6 Tipos Especiais de Elementos De Contorno

Tais elementos de contorno foram desenvolvidos afim de solucionar certos problemas que ocorrem devido a presença de descontinuidades geométricas, como a existência de cantos vivos no contorno do domínio físico a ser modelado; e descontinuidades físicas, através da imposição de condições de contorno descontínuas nos elementos.

Destaca-se que, tais problemas somente tornam-se relevantes quando as modelagens são realizadas utilizando-se de elementos de contorno ditos de ordem superior, isto é, elementos de contorno que utilizem funções de interpolação polinomiais que possuem um grau maior ou igual à unidade. Este fato acontece nos elementos de contorno lineares e quadráticos utilizados neste trabalho.

Ressalta-se que, a priori, os problemas de descontinuidades físicas só deveriam ocorrer quando da descontinuidade da derivada normal do potencial, visto que um valor de potencial descontínuo não possui um significado físico consistente. Assim, o modelo físico das equações diferenciais aqui analisadas não comporta este tipo de descontinuidade, que representaria, por exemplo, um único ponto material possuindo dois valores distintos de temperatura.

Apesar disso, existem certos casos que possuem soluções analíticas onde tal descontinuidade está presente no modelo matemático associado, sendo assim, neste trabalho também aplicam-se os elementos de contorno ditos especiais para solucionar este tipo de descontinuidade no potencial.

A seguir, com o propósito de tornar a apresentação mais didática para o problema das descontinuidades geométricas e/ou físicas, e a necessidade da adoção de elementos de contorno especiais, apresenta-se, inicialmente, o caso da descontinuidade envolvendo a derivada normal do potencial.

A descontinuidade da derivada normal do potencial pode ocorrer devido, basicamente, a dois procedimentos: tal descontinuidade pode ser prescrita quando da aplicação das condições de contorno (descontinuidade física) ou a descontinuidade pode ser causada por uma descontinuidade geométrica (um canto vivo por exemplo) que proporciona a existência de uma descontinuidade da normal ao contorno.

Conforme pode ser observado de acordo com a figura II.6-1 o fluxo é dependente do contorno a medida em que é definido pela derivação do potencial com respeito ao vetor normal n, isto é:

q u n = ∂ ∂ Eq. II.6-1

q

q

n

_n

i

Figura II.6-1 - Descontinuidade no valor do fluxo devido a mudança de direção do vetor normal para o nó funcional i.

Observe que: q u n q u n 1 1 2 2 = ∂ ≠ = ∂ ∂ ∂ Eq. II.6-2 pois tem-se: n₁≠n₂ Eq. II.6-3

Adotando-se uma discretização com elementos de contorno constantes o problema da descontinuidade geométrica não apareceria, pois o ponto fonte é colocado no interior do elemento de contorno e, portanto, deslocado dos cantos vivos ou das descontinuidades geométricas. O campo das variáveis físicas do problema, formados pela utilização das funções de interpolação constante, é descontinuo por definição, logo o problema do tratamento das descontinuidades físicas é resolvido naturalmente.

Na figura II.6-2 encontram-se ilustrados outros casos em que ocorrem descontinuidades na derivada normal do potencial. Nestes casos a discretização, realizada com elementos utilizando funções de interpolação de ordem superior, deve ser tal que os

pontos onde haja uma descontinuidade, ou a descontinuidade seja esperada, se localize em nós funcionais extremos de dois elementos de contorno adjacentes.

u= 0 q= 0 q q= 0

B

A

C

Figura II.6-2 - Representação dos diferentes tipos de descontinuidades: (a) derivada normal do potencial prescrita descontínua no ponto A; (b) derivada normal do potencial prescrita a esquerda do ponto B e potencial prescrito a direita do ponto B; (c) potenciais prescritos a direita e a esquerda do ponto C, onde o contorno não é suave.

As primeiras tentativas para solucionar os problemas das descontinuidades, consistiam em aumentar o refinamento da discretização nestas regiões, contudo, este procedimento além de aumentar o tamanho do sistema linear de equações algébricas resultante, pela adição de mais pontos nodais, nem sempre proporciona bons resultados.

Um procedimento recente desenvolvido para solucionar o problema da descontinuidade da derivada normal do potencial consiste em expressar seu valor em uma das faces como sendo proporcional ao valor na outra face do elemento de contorno adjacente. Tal procedimento é denominado de Tratamento Geométrico de Descontinuidade ou Técnica da Resultante Única [7, 8].

Outra maneira simples de resolver tal problema consiste na adoção do denominado “nó duplo”, isto é, a duplicação do nó extremo dos elementos de contorno (vide figura II.6-3), ou seja, neste caso tem-se dois nós funcionais pertencentes a diferentes elementos de contorno adjacentes, possuindo as mesmas coordenadas geométricas no sistema global, nós funcionais 3 e 4 na figura II.6-3.

elemento 2 3 4 elemento 1 ₅ 2 6 nó duplo 1

Figura II.6-3 - Representação dos nós funcionais existentes entre dois elementos de contorno quadráticos contendo um nó duplo entre os elementos.

Destaca-se que a inclusão do nó duplo proporciona um aumento na ordem de sistema de equações algébricas. No entanto, devido ao fato das descontinuidades encontrarem-se em número reduzido, se comparado ao número total de equações, esta característica não inviabiliza este procedimento de solução.

Na inclusão do nó duplo no método da colocação, aqui empregado para formação do sistema matricial resultante do Método dos Elementos de Contorno, produz a formação de duas linhas idênticas na matriz G, vide Capítulo III. Neste caso, quando tem-se o potencial prescrito nos dois nós funcionais referentes ao nó duplo, as linhas referentes da matriz G são passadas para a matriz final reordenada, de modo que tal matriz torna-se singular.

Na formulação do Método dos Elementos de Contorno aplicando-se o método de Galerkin, a inclusão do nó duplo, dois nós funcionais com mesmas coordenadas geométricas globais, não proporciona linhas idênticas nas matrizes H e G. Assim, o sistema linear de equações algébricas resultante final não se torna singular como no método da colocação [8].

A seguir apresentam-se alguns procedimentos desenvolvidos para solucionar a possibilidade da ocorrência de singularidades na matriz resultante do Método dos Elementos de Contorno quando da utilização do método da colocação.

A solução que se apresenta mais viável, a priori, consiste no denominado nó duplo modificado, ou seja, deslocam-se os pontos nodais funcionais para o interior dos elementos contendo o nó duplo, modificando-se as funções de interpolação, fazendo com que sejam geradas equações algébricas lineares diferentes para os dois nós funcionais em questão. O elemento de contorno formulado desta forma é denominado de Elemento de Contorno Não Conforme.

Outra solução mais interessante consiste em deslocar-se apenas os pontos fontes ξ para o interior dos elementos de contorno contendo o nó duplo, mantendo-se as mesmas funções de interpolação. Deste modo, mantêm-se as incógnitas nos pontos nodais extremos dos elementos. O elemento de contorno formulado, adotando-se tal procedimento, é denominado Elemento Interpolado ou, mais apropriadamente, Elemento com Ponto de Colocação Não Nodal.

A seguir apresenta-se de forma mais detalhada a formulação do chamado Elemento com Ponto de Colocação Não Nodal, utilizada nas aplicações numéricas analisadas neste trabalho. Maiores informações sobre os demais métodos de tratamento de descontinuidades descritos anteriormente podem ser encontradas em Marques (1986), Jaime (1995) e Zambrozuski (1992) [7, 8, 9].