à direita de p. Entretanto, nem p nemq são invertíveis.
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Para Saber Mais Os Tamanhos do Innito
Os Teoremas 7 e 8 expressam ideias que podem parecer a princípio bastante intuitivas, a saber,
• se existe uma injeção f : X → Y, então o conjunto de saída X é menor ou igual do que o conjunto chegadaY, poisX é sucientemente pequeno para caber dentro de Y;
• se existe uma sobrejeção f : X → Y, então o conjunto de saída X é maior ou igual do que o conjunto chegadaY, poisX é sucientemente grande para cobrir Y.
Embora as demonstrações dos teoremas sejam relativamente simples e as ideias acima possam parecer claras, é preciso entendê-las com cuidado. No caso de conjuntos nitos, a cardinalidade de um conjunto nito X, deno-tada por #X, é um número natural. Neste caso, podemos demonstrar (como consequência da Denição 6 e dos Teoremas 7 e 8) que:
(i) Existe f :X →Y bijetiva ⇔ #X = #Y (ii) Existe f :X →Y injetiva ⇔ #X 6#Y (iii) Existe f :X →Y sobrejetiva ⇔ #X >#Y
Portanto, para conjuntos nitos, as duas ideias intuitivas acima correspon-dem precisamente aos teoremas matemáticos. Entretanto, quando se tratam conjuntos innitos, a coisa é mais complicada. A denição de conjuntos cardinalmente equivalentes também se aplica a conjuntos innitos. De fato, no enunciado Denição 6 não há nenhuma restrição quanto à natureza dos con-juntos. No entanto, as cardinalidades de conjuntos innitos têm propriedades que contrariam a intuição.
Para começar, um conjunto é innito se, e somente se, admite uma bijeção com um subconjunto próprio (isto é diferente de vazio e do conjunto todo).
Em outras palavras, um conjunto innito é cardinalmente equivalentes a uma parte própria de si mesmo. Quando retiramos elementos de um conjunto nito, o subconjunto restante tem cardinalidade estritamente menor que o original.
Entretanto, podemos retirar uma parte de um conjunto innito sem que a sua cardinalidade seja alterada.
Esta surpreendente propriedade tem intrigado matemáticos há muito tempo.
Galileo Galilei (1563-1643), em sua obra clássica Discorsi e Dimostrazioni Mate-matiche Intorno a Due Nuove Scienze, editada em 1638, cita os assim chamados paradoxos do innito. Um desses paradoxos é a associação
n ↔2n
que determina uma correspondência um a um entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números pares. Neste sentido, podemos pensar que existem tantos números naturais quanto pares embora o conjunto dos pares esteja contido estritamente no dos naturais. Outro paradoxo de Galileo é a cor-respondência um a um entre dois segmentos de reta, de comprimentos distintos, por meio de uma construção geométrica simples (ilustrada abaixo).
A X B
A X B
O
Da mesma forma que existem tantos naturais quantos pares, podemos provar que existem tantos números naturais quantos inteiros e quantos racionais (isto será feito mais adiante). Hoje, essas propriedades dos conjuntos innitos não são mais vistas como paradoxos. Grande parte da teoria atual de conjuntos innitos se deve ao trabalho do matemático russo de origem alemã Georg Cantor (1845-1918).
Dentre as descobertas de Cantor está outra propriedade surpreendente: nem todos os conjuntos innitos são cardinalmente equivalentes. Neste sentido, podemos pensar que existem innitos maiores que outros. Por meio do ar-gumento proposto por ele, que cou conhecido como diagonal de Cantor, é possível mostrar, por exemplo, que, dada qualquer injeção f :N→R, sempre existirá um elemento y ∈ R tal que y 6= f(x), para todo x ∈ N. Isto é, não pode haver uma bijeção entre N e R. Assim, embora N, Z e Q sejam cardi-nalmente equivalentes, a cardinalidade de Ré estritamente maior que a destes conjuntos.
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No nal do século XIX, muitos matemáticos ilustres viam com séria des-conança as novas ideias lançadas nos trabalhos pioneiros de Georg Cantor.
Mas, lenta e seguramente, esse ponto de vista se consolidou. O trabalho de Cantor revelou-se tão signicativo para a compreensão do conceito de innito que David Hilbert (1862-1943), com sua extraordinária autoridade, referiu-se a ele da seguinte forma:
Ninguém nos expulsará desse paraíso que Cantor nos doou.
D. Hilbert, 1925
Para Saber Mais Tantos Racionais Quantos Naturais
Já comentamos acima, que uma surpreendente descoberta de Georg Cantor é o fato de que nem todos os conjuntos innitos são cardinalmente equivalentes.
Talvez tão surpreendente quanto isso seja o fato de queNeQsão cardinalmente equivalentes isto é, existem tantos números racionais quantos naturais.
A demonstração deste fato baseia-se na representação dos racionais na forma de fração, isto é, por meio de um par de números inteiros. Assim, podemos ver Qdentro do produto cartesianoZ×Z?. A representação geométrica abaixo (em que, por simplicidade consideramos apenas os pares de inteiros positivos) pode ajudar a entender esta demonstração. Se percorremos os pontos de N×N ao longo das diagonais, na forma mostrada abaixo, enumerando os pontos na ordem em que eles forem aparecendo, estaremos estabelecendo uma correspondência bijetiva entre N e N×N. uma função sobrejetiva de N×N sobre o conjunto Q+ dos números racionais positivos.
Esta função não é injetiva, pois, claramente, um mesmo número racional positivo é imagem de mais de um ponto do conjunto N×N. Por exemplo, o número 12 é imagem de (1,2) e também de (2,4) (e de innitos outros).
Mas, isto não atrapalha a construção de uma correspondência bijetiva entre N eQ+, pois, quando esbarrarmos em um ponto deN×N que já apareceu como número racional, basta pulá-lo e passar para o próximo, obtendo assim uma bijeção entre N e Q+. Isto nos permite concluir que existem tantos naturais quanto racionais positivos. A generalização deste argumento mostra-nos que
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N é cardinalmente equivalente a Q. Por isso, dizemos que Q é um conjunto enumerável.
Na Sala de Aula Fórmulas e Funções
Como comentamos no início desta unidade, uma fórmula algébrica, por si só, não dene uma função. Por exemplo, a expressão y =x2 pode ser usada para denir a lei de associação de várias funções, tais como:
p1 : R → R x 7→ x2
p2 : [0,+∞[ → [0,+∞[
x 7→ x2 .
Embora sejam denidas pela mesma fórmula algébrica, p1 e p2, acima, são funções diferentes tanto que uma é bijetiva e a outra não. Por outro lado, existem funções que não são denidas por uma única fórmula em todo o seu domínio, como por exemplo
h: R → R x 7→
( 0, se x∈R\Q
1, se x∈Q.
A restrição do conceito de função à ideia de fórmula algébrica pode ser tão forte, que alguns alunos têm diculdade em entender funções denidas por mais de uma expressão como uma função só (como se cada uma das expressões denisse uma função diferente).
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Na Sala de Aula A Generalidade do Conceito de Função
Como comentamos acima, a lei de associação de uma função não precisa necessariamente admitir representação por meio de fórmula algébrica. Mais do que disso, as variáveis de uma função podem ser quaisquer objetos matemáti-cos, não apenas números (ver Exercício 1). De fato, a denição do conceito (Denição 1) não estabelece nenhuma restrição para o domínio ou para o contra-domínio: estes podem ser conjuntos quaisquer, não necessariamente conjuntos numéricos.
No ensino básico, estamos acostumados a lidar principalmente com funções em contextos numéricos, isto é, com funções reais de variável real. Entretanto, não há razão para se evitar o conceito de função em outros campos da mate-mática em que este aparece naturalmente. Em muitos casos, usar o conceito de função em outros campos não traz diculdades conceituais adicionais e, ao contrário, pode ser enriquecedor para os alunos não apenas por promover a ampliação de sua concepção de funções, como também por permitir formula-ções mais claras para as próprias situaformula-ções matemáticas em que o conceito é empregado.
Especialmente em geometria, diversas situações usualmente estudadas no ensino básico podem ser expressas por meio de dependência funcional. Este é o caso, por exemplo, dos conceitos de congruência e de semelhança de guras planas (e também espaciais). Congruência e semelhança são noções que se aplicam a guras geométricas em geral. Entretanto, na escola estes são co-mumente apresentados em um contexto restrito: os assim chamados casos de congruência e casos de semelhança que se aplicam apenas a triângulos.
Pode ser enriquecedor para os alunos perceber guras congruentes como re-sultantes de um deslocamento (isto é, uma translação), e guras semelhantes como resultantes de uma ampliação ou uma redução (isto é, uma homotetia).
Neste caso, não há qualquer restrição sobre as guras com que se trabalha estas não precisam nem mesmo ser polígonos ou outras guras regulares. Há di-versos materiais concretos que podem ser usados para servir de apoio para essa abordagem. Translações e homotetias são exemplos de funções, cujo domínio e o contradomínio são o plano (ou o espaço) euclidiano.
[1] Carmo, Manfredo P.; Morgado, Augusto C., Wagner, Eduardo & Pitom-beira, João Bosco. Trigonometria e Números Complexos. Rio de Janeiro:
SBM, Coleção Professor de Matemática.
[2] Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. New York:
Holt, Rinehart and Winston, 1964. 14
[3] Figueiredo, Djairo G. Análise I Rio de Janeiro: LTC, 1996.
[4] Figueiredo, Djairo G. Números Irracionais e Transcedentes Rio de Janeiro:
SBM, Coleção Iniciação Cientíca.
[5] Halmos, Paul. Naive Set Theory. New York: Springer, 1974.
[6] Hefez, Abramo e Fernandez, Cecília de Souza. Introdução à Álgebra Linear.
Rio de Janeiro: SBM, Coleção PROFMAT, 2012.
[7] Lima, Elon Lages. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática.
[8] Lima, Elon Lages. Curso de Análise, Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, Projeto Euclides, 1976.
[9] Lima, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática.
[10] Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática.
[11] Lima, Elon Lages. Análise Real, Vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA, Coleção Matemática Universitária.