No modelo de escoamento, recomenda-se considerar o efeito da perda de carga da área canhoneada no gradiente de pressão; simular o modelo em uma malha bidimensional para estudar a variação da velocidade ao longo do raio; implementar as correlações do fator de atrito propostas por Ouyang et al. (1997) e descritas no Anexo C. Como foi discutido no Capítulo 4, o efeito do influxo radial altera o perfil de velocidade do escoamento e, consequentemente, a tensão de cisalhamento na parede. No reservatório, a recomendação é que sejam adotados modelos que descrevam a produção em poços horizontais, levando em consideração a anisotropia do meio e a área de drenagem do poço.
Outras sugestões são estudar o impacto das componentes do gradiente de pressão em diferentes configurações de completação e aplicar o modelo usando o princípio de funcionamento das válvulas de controle de fluxo (ICD e AICD).
REFERÊNCIAS
AHMED, T. Reservoir Engineering Handbook. Elsevier, 2006.
BEJAN, A. Convection Heat Transfer. John Wiley & Sons, 2013.
BRUHN, C. H. L.; GOMES, J. A. T. G.; LUCCHESE JR, C. D.; JOHANN, P. R. S. Campos Basin: Reservoir Characterization and Management – Historical Overview and Future Challenges. In: OFFSHORE TECHNOLOGY CONFERENCE, Houston, 2003. Proceedings… Offshore Technology Conference, 2003. Ref. OTC-15220.
BRUHN, C. H. L.; PINTO, A. C. C.; JOHANN, P. R. S.; BRANCO, C. C. M.; SALOMÃO, M. C.; FREIRE, E. B. Campos and Santos Basin: 40 Years of Reservoir Characterization and Management of Shallow to Ultra-Deep Water, Post and Pre-Salt Reservoirs – Historical Overview and Future Challenges. In: OFFSHORE TECHNOLOGY CONFERENCE, Rio de Janeiro, 2017. Proceedings… Offshore Technology Conference, 2017. Ref. OTC-28159-MS.
CHAPERSON, I. Theoretical Study of Coning Toward Horizontal and Vertical Wells in Anisotropic Formations: Subcritical and Critical Rates. In: SPE 61ST ANNUAL FALL
MEETING, New Orleans, 1986. Proceedings… SPE 61st Annual Fall Meeting. Ref. SPE-
15377.
DIKKEN, B. J. Pressure Drop in Horizontal Wells and Its Effect on Production Performance. Journal of Petroleum Technology, v. 42, n. 11, p. 1426-1433, nov. 1990.
ECONOMIDES, M. J., DEIMBACHER, F. X., BRAND, C. W., HEINEMANN, Z. E. Comprehensive Simulation of Horizontal-Well Performance. SPE Formation Evaluation, v. 6, n. 4, p. 418-426, dez. 1991.
ECONOMIDES, M. J.; HILL, A. D.; EHLIG-ECONOMIDES, C. Petroleum Production System. Pearson Education, 2012.
EFROS, D. A. Study of Multiphase Flows in Porous Media (em russo). Gastoptexizdat, Leningrad, 1963.
FERNÁNDEZ, E. F. F.; PEDROSA JR, O. A.; PINHO, A. C. Dicionário do Petróleo em Língua Portuguesa.
GARCIA, J. E. L. A Completação de Poços no Mar. Apostila, SEREC/CEN-NOR, Salvador, 1997.
HAUGEN, E.; ØSTBYE, N. O.; GRØNVOLD, T.; STRAITH, K., THETING, T. G. Lessons Learned from Further Development of the Peregrino Heavy Oil Field Offshore Brazil. In: EUROPEC, Madrid, 2015. Proceedings… EUROPEC, 2015. Ref. SPE-174341-MS.
HORNBECK, R. W.; ROULEAU, W. T.; OSTERLE, F. Laminar Entry Problem in Porous Tubes. The Physics of Fluids, v. 6, n. 11, p. 1649-1654, 1963.
