2.5 Curvas el´ıpticas como curvas projetivas planas
2.5.2 Toros complexos tˆem o formato de c ´ubicas projetivas planas!
Chega de geometria projetiva, afinal este ´e um mini-curso de curvas el´ıpticas! Mas agora temos os conceitos necess´arios para poder interpretar um toro complexo C/Λ como uma curva projetiva complexa, ou seja, como o conjunto de zeros de um po- lin ˆomio homogˆeneo f(X, Y, Z) ∈C[X, Y, Z]em P2
C.
Para isto, observe inicialmente que a equac¸˜ao diferencial da func¸˜ao℘(z),
(℘0(z))2=4(℘(z))3−g2℘(z) −g3
mostra que, para todo z 6≡ 0 (mod Λ), o par (℘(z),℘0(z)) ´e um ponto da curva afim de equac¸˜ao
y2 =4x3−g2x−g3
Para “acomodar” o caso z ≡ 0 (mod Λ), ´e necess´ario “compactificar” a curva acima acrescentando um “ponto no infinito”. A curva correspondente no plano projetivo ´e obtida “homogeneizando-se” o polin ˆomio acima; defina o polin ˆomio homogˆeneo de grau 3
f(X, Y, Z) =Y2Z−4X3+g2XZ2+g3Z3
A curva correspondente
E= {(x : y : z) ∈P2C | f(x, y, z) = 0}
´e tal que sua restric¸˜ao `a carta U2 = {(x : y : z) ∈P2C | z6=0} ´e justamente a curva afim acima. Note que E possui um ´unico “ponto no infinito” com relac¸˜ao a esta carta. De fato, a intersecc¸˜ao de E com a “reta no infinito” Z=0 ´e o conjunto de pontos(x : y : 0)
satisfazendo f(x, y, z) = 0 ⇔ −4x3 = 0 ⇔ x = 0, ou seja, consiste em apenas um ponto(0 : y : 0) = (0 : 1 : 0).
Assim, ´e natural definir um mapa
ι: C/Λ→ E
do toro complexo C/Λ `a curva projetiva plana E sobre C, dado por
ι(z modΛ) =
(
Odef= (0 : 1 : 0) se z ≡0 (mod Λ) (℘(z): ℘0(z) : 1) se z 6≡0 (modΛ)
Este mapa ´e cont´ınuo no seguinte sentido: como℘(z)e℘0(z)possuem polos em z =0 de ordem 2 e 3, respectivamente, com limz→0z3℘0(z) = −2, temos que quando z→0
(℘(z) :℘0(z) : 1) = (z3℘(z) : z3℘0(z) : z3)
→ (0 :−2 : 0) = (0 : 1 : 0) =O
Agora vamos mostrar que ι ´e uma bijec¸˜ao, o que fornece uma maneira de enxergar o toro complexo C/Λ como uma curva projetiva E.
Teorema 2.17 (Toros complexos como curvas projetivas planas) Na nota¸c˜ao acima, ι ´e uma bije¸c˜ao.
