Tipagem principal para o sistema λ → dB - Cálculos de substituições explícitas à la de Bruijn c

4.1 Tipagem principal para o sistema λ

→_dB

A Figura 4.1.1 contém as regras de inferência de λ→_dB, apresentadas na Defini¸cão 3.1.20. (Var) 1 : hτ.Γ ` τ i (Varn) n : hΓ ` τ i n+1 : hσ.Γ ` τ i (Lambda) M : hσ.Γ ` τ i λ.M : hΓ ` σ → τ i (App) M : hΓ ` σ → τ i N : hΓ ` σi (M N ) : hΓ ` τ i Figura 4.1.1: O sistema λ→_dB

O lema a seguir mostra que em uma tipagem de M , pelo menos os ´ındices livres de M tˆem tipos designados em seu contexto.

Lema 4.1.1: Seja M : hΓ ` τ i:

1. |Γ| ≥ sup(M )

2. M : hΓ≤i.nil ` τ i, para qualquer i ≥ sup(M ).

Demonstra¸cão. Indu¸cão na deriva¸cão de M : hΓ ` τ i.

1. • Se 1 : hτ.Γ ` τ i, nada h´a provar. • Seja n : hΓ ` τ i

n+1 : hσ.Γ ` τ i. Por IH, |Γ| ≥ sup( n ) = n. Logo, |σ.Γ| = 1+|Γ| ≥ n+1. • Seja M : hσ.Γ ` τ i

λ.M : hΓ ` σ → τ i. Pelo Lema 3.1.10.2, tem-se que sup(M ) = sup(λ.M ) = 0 ou sup(λ.M ) = sup(M )−1. No primeiro caso, tem-se |Γ| ≥ sup(λ.M ) = 0 para qualquer contexto Γ. No ´ultimo, tem-se por IH que 1+|Γ| = |σ.Γ| ≥ sup(M ), logo |Γ| ≥ sup(M )−1 = sup(λ.M ).

• Seja M : hΓ ` σ → τ i N : hΓ ` σi

(M N ) : hΓ ` τ i . Por HI tem-se que |Γ| ≥ sup(M ) e |Γ| ≥ sup(N ). Logo, |Γ| ≥ max(sup(M ), sup(N )) = sup(M N ).

2. • Se 1 : hτ.Γ ` τ i, nada h´a provar. • Seja n : hΓ ` τ i

n+1 : hσ.Γ ` τ i. Por HI, n : hΓ≤i.nil ` τ i onde i ≥ n. Logo, por (Varn), n+1 : hσ.Γ≤i.nil ` τ i. Note que (σ.Γ)≤(i+1) = σ.Γ≤i.

4.1 Tipagem principal para o sistema λ→_dB 67 • Seja M : hσ.Γ ` τ i

λ.M : hΓ ` σ → τ i. Por IH, M : h(σ.Γ)≤i.nil ` τ i onde i ≥ sup(M ). Pelo Lema 3.1.10.2 tem-se que sup(M ) = sup(λ.M ) = 0 ou sup(λ.M ) = sup(M )−1. No primeiro caso, para qualquer i dado tem-se que M : h(σ.Γ)≤(i+1).nil ` τ i.

Logo, por (Lambda), M : hΓ)≤i.nil ` σ → τ i onde i ≥ sup(M ) = sup(λ.M ).

No ´ultimo caso, por (Lambda), λ.M : hΓ≤(i−1).nil ` σ → τ i, onde i−1 ≥

sup(M )−1 = sup(λ.M ).

• Seja M : hΓ ` σ → τ i N : hΓ ` σi

(M N ) : hΓ ` τ i . Por IH, M : hΓ≤i.nil ` σ → τ i, ∀i ≥ sup(M ) e N : hΓ≤i0.nil ` σi, ∀i0 ≥ sup(N ). Dados i e i0, seja j ≥ max(i, i0). Assim, por (App) tem-se (M N ) : hΓ≤j ` τ i onde j ≥ max(sup(M ), sup(N )) =

sup(M N ).