JOSHI, S. D. Augmentation of Well Productivity Using Slant and Horizontal Wells. Journal of Petroleum Technology, v. 40, n. 6, p. 729-739, jun. 1988.
JOSHI, S. D. Horizontal Well Technology. PennWell Books, 1991.
KARCHER, B., GIGER, F., COMBE, J. Some Practical Formulas to Predict Horizontal Well Behavior. In: SPE 61ST ANNUAL CONFERENCE, New Orleans, 1986. Proceedings… SPE
61st Annual Conference. Ref. SPE-15430.
KINNEY, R. B. Fully Developed Frictional and Heat-Transfer Characteristics of Laminar Flow in Porous Tubes. International Journal of Heat Mass Transfer, v. 11, p. 1393-1400, 1968.
MOODY, M. L. An Approximate Formula for Pipe Friction Factors. Trans., ASME: 69, p. 1005-1011, 1947.
MORAIS, J. M. Petróleo em Águas Profundas: uma História Tecnológica da Petrobras na Exploração e Produção Offshore. Ipea: Petrobras, 2013.
MUSKAT, M. The Flow of Homogeneous Fluids Through a Porous Media. International Human Resources Development Corp., 1937.
NOVY, R. A. Pressure Drop in Horizontal Wells: When Can They be Ignored? SPE Reservoir Engineering, v. 10, n. 1, p. 29-35, fev. 1995.
OLSON, R. M.; ECKERT, E. R. G. Experimental Studies of Turbulent Flow in a Porous Circular Tube with Uniform Fluid Injection through the Tube Wall. Journal of Applied Mechanics, v. 33, n. 1, p. 7-17, 1966.
OUYANG, L-B.; ARBABI, S.; AZIZ, K. General Single Phase Wellbore Flow Model. Stanford University, Department of Petroleum Engineering, California, 1997.
OUYANG, L-B.; ARBABI, S.; AZIZ, K. A Single-Phase Wellbore-Flow Model for Horizontal, Vertical, and Slanted Wells. In: ANNUAL TECHNICAL CONFERENCE AND EXHIBITION, Denver, 1996. Proceedings… Annual Technical Conference and Exhibition, 1996. Ref. SPE-36608.
OZKAN, E.; SARICA, C.; HACI, M. Influence of Pressure Drop Along the Wellbore on Horizontal-Well Productivity. In: SPE PRODUCTION OPERATION SYMPOSIUM, Oklahoma City, 1993. Proceedings… SPE Production Operation Symposium, 1993. Ref. SPE- 25502.
PEACEMAN, D. W. Interpretation of Well-Block Pressures in Numerical Reservoir Simulation. SPE AIME Journal, v. 18, n. 3, p. 183-194, jun. 1978.
PEACEMAN, D. W. Representation of a Horizontal Well in Numerical Reservoir Simulation. SPE Advanced Technology Series, v.1, n. 1, p. 7-16, 1993.
PEDROSA, O. A.; AZIZ, K. Use of Hybrid Grid in Reservoir Simulation. In: MIDDLE EAST OIL TECHNICAL CONFERENCE AND EXHIBITION, Bahrain, 1985. Proceedings… Middle East Oil Technical Conference and Exhibition, 1985. Ref. SPE-13507.
PENMATCH, V. R.; ARBABI, S.; AZIZ, K. Effects of Pressure Drop in Horizontal Wells and Optimum Well Length. In: SPE PRODUCTION OPERATION SYMPOSIUM, Oklahoma City, 1997. Proceedings… SPE Production Operation Symposium, 1997. Ref. SPE-37494.
ROBERTO, M.; COUTINHO, A. B.; DOS SANTOS, A. R. Campos Basin Technologies Yard: 40 Years of Lessons Learned. In: OFFSHORE TECHNOLOGY CONFERENCE, Houston, 2018. Proceedings… Offshore Technology Conference, 2018. Ref. OTC-28716-MS.
ROSA, A. J.; CARVALHO, R. S.; Xavier, J. A. D. Engenharia de Reservatórios de Petróleo. Interciência: Petrobras, 2006.