DEMONSTRAC¸ ˜AO:
• ι ´e injetiva: devemos provar que
ι(z1modΛ) = ι(z2modΛ) ⇒ z1 ≡z2 (mod Λ)
´E claro, a partir da definic¸˜ao de ι, que
ι(z modΛ) =O=ι(0 modΛ) ⇔ z≡0 (mod Λ)
Assim, podemos supor que z1, z2 6≡ 0 (modΛ)acima. Devemos ent˜ao mostrar
que
℘(z1) = ℘(z2)
℘0(z1) = ℘0(z2) ⇒z1 ≡z2 (mod Λ)
Em outras palavras, devemos mostrar que z2modΛ ´e a ´unica soluc¸˜ao do sistema
na vari´avel z
℘(z) − ℘(z2) =0
℘0(z) − ℘0(z2) =0
Mas j´a sabemos, pela demonstrac¸˜ao do teorema 2.16 que a func¸˜ao℘(z) − ℘(z2)
possui exatamente dois zeros em C/Λ, contados com multiplicidade. Temos 2 casos: se 2z2 ≡ 0 (mod Λ), z2 modΛ ´e um zero com multiplicidade 2 e neste
caso ´e a ´unica soluc¸˜ao do sistema acima; por outro lado se 2z2 6≡ 0 (mod Λ),
temos 2 soluc¸ ˜oes distintas z ≡ ±z2 (mod Λ) para ℘(z) = ℘(z2). Mas z ≡ −z2
(modΛ) n˜ao satisfaz a segunda equac¸˜ao do sistema, pois ℘0(−z2) − ℘0(z2) =
−2℘0(z2) 6= 0 pois 2z2 6≡ 0 (mod Λ) (ver teorema 2.15). Assim, tamb´em neste
2.5. CURVAS EL´IPTICAS COMO CURVAS PROJETIVAS PLANAS 49 • ι ´e sobrejetora: Como O ∈ E, ´e suficiente mostrar que um ponto(x : y : 1) ∈ E est´a
na imagem de ι, ou seja, que o sistema na vari´avel z
℘(z) −x =0
℘0(z) −y=0
possui soluc¸˜ao. Mas a func¸˜ao℘(z) −x tem exatamente 2 zeros em C/Λ (contados com multiplicidade), pois possui exatamente um polo duplo na origem (ver teo- rema 2.12). Sendo℘uma func¸˜ao par, estes zeros s˜ao da forma z ≡ ±a (mod Λ)
para algum a ∈ C (se 2a ≡ 0 (mod Λ), temos que z ≡ a (mod Λ) ´e um zero duplo pois ℘0(a) = 0 neste caso). Da equac¸˜ao diferencial de ℘ e do fato de que
(x : y : 1) ∈E, temos
(℘0(±a))2 =4(℘(±a))3−g2℘(±a) −g3
=4x3−g2x−g3
=y2
Portanto℘0(±a) ∈ {±y}e assim um dos dois valores±a modΛ ser´a soluc¸˜ao do sistema acima. Isto conclui a prova da sobrejetividade e, com isto, a do teorema.
Nosso pr ´oximo passo ser´a mostrar como a lei de grupo em C/Λ se transfere para E: afinal se podemos somar pontos em C/Λ, pela bijec¸˜ao acima tamb´em podemos somar pontos de E! Desta forma, teremos uma descric¸˜ao puramente geom´etrica para a lei de grupo em E, o que ser´a muito importante para definirmos curvas el´ıpticas sobre corpos arbitr´arios e n˜ao somente C.
Antes disto, precisaremos dar uma descric¸˜ao dos pontos de intersecc¸˜ao de E com retas em P2C. Uma reta no plano projetivo P2C nada mais ´e do que o conjunto de zeros de um polin ˆomio homogˆeneo linear`(X, Y, Z) = aX+bY+cZ n˜ao nulo. As restric¸ ˜oes desta “reta projetiva” `a cada carta X 6= 0, Y 6= 0 e Z 6= 0 ´e uma reta afim usual do C2 (surpreso?).
O resultado de que precisamos, um caso particular do teorema de B´ezout, ´e que uma reta em P2Csempre intercepta E em 3 pontos, n˜ao necessariamente distintos; com isto, queremos dizer que pontos de intersecc¸˜ao devem ser contados com a devida “multiplicidade”. Por exemplo, pontos de tangˆencia possuem multiplicidade pelo me- nos 2. Em nossa situac¸˜ao particular, temos que analisar 3 casos: seja aX+bY+cZ=0 a equac¸˜ao de uma reta.
(i) b 6= 0, de modo que a reta n˜ao passa por O = (0 : 1 : 0). Neste caso, as intersecc¸ ˜oes da reta com E est˜ao todas contidas na carta Z 6= 0 e correspondem `as soluc¸ ˜oes do sistema de equac¸ ˜oes
y2 =4x3−g2x−g3 y= −a bx− c b
Note que como a equac¸˜ao polinomial de terceiro grau −a bx− c b 2 =4x3−g2x−g3
possui exatamente 3 ra´ızes em C, contadas com multiplicidade, temos exatamente 3 pontos de intersecc¸˜ao, se definirmos a multiplicidade do ponto como a multipli- cidade da raiz correspondente! Geometricamente, um ponto de intersecc¸˜ao com multiplicidade pelo menos 2 ´e um ponto de tangˆencia.
(ii) b = 0 e a 6= 0, de modo que a reta passa por O = (0 : 1 : 0). Trabalhando na carta Y 6=0, que cont´em O, temos que O corresponde `a soluc¸˜ao(x, z) = (0, 0)do sistema z=4x3−g2xz2−g3z3 x = −c az Mas como z =0 ´e uma raiz simples de
z=4−c az 3 −g2 −c az z2−g3z3
o ponto de intersecc¸˜ao O deve ser contado com multiplicidade 1. Geometrica- mente, isto significa que a reta corta “transversalmente” a curva em O. Na carta Z 6= 0, temos que esta reta ´e a reta “vertical” x = −c
a, que encontra a curva E em dois pontos sim´etricos com relac¸˜ao ao eixo “horizontal”, correspondentes `as soluc¸ ˜oes do sistema
y2=4x3−g2x−g3 x= −c a ⇔ y2 =4−c a 3 −g2 −c a −g3 x = −c a
Note que as retas verticais definem a direc¸˜ao do vetor(0, 1), logo s˜ao justamente as que passam pelo ponto O = (0 : 1 : 0)na “reta do infinito” Z =0.
(iii) Finalmente, o ´ultimo caso ´e a =b=0 e c6= 0, ou seja, a reta de equac¸˜ao Z=0. Ela ´e a “reta do infinito” para a carta Z6= 0, carta esta que cont´em todos os pontos de E com excec¸˜ao de O. Assim, temos apenas 1 ponto de intersecc¸˜ao, correspondente `a soluc¸˜ao do sistema
z =4x3−g2xz2−g3z3
z =0
Como a equac¸˜ao polinomial 4x3 = 0 tem uma raiz tripla x = 0, devemos contar O com multiplicidade 3. Geometricamente, isto significa que O ´e um ponto de inflex˜ao de E.
Talvez devˆessemos explicar melhor o que queremos dizer com uma reta tangente a E em um ponto(a : b : c) ∈ E. Antes, um pequeno
Lema 2.18 Seja
f(X, Y, Z) =Y2Z−4X3+g2XZ2+g3Z3
2.5. CURVAS EL´IPTICAS COMO CURVAS PROJETIVAS PLANAS 51 (a) O discriminante
∆def=44(e1−e2)2(e2−e3)2(e1−e3)2 =16(g32−27g23)
do polinˆomio
p(x) = 4x3−g2x−g3=4(x−e1)(x−e2)(x−e3)
´e n˜ao nulo. Logo as ra´ızes de p(x)s˜ao todas simples.
(b) E ´e uma curva projetiva lisa, sem singularidades. Em outras palavras, o gradiente
∇f(a, b, c) = ∂ f ∂X(a, b, c), ∂ f ∂Y(a, b, c), ∂ f ∂Z(a, b, c) 6= (0, 0, 0)
para todo ponto(a : b : c) ∈ E.
DEMONSTRAC¸ ˜AO: Lembre que o discriminante ´e definido como ∆ =44(e1−e2)2(e2−e3)2(e1−e3)2
uma express˜ao sim´etrica em relac¸˜ao `as ra´ızes e1, e2, e3 de p(x), logo pelo teorema das
func¸ ˜oes sim´etricas (ver [Lan02], IV.§6, p.190)∆ pode ser escrito em termos das fun¸c˜oes sim´etricas elementares em e1, e2, e3:
e1+e2+e3 =0
e1e2+e2e3+e1e3 = −g42
e1e2e3 = g43
Com um pouco de paciˆencia, vocˆe pode verificar que∆ = 44(e1−e2)2(e2−e3)2(e1−
e3)2 ´e, de fato, igual a 16(g32−27g32), o que deixamos como exerc´ıcio para o leitor, vocˆe
´e claro!
Assim,∆ = 0 ´e equivalente ao polin ˆomio p(x) possuir ra´ızes m ´ultiplas. Mas pelo teorema 2.15, sabemos que
e1= ℘ ω1 2 , e2 = ℘ ω2 2 , e3 = ℘ ω1+ω2 2 ,
que s˜ao dois a dois distintos, pois pela demonstrac¸˜ao do teorema 2.16, j´a sabemos que
ω1
2 ´e a ´unica raiz m ´oduloΛ de℘(z) − ℘ ω1
2
(com multiplicidade 2) e analogamente para ω2
2 e
ω1+ω2
2 . Isto prova (a).
Para mostrar (b), note inicialmente que∇f ´e um polin ˆomio homogˆeneo de grau 2, logo a condic¸˜ao∇f(a, b, c) = 0 ´e independente do representante do ponto(a : b : c)de E. Por outro lado,∇f(a, b, c) = 0 ´e equivalente a
−12a2+g2c2 = 0 2bc = 0 b2+2g2ac+3g3c2 = 0
Da segunda equac¸˜ao, temos dois casos: c = 0, mas neste caso a = 0 pela primeira equac¸˜ao e b = 0 pela terceira, o que ´e imposs´ıvel; ou c 6= 0 e b = 0 logo o sistema se reduz a ( −12a2+g2c2 = 0 2g2a+3g3c = 0 ⇔ a c 2 = g2 12 2g2 a c +3g3 = 0 ⇒g23−27g23=0
Mas por (a), sabemos que∆ =16(g32−27g23) 6=0, o que termina a prova de (b). Agora, observe que, na notac¸˜ao do lema,
f(ta, tb, tc) = t3f(a, b, c) =0 d dt ⇒a· ∂ f ∂X(ta, tb, tc) +b· ∂ f ∂Y(ta, tb, tc) +c· ∂ f ∂Z(ta, tb, tc) =0 t=1 ⇒a· ∂ f ∂X(a, b, c) +b· ∂ f ∂Y(a, b, c) +c· ∂ f ∂Z(a, b, c) =0,
a chamada identidade de Euler. Assim,
`(X, Y, Z)def= (X−a) · ∂ f ∂X(a, b, c) + (Y−b) · ∂ f ∂Y(a, b, c) + (Z−c) · ∂ f ∂Z(a, b, c) =X· ∂ f ∂X(a, b, c) +Y· ∂ f ∂Y(a, b, c) +Z· ∂ f ∂Z(a, b, c)
´e um polin ˆomio linear homogˆeneo n˜ao nulo, que define a reta tangente a E no ponto P = (a : b : c). Note que se escolhermos um outro representante (λa : λb : λc), λ 6= 0, para o ponto P, a equac¸˜ao acima ´e multiplicada por λ2e portanto ainda define
a mesma reta. Esta ´e a “projetivizac¸˜ao” da reta tangente usual, ou seja, para uma carta U contendo o ponto P, obtemos a reta tangente usual. Por exemplo, se c 6= 0, na carta Z6=0, temos que o coeficiente angular da reta tangente `a curva da equac¸˜ao f(x, y, 1) =
0 no ponto a c,
b c, 1
pode ser calculada derivando esta equac¸˜ao com relac¸˜ao a x; por simplicidade, vamos assumir que ∂ f
∂Y a c, b c, 1
6=0 (ou seja, a reta n˜ao ´e “vertical”):
∂ f ∂X a c, b c, 1 +∂y ∂x (x,y)=(ac,bc) · ∂ f ∂Y a c, b c, 1 =0 ⇒∂y ∂x (x,y)=(ac,bc) = − ∂ f ∂X a c, b c, 1 ∂ f ∂Y a c, b c, 1 = − ∂ f ∂X(a, b, c) ∂ f ∂Y(a, b, c)
2.5. CURVAS EL´IPTICAS COMO CURVAS PROJETIVAS PLANAS 53 da reta tangente ´e
y−b c = − ∂ f ∂X(a, b, c) ∂ f ∂Y(a, b, c) ·x− a c ⇔x· ∂ f ∂X(a, b, c) +y· ∂ f ∂Y(a, b, c) − a c · ∂ f ∂X(a, b, c) − b c · ∂ f ∂Y(a, b, c) =0
Mas, pela identidade de Euler acima, a· ∂ f ∂X(a, b, c) +b· ∂ f ∂Y(a, b, c) +c· ∂ f ∂Z(a, b, c) =0 ⇒ − a c · ∂ f ∂X(a, b, c) − b c · ∂ f ∂Y(a, b, c) = ∂ f ∂Z(a, b, c)
e assim temos que a equac¸˜ao da reta tangente ´e x· ∂ f ∂X(a, b, c) +y· ∂ f ∂Y(a, b, c) + ∂ f ∂Z(a, b, c) = 0,
que ´e justamente a equac¸˜ao da reta`(X, Y, Z) =0 ⇔ ` X
Z, Y Z, 1 =0 na carta Z 6= 0, fazendo-se x= X Z e y = Y Z.
Agora, voltemos `a nossa tarefa original (qual era ela mesmo?): descrever a lei de grupo do toro C/Λ em termos puramente geom´etricos na curva E. Em uma s´o frase, podemos resumir o resultado da seguinte maneira:
P1+P2+P3 =O em E ⇐⇒ P1, P2, P3s˜ao colineares
Vejamos mais precisamente o que isto quer dizer.
Teorema 2.19 (Lei da Corda-Tangente) Seja ι: C/Λ →∼ E a bije¸c˜ao entre o toro complexo e a curva projetiva E, como no teorema 2.17. Sejam P1e P2dois pontos de E e seja P3o terceiro
ponto de intersec¸c˜ao de E com a reta que liga P1 e P2 (ou a reta tangente, caso P1 = P2). Se
zjmodΛ ´e o ponto de C/Λ correspondente a Pj, i.e.,
Pj =ι(zj modΛ) (j=1, 2, 3)
ent˜ao
z1+z2+z3 ≡0 (mod Λ)
DEMONSTRAC¸ ˜AO: Temos alguns casos a analisar. Note que P1e P2tˆem papel sim´etri-
co no enunciado do teorema.
• P1 = P2 = O def= (0 : 1 : 0). Neste caso, temos que Z = 0 ´e a reta tangente a
P1= P2e, como vimos acima, temos P3 =O tamb´em (O ´e um ponto de inflex˜ao).
• P1 =O e P2 6=O. Neste caso, P2pertence `a carta Z 6=0 e a reta que liga P1 =O a
P2´e a reta vertical passando por P2. Como a curva de equac¸˜ao y2 =4x3−g2x−g3
´e sim´etrica com relac¸˜ao ao eixo x, temos que o terceiro ponto de intersecc¸˜ao ´e o sim´etrico de P2com relac¸˜ao ao eixo x (como mostra o esboc¸o da parte real de E a
seguir).
Assim, temos
P2 = (℘(z2),℘0(z2)) e P3 = (℘(z2),−℘0(z2)) = (℘(−z2),℘0(−z2))
ou seja, temos z3 ≡ −z2 (mod Λ) (lembre-se de que ι ´e uma bijec¸˜ao!). Assim,
como z1 ≡0 (mod Λ), temos novamente z1+z2+z3 ≡0 (mod Λ).
• P1 6=O e P26=O. Se z1 ≡ −z2 (mod Λ), ent˜ao P1e P2s˜ao sim´etricos com relac¸˜ao
ao eixo x, logo a reta que os une ´e a reta vertical passando por eles, que encontra a curva el´ıptica E em P3 =O. Assim z3≡0 (mod Λ)e novamente z1+z2+z3 ≡0
(modΛ).
Agora, suponha que z1 6≡z2 (modΛ). Trabalhando na carta Z 6=0, temos que a
reta por P1 e P2 n˜ao ´e vertical e assim possui equac¸˜ao da forma y = mx+b para
algum m, b ∈ C. Note que um ponto (x, y) ∈ C2 pertence a E se, e s ´o se, est´a na imagem de ι, i.e., ´e da forma (x, y) = (℘(z),℘0(z)). Assim, as intersecc¸ ˜oes de E com a reta acima s˜ao exatamente as imagens por ι das ra´ızes de
℘0(z) =m℘(z) +b (∗)
Portanto z1, z2, z3modΛ s˜ao ra´ızes de(∗), correspondendo aos pontos de inter-
secc¸˜ao P1, P2, P3, respectivamente. Como ℘0(z) −m℘(z) −b possui exatamente
um polo triplo na origem z ≡ 0 (mod Λ), pelo teorema 2.12, a equac¸˜ao(∗)pos- sui exatamente 3 ra´ızes, contadas com multiplicidade. Uma vez que verificarmos que ra´ızes m ´ultiplas correspondem a pontos m ´ultiplos de mesma multiplicidade, teremos que z1, z2, z3 modΛ ´e a lista completa das ra´ızes de(∗), contadas mul-
tiplicidades. E novamente pelo teorema 2.12, concluiremos que z1+z2+z3 ≡0
2.5. CURVAS EL´IPTICAS COMO CURVAS PROJETIVAS PLANAS 55 O caso em que(∗)tem uma raiz de multiplicidade 3 ´e trivial, pois neste caso s ´o h´a um ponto de intersecc¸˜ao. Suponha ent˜ao que(∗)tenha exatamente uma raiz dupla z0e uma simples ˜z0, de modo que h´a apenas dois pontos de intersecc¸˜ao “fi-
sicamente,” a saber(℘(z0),℘0(z0))e (℘(˜z0),℘0(˜z0)). Queremos somente decidir
qual destes pontos ´e o ponto de intersecc¸˜ao com multiplicidade 2, que natural- mente deve ser(℘(z0),℘0(z0)).
Por nossa definic¸˜ao de multiplicidade de ponto, temos que mostrar que x = ℘(z0) ´e uma raiz dupla da equac¸˜ao
(mx+b)2=4x3−g2x−g3
ou seja, queremos mostrar que ℘(z0) ´e tamb´em raiz da derivada do polin ˆomio
acima:
2m(m℘(z0) +b) −12(℘(z0))2+g2=0
Derivando a equac¸˜ao diferencial de℘(z), obtemos
2℘0(z) · ℘00(z) =12(℘(z))2· ℘0(z) −g2℘0(z)
⇔2℘00(z) = 12(℘(z))2−g2
Note que ´e poss´ıvel cancelar o fator℘0(z)pois K(C/Λ) ´e um corpo. Como z0 ´e raiz dupla de(∗), temos
℘0(z0) −m℘(z0) −b =0
℘00(z0) −m℘0(z0) = 0
Assim, substituindo temos
2m(m℘(z0) +b) −12(℘(z0))2+g2=2m℘0(z0) −12(℘(z0))2+g2
=2℘00(z0) −12(℘(z0))2+g2
=0 como quer´ıamos.
Agora temos a nossa deseja descric¸˜ao geom´etrica da lei de grupo em E: definimos uma estrutura de grupo abeliano em E via a bijec¸˜ao ι : C/Λ →∼ E, de modo que
P+Qdef= ι(ι−1(P) +ι−1(Q))
para todo P, Q∈ E. Assim temos que
O def= (0 : 1 : 0) = ι(0 modΛ)
´e o elemento neutro deste grupo. E como
ι(−z modΛ) = (℘(−z): ℘0(−z): 1) = (℘(z) : −℘0(z) : 1)
para z6≡0 (mod Λ), temos que, dado P∈ E, o seu oposto−P∈ E ´e o ponto sim´etrico com relac¸˜ao ao eixo x:
Pelo teorema, temos que se P, Q, R s˜ao colineares, ent˜ao P+Q+R = O. Assim, P+Q= −R pode ser descrito como na introduc¸˜ao: considere a reta que liga P a Q (ou a reta tangente se P = Q); esta reta intercepta E no ponto R = −P−Q; tomando seu sim´etrico com relac¸˜ao ao eixo x obtemos o seu oposto, i.e., P+Q:
Esta descric¸˜ao geom´etrica possui a vantagem de funcionar sobre qualquer corpo e n˜ao apenas C, como veremos no cap´ıtulo a seguir. Precisaremos ainda de mais uma descric¸˜ao da lei de grupo, que ser´a o tema da pr ´oxima sec¸˜ao.