A fim de provar uma lei de redundˆancia para λ→_dB, o lema a seguir apresenta uma propriedade mais geral do sistema de tipos.

Lema 4.1.2 (Atualiza¸c˜ao para λ→_dB): Seja M ∈ ΛdB tal que M : hΓ ` τ i. Ent˜ao, para

quaisquer σ ∈ S e i ∈ N tem-se que M+i: hΓ≤i.σ.Γ>i ` τ i.

Demonstra¸cão. A prova é feita por indu¸cão estrutural em M . Note que, se i ≥ |Γ| então σ é adicionado ao final de Γ.

• M ≡ n : Suponha que n : hΓ ` τ i. Se n ≤ i, então n+i = n . A inser¸cão de σ na i+1-ésima posi¸cão afeta o tipo apenas de ´ındices maiores do que i , logo tem-se trivialmente que n : hΓ≤i.σ.Γ>i ` τ i. Se n > i, então n+i= n+1 . Por (V arn) i

vezes tem-se que n−i : hΓ>i ` τ i. Assim, por (V arn) aplicada i + 1 vezes, tem-se

que n+1 : hΓ≤i.σ.Γ>i ` τ i.

• M ≡ (M1 M2): Suponha que (M1 M2) : hΓ ` τ i. Por (App), M1 : hΓ ` τ0→ τ i e

M2: hΓ ` τ0i. Por HI, M1+i: hΓ≤i.σ.Γ>i ` τ0→ τ i e M2+i: hΓ≤i.σ.Γ>i ` τ0i. Logo, por

(App), (M₁+i M₂+i) : hΓ≤i.σ.Γ>i ` τ i.

• M ≡ λ.M0_{: Suponha que λ.M}0 _{: hΓ ` τ i. Por (Lambda), M}0 _{: hτ}

1.Γ ` τ2i, onde

τ = τ1→ τ2. Por HI tem-se que M0+(i+1): hτ1.Γ≤i.σ.Γ>i ` τ2i. Assim, por (Lambda),

4.1 Tipagem principal para o sistema λ→_dB 68 Lema 4.1.3 (Redundˆancia para λ→_dB): Seja M um termo em λdB. Se M : hΓ ` τ i,

ent˜ao M : hΓ.σ ` τ i. Assim, a regra (λdB-weak) abaixo ´e dedut´ıvel no sistema λ→dB.

M : hΓ ` τ i

M : hΓ.σ ` τ i(λdB-weak)

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 4.1.1.1, |Γ| ≥ sup(M ). Assim, pelo Lema 3.1.11.1, M+j_{= M}

para qualquer j ≥ |Γ|. Portanto, pelo Lema 4.1.2 para i = m, tem-se que M : hΓ.σ ` τ i, para qualquer σ ∈ S.

Note que, caso a adi¸cão de σ no contexto Γ seja em uma posi¸cão menor do que sup(M ), então M+i _{corresponderia a uma fun¸c˜}_{ao distinta da representada pelo termo M . De fato,}

uma lei de redundˆancia mais geral poderia ser introduzida tendo o valor sup(M ) com uma premissa adicional. Por´em, a regra (λdB-weak) introduzida no Lema 4.1.3, onde os

tipos são adicionados apenas ao final do contexto, é suficiente como a opera¸cão sintática relacionada a defini¸cão de tipagem principal para o λ→_dB.

Assim, com a regra (λdB-weak) e substitui¸cões de tipos, apresentamos uma defini¸cão para tipagem principal para o λdB-calculus com tipos simples, similar a defini¸cão de [103]

para a tipagem principal de Hindley.

Defini¸c˜ao 4.1.4 (Tipagem principal em λ→_dB): Uma tipagem principal em λ→_dB de um termo M ´e uma tipagem Θ = hΓ ` τ i tal que:

1. λ→_dB _{M : Θ}

2. Se λ→_dB _{M : Θ}0 para alguma tipagem Θ0 = hΓ0 ` τ0_{i, ent˜}_{ao existe uma substitui¸c˜}_ao

s tal que s(Γ) = Γ0_≤|Γ|.nil e s(τ ) = τ0.

Observe que, dada uma tipagem principal hΓ ` τ i de M , o contexto Γ é o contexto mais curto tal que M pode ser tipado (|Γ| = sup(M )). Em contraste com o λ-calculus com no- mes, onde o contexto de uma tipagem principal de um termo M é o menor conjunto porquê atribui tipos para todas e apenas as variáveis livres de M , o contexto de uma tipagem principal em λ→_dB pode ter declara¸cões de tipos para ´ındices que não ocorrem livremente no respectivo termo. Essas declara¸cões extra são necessárias para manter a estrutura sequencial do contexto. Por exemplo, uma tipagem principal para 2 é hτ1.τ2.nil ` τ2i.

4.1 Tipagem principal para o sistema λ→_dB 69 Como no caso do λ-calculus com tipos simples, a melhor maneira de assegurar que a Defini¸cão 4.1.4 é a tradu¸cão correta do conceito de PT é verificando se esta corresponde a Defini¸cão 2.2.2.

Teorema 4.1.5 (Correspondência para λ→_dB): Uma tipagem Θ é principal em λ→_dB de acordo com a Defini¸cão 4.1.4 se, e somente se, Θ é principal em λ→_dB de acordo com a Defini¸cão 2.2.2.

A prova de correspondência é similar a de [103] e será apresentada na Se¸cão 4.4. A prova de suficiência usa um lema de substitui¸cão de tipos como em [49] 3A2.1(ii) e a lei de redundância do Lema 4.1.3. A prova de necessidade é construtiva por contradi¸cão, apresentando um contra-exemplo: dado um termo M com PT Θ, toma-se uma tipagem Θ0 que não é PT de acordo com a Defini¸cão 4.1.4. A partir de M e da rela¸cão entre Θ e Θ0 dada pela Defini¸cão 4.1.4, um novo termo N é constru´ıdo tal que Θ0 é uma tipagem de N mas Θ não a é. A principal diferen¸ca entre a prova em [103] e a apresentada aqui é a fun¸cão recursiva usada para dar a N uma estrutura que explora particularidades de Θ0, que precisou ser dividida em dois casos considerando a ordem dos ´ındices a serem ligados por uma abstra¸cão durante a constru¸cão recursiva do contra-exemplo.

As seguir apresentamos um algoritmo de inferˆencia de tipos para termos em λdB,

similar ao de [4] para o λse, com o intuito de verificar se o sistema λ→dB tem PT de acordo

com a Defini¸c˜ao 4.1.4. Dado um M ∈ ΛdBqualquer, decore cada subtermo de M tendo uma

nova vari´avel de tipo subescrita e uma nova vari´avel de contextos superescrita, obtendo um novo termo denotado por M0. Como exemplo, para o termo λ.( 2 1) tem-se o termo decorado (λ.( 2Γ1 α1 1 Γ2 α2) Γ3 α3) Γ4

α4. Então, as regras da Tabela 4.1.1 são aplicadas a pares da forma hhR, Eii, onde R é um conjunto de termos decorados e E um conjunto de equa¸cões sobre as variáveis de tipo e contexto.

As regras de inferência na Tabela 4.1.1 estão de acordo como as regras de tipagem de λ→_dB. A inferência de tipo para M come¸ca com hhR0, ∅ii, onde R0 é o conjunto dos

subtermos de M0. As regras da Tabela 4.1.1 s˜ao aplicadas at´_{e obtermos o par hh∅, E}fii,

onde Ef ´e o conjunto de equa¸c˜oes de primeira ordem sobre as v.c.’s e as v.t.’s.

Exemplo 4.1.1: Seja M = λ.( 2 1). Ent˜ao M0 = (λ.( 2Γ1

α1 1 Γ2 α2) Γ3 α3) Γ4 α4 e R0 = { 2 Γ1 α1, 1 Γ2 α2, ( 2Γ1 α1 1 Γ2 α2) Γ3 α3, (λ.( 2 Γ1 α1 1 Γ2 α2) Γ3 α3) Γ4

4.1 Tipagem principal para o sistema λ→_dB 70

(Var) hhR ∪ { 1Γ

α}, Eii → hhR, E ∪ {Γ = α.Γ0}ii, onde Γ0 ´e uma v.c. nova;

(Varn) hhR ∪ { nΓ

α}, Eii → hhR, E ∪ {Γ = α01. · · · .α0n−1.τ.Γ0}ii, onde α01, . . . , α0n−1 e

Γ0 s˜ao v.t.s e v.c. novas (Lambda) hhR ∪ {(λ.MΓ1 α1) Γ2 α2}, Eii → hhR, E ∪ {α2= α ∗_{→ α}

1, Γ1= α∗.Γ2}ii, onde α∗ ´e uma

v.t. nova; (App) hhR ∪ {(MΓ1 α1N Γ2 α2) Γ3 α3}, Eii → hhR, E ∪ {Γ1= Γ2, Γ2= Γ3, α1= α2→ α3}ii

Tabela 4.1.1: Regras de inferˆencia de tipos para o λdB-calculus

hhR0, ∅ii →Varn hhR1 = R0r { 2Γα11}, E1 = {Γ1 = α 0 1.α1.Γ01}ii →Var hhR2 = R1r { 1Γα22}, E2 = E1∪ {Γ2 = α2.Γ 0 2}ii →App hhR3 = R2r {( 2Γα11 1 Γ2 α2) Γ3 α3}, E3 = E2∪ {Γ1 = Γ2, Γ2 = Γ3, α1 = α2→α3}ii →Lambda hh∅ = R3r {(λ.( 2Γα11 1 Γ2 α2) Γ3 α3) Γ4 α4}, E4 = E3∪ {α4 = α ∗ 1→α3, Γ3 = α∗1.Γ4}ii

Logo, E4= Ef. Resolvendo as equa¸c˜oes triviais sobre v.c., i.e. Γ1= Γ2= Γ3, e tomando

as vari´aveis com o menor subindice, tem-se {α1 = α2→α3, α4= α∗1→α3, Γ1 = α01.α1.Γ01, Γ1 =

α2.Γ02, Γ1 = α∗1.Γ4}. Simplificando, {α1 = α2→α3, α4 = α1∗→α3, α01.α1.Γ01 = α2.Γ02 = α∗1.Γ4}.

A partir dessas equa¸c˜oes obt´em-se o unificador mais geral α4= α2→α3 e Γ4= (α2→α3).Γ01,

para as vari´aveis de interesse. Como o contexto deve ser o mais curto poss´ıvel, Γ0₁= nil e h(α2→ τ3).nil ` α2→ τ3i ´e uma tipagem principal de M .

A partir da Defini¸cão 4.1.4 e pela unicidade das solu¸cões retornadas pelo algoritmo de inferência de tipos, deduz-se que λ→_dB satisfaz a propriedade de PT. O teorema a seguir afirma que todo termo tipável em λ→_dB tem uma tipagem principal.

Teorema 4.1.6 (PT para o λ→_dB): O sistema λ→_dB satisfaz a propriedade de tipagem principal.

Demonstra¸c˜ao. Seja M ∈ ΛdB qualquer e M0 sua vers˜ao decorada.

Seja R0 o conjunto de todos os subtermos de M0. Iniciando com o par hhR0, ∅ii e

aplicando as regras de inferência da Tabela 4.1.1 obtém-se um par final após um número finito de passos, pois após cada aplica¸cão o número de elementos do conjunto de subtermos decorados é decrementado. Pela unicidade na decomposi¸cão em subtermos, só é poss´ıvel aplicar uma única regra em cada elemento de R0. Logo, o processo termina com um

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