ROSA, J. V. Análise dos Efeitos da Queda de Pressão em Poços Horizontais na Produção de Campos de Petróleo. Dissertação (mestrado), UNICAMP, 2017.
SANCHEZ, M.; TIBBLES, R. Frac Packing: Fracturing for Sand Control. Middle East and Asia Reservoir Review, n. 8, p. 38-49, 2007.
SHELKHOLESLAMI, B. A.; SCHLOTTMAN, B. W.; SEIDEL, F. A.; BUTTON, D. M. Drilling and Production Aspects of Horizontal Wells in the Austin Chalk. Journal of Petroleum Technology, v. 43, n. 7, p. 773-779, jul. 1991.
SHOHAM, O. Mechanistic Modeling of Gas-Liquid Two-Phase Flow in Pipes. Society of Petroleum Engineers, 2005.
STARK, P. H. Horizontal Drilling - A Global Perspective. In: CARR, T. R.; MASON, E.P.; FEAZEL, C. T. (Eds.). Horizontal Well: Focus on the reservoir. AAPG Methods in Exploration n. 14, 2003. p. 1-7.
VICENTE, R.; SARICA, C.; ERTEKIN, T. A Numerical Model Coupling Reservoir and Horizontal Well Flow Dynamics - Applications in Well Completions, and Production Logging. Journal of Energy Resources Technology, Trans., ASME, v. 126, n. 3, p. 169-176, set. 2004.
WHITE, F. Fluid Mechanics. McGraw-Hill, 1999.
YUAN, S. W.; FINKELSTEIN, A. B. Laminar Pipe Flow with Injection and Suction through a Porous Wall. TRANS., ASME, v. 78, p. 719, 1956.
APÊNDICE A – NÚMERO DE REYNOLDS
Tabela 1 – Caso-base 1
Bloco Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 239 239 240 240 241 241 242 242 242 242 3 471 471 472 473 475 475 476 477 477 477 4 704 704 706 707 709 710 711 712 712 713 5 940 940 942 944 946 948 949 950 950 951 6 1180 1180 1182 1185 1187 1190 1190 1192 1192 1193 7 1425 1427 1428 1431 1433 1436 1436 1438 1438 1439 8 1674 1677 1678 1681 1684 1687 1687 1689 1689 1691 9 1930 1932 1933 1937 1940 1943 1943 1945 1947 1947 10 2190 2194 2195 2199 2201 2205 2207 2207 2209 2209 11 2457 2460 2461 2466 2468 2472 2474 2474 2477 2476 12 2730 2733 2734 2739 2741 2745 2748 2748 2750 2750 13 3009 3013 3014 3018 3024 3025 3027 3027 3030 3030 14 3294 3299 3299 3304 3310 3310 3314 3313 3316 3316 15 3587 3591 3592 3597 3602 3603 3606 3606 3609 3609 16 3886 3891 3896 3897 3902 3902 3906 3906 3909 3909 17 4193 4198 4203 4203 4209 4209 4213 4213 4216 4216 18 4512 4513 4517 4518 4523 4524 4528 4527 4531 4536 19 4835 4835 4840 4841 4846 4846 4850 4850 4854 4859 20 5166 5166 5171 5171 5177 5177 5181 5186 5186 5191 21 5505 5505 5511 5511 5516 5516 5521 5527 5526 5531 22 5854 5854 5860 5860 5865 5865 5870 5876 5876 5881 23 6213 6213 6219 6218 6224 6230 6230 6236 6235 6241 24 6582 6582 6588 6588 6594 6600 6599 6606 6605 6612 25 6963 6962 6969 6969 6975 6982 6981 6988 6987 6994 26 7356 7356 7363 7370 7369 7376 7375 7383 7382 7390 27 7763 7763 7770 7778 7777 7784 7784 7792 7791 7799 28 8187 8186 8194 8202 8202 8210 8209 8218 8217 8226 29 8635 8634 8643 8642 8651 8660 8659 8668 8668 8677 30 9121 9121 9130 9130 9139 9139 9149 9158 9158 9167
Tabela 2 – Caso-base 2
Tabela 3 – Caso-base 3
Bloco Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1492 1498 1501 1506 1512 1516 1522 1525 1530 1536 3 2906 2916 2923 2933 2943 2952 2962 2972 2980 2990 4 4284 4299 4309 4328 4338 4351 4366 4381 4396 4406 5 5652 5666 5678 5703 5722 5740 5753 5772 5791 5805 6 7008 7024 7047 7070 7093 7115 7130 7154 7177 7201 7 8358 8386 8404 8431 8458 8484 8512 8530 8558 8586 8 9708 9740 9760 9791 9822 9852 9883 9904 9936 9968 9 11059 11094 11117 11151 11186 11221 11256 11291 11315 11351 10 12414 12453 12478 12516 12555 12593 12632 12671 12697 12737 11 13776 13819 13847 13903 13930 13972 14015 14058 14102 14130 12 15147 15194 15224 15285 15315 15360 15407 15454 15501 15532 13 16548 16580 16613 16679 16729 16779 16811 16861 16913 16964 14 17947 18001 18036 18088 18141 18195 18229 18284 18339 18394 15 19364 19421 19459 19514 19571 19629 19687 19724 19783 19842 16 20801 20862 20902 20961 21022 21083 21145 21185 21247 21311 17 22262 22327 22369 22432 22497 22562 22628 22695 22737 22804 18 23751 23819 23864 23957 24000 24069 24139 24210 24281 24326 19 25297 25342 25390 25488 25562 25636 25682 25757 25832 25880 20 26854 26931 26981 27056 27134 27212 27262 27341 27421 27501 21 28451 28532 28586 28665 28748 28831 28915 28967 29052 29137 22 30093 30179 30236 30320 30408 30496 30585 30674 30731 30821 23 31788 31879 31939 32063 32122 32215 32309 32404 32499 32559 24 33577 33638 33702 33833 33932 34032 34094 34195 34296 34397 25 35400 35503 35571 35672 35778 35883 35989 36056 36163 36271 26 37301 37410 37483 37591 37702 37814 37927 38040 38113 38227 27 39292 39408 39485 39643 39719 39838 39957 40078 40156 40277 28 41391 41515 41598 41766 41847 41974 42101 42230 42359 42443 29 43647 43780 43868 44047 44134 44270 44406 44543 44682 44772 30 46145 46237 46331 46524 46668 46762 46909 47056 47204 47301
Bloco Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 3 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 4 47 47 47 47 47 47 47 47 47 48 5 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 6 78 78 78 78 78 78 78 78 78 78 7 93 93 93 93 93 93 93 93 94 94 8 108 108 109 109 109 109 109 109 109 109 9 124 124 124 124 124 124 124 124 125 125 10 139 140 140 140 140 140 140 140 140 140 11 155 155 155 156 156 156 156 156 156 156 12 171 171 171 172 172 172 172 172 172 172 13 187 187 187 188 188 188 188 188 188 188 14 203 204 204 204 204 204 204 204 204 205 15 220 220 220 220 220 221 221 221 221 221 16 237 237 237 237 237 237 237 238 238 238 17 253 254 254 254 254 254 254 254 255 255 18 271 271 271 271 271 271 271 272 272 272 19 288 288 288 288 289 289 289 289 289 289 20 306 306 306 306 306 306 306 307 307 307 21 323 324 324 324 324 324 324 325 325 325 22 342 342 342 342 342 342 343 343 343 343 23 360 360 361 361 361 361 361 361 362 362 24 379 379 379 380 380 380 380 380 381 381 25 398 399 399 399 399 399 400 400 400 400 26 418 418 419 419 419 419 419 420 420 420 27 438 439 439 439 439 439 440 440 440 440 28 459 459 460 460 460 460 461 461 461 461 29 481 481 482 482 482 482 483 483 483 483 30 504 505 505 505 505 506 506 506 507 507
Tabela 4 – Caso-base 4
Bloco Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 90 90 90 90 91 91 91 91 92 93 3 175 175 176 176 176 177 177 177 179 180 4 257 258 259 259 260 261 261 261 264 266 5 339 340 341 342 342 343 344 344 348 350 6 420 421 422 423 424 425 426 427 432 434 7 501 502 503 504 506 507 508 509 514 518 8 581 582 584 585 587 588 589 590 597 601 9 661 663 664 666 668 669 671 672 680 685 10 741 743 745 747 749 750 752 753 763 768 11 821 824 826 828 830 832 834 835 846 849 12 902 905 907 909 911 914 916 918 929 929 13 983 986 988 991 993 996 998 1000 1013 1009 14 1065 1067 1070 1073 1076 1078 1081 1083 1098 1091 15 1147 1150 1153 1156 1159 1162 1165 1167 1183 1173 16 1230 1233 1236 1239 1242 1246 1249 1252 1267 1258 17 1313 1317 1320 1324 1327 1330 1334 1337 1350 1343 18 1398 1402 1405 1409 1413 1416 1420 1424 1433 1431 19 1484 1488 1492 1496 1500 1503 1508 1512 1518 1519 20 1571 1575 1579 1584 1588 1592 1596 1601 1604 1609 21 1660 1664 1668 1673 1677 1682 1687 1691 1692 1701 22 1750 1755 1759 1764 1769 1773 1779 1783 1781 1794 23 1842 1847 1852 1857 1862 1867 1873 1878 1875 1887 24 1936 1942 1947 1952 1958 1963 1969 1974 1973 1982 25 2033 2039 2044 2050 2055 2061 2067 2073 2073 2079 26 2133 2139 2144 2150 2156 2162 2169 2175 2177 2181 27 2235 2242 2248 2254 2260 2266 2273 2280 2283 2288 28 2342 2348 2355 2361 2368 2374 2382 2388 2393 2399 29 2454 2460 2467 2474 2481 2488 2495 2502 2508 2515 30 2571 2578 2586 2593 2600 2607 2615 2623 2630 2638
ANEXO A – PERFIL DE VELOCIDADE COM INFLUXO RADIAL
Ouyang et al. (1997) definiram o perfil de velocidade para o problema de um escoamento em duto circular com transferência de massa na parede, como:
𝑢(𝑟) = 𝑢 𝑦 (A.1)
onde 𝑦 = e 𝑦 = 𝑅 − 𝑟. O valor de 𝑚 é determinado a partir de dados experimentais. Substituindo e reescrevendo a equação (A.1):
𝑢(𝑟) = 𝑢 1 − (A.2)
A velocidade média pode ser escrita como:
𝑈 = ∫ 𝑢 1 − 𝑑𝐴 (A.3)
onde 𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟 𝑑𝑟:
𝑈 = ∫ 𝑢 1 − 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 (A.4)
Portanto, a velocidade média é:
𝑈 =
( )( ) (A.5)
Para o caso de injeção de fluido, 𝑚 ≤ . A partir da equação (A.5), podemos escrever a razão entre a velocidade máxima e a velocidade média em função de 𝑚:
O efeito da tensão de cisalhamento na parede é maior no caso do escoamento com injeção. O caso sem injeção descreve o escoamento de Hagen-Poiseuille. Admitindo escoamento totalmente desenvolvido, podemos escrever:
( )
, > ( )
, (A.7)
O gradiente de velocidade apresentado na relação (A.7) define a tensão de cisalhamento do fluido em qualquer raio. Portanto, podemos escrever a tensão de cisalhamento na parede, como:
𝜏 = 𝜇 (A.8)
onde 𝜇 é a viscosidade do fluido e determina a intensidade da tensão. O coeficiente de atrito mostrado na equação (A.8) é conhecido como fator de atrito de Fanning.
𝐶 = 𝑓 = (A.9)
Da mesma forma que a tensão de cisalhamento, o fator de atrito é maior no caso do escoamento com injeção.
𝑓 > 𝑓 (A.10)
Portanto, as correlações de fator de atrito que não levam em conta a transferência de massa na parede não são adequadas para descrever escoamentos com influxo radial.
Na região de escoamento desenvolvido, a velocidade axial é uma função apenas da coordenada radial. Na região de entrada ou nos casos em que o escoamento não pode ser caracterizado como desenvolvido, como é o caso do escoamento com influxo radial, a velocidade axial é função de ambas as coordenadas, 𝑢 = 𝑢(𝑧, 𝑟). Nestes casos, a velocidade máxima e a velocidade média são função da posição 𝑧.
A fim de encontrar uma relação que determine o comprimento da região de entrada em escoamento com influxo radial, Hornbeck et al. (1963) mostraram que em escoamentos em regime laminar o desenvolvimento da região de escoamento desenvolvido depende do perfil de entrada e do tipo de influxo que ocorre na parede, se injeção ou sucção. O trabalho desenvolvido
por Hornbeck et al. (1963) apresenta, entre outros resultados, o perfil de velocidade ao longo do duto a partir de uma região de entrada com perfil parabólico e outra com perfil uniforme para diversos valores de influxo radial. A velocidade radial adimensional é dada por:
𝑣 = (𝑝 − 𝑝 ) (A.11)
onde 𝑟 é o raio do duto, 𝜌 e 𝜇 são a massa específica e a viscosidade do fluido, respectivamente, 𝑘 é a permeabilidade do material da parede do duto, ℎ é a espessura da parede e 𝑝 é a pressão externa ao duto. O termo entre colchetes é conhecido como a equação de Darcy, e, neste caso, descreve a velocidade do influxo radial que incide na parede do duto.
No caso em que a velocidade radial adimensional é constante e igual a vD = -5, o
comprimento de entrada é escrito em termos da velocidade adimensional, como:
( )
= 1,7578 (A.12)
Escrevendo a razão entre o perfil de velocidade e a velocidade média, expressas nas equações (A.1) e (A.5), respectivamente:
( )
= ( )( ) (A.13)
A Figura A.1 mostra o desvio dos casos do escoamento com injeção de fluido e o escoamento de Hagen-Poiseuille para diferentes valores de 𝑚. Portanto, podemos concluir que 𝑚 é função da vazão de injeção.
Figura A.1 – Desvio do perfil de velocidade de Hagen-Poiseuille, para os casos de injeção (adaptado de Ouyang, et al. 1997).
Escrevendo a equação (A.5) com 𝑚 = :
𝑈 = 0,53𝑢 (A.14)
Comparando a equação (A.13) com a solução exata do caso de escoamento laminar em duto circular sem transferência de massa, 𝑈 = 0,50𝑢 , pode-se assumir que para 𝑚 = , o perfil de velocidade da equação (A.1) descreve o escoamento de Hagen-Poiseuille.
Tabela 1 – Relação entre os valores de 𝑚, 𝑣 e ( ).
𝑚 = 1 2⁄ 𝑣 = 0 𝑢(𝑟) 𝑈 = 1,875 𝑚 = 0,44 𝑣 =5 𝑅 𝜇 𝜌 𝑢(𝑟) 𝑈 = 1,7578
ANEXO B – AS COMPONENTES DO GRADIENTE DE PRESSÃO
Ouyang et al. (1997) define três números adimensionais com o intuito de quantificar o efeito das quatro componentes do gradiente de pressão: aceleracional, direcional, friccional e gravitacional. São eles:
𝐺 = = . × ⁄ = (B.1) 𝐺 = = . × ⁄ = (B.2) 𝐺 = = = sin 2𝛾 (B.3)
Utilizando os números adimensionais, os autores reescreveram o gradiente de pressão, como:
= − [1 + 𝐺 (1 − 𝐺 ) + 𝐺 ] (B.4)
A vazão axial próxima ao dedão do poço, ou seja, em 𝑥 = 0, é menor quando comparada à vazão no calcanhar, em 𝑥 = 𝐿. A equação (B.1) apresenta a razão entre as componentes aceleracional e friccional e mostra que quanto mais próximo do dedão do poço, maior é o efeito aceleracional. Em contrapartida, quanto mais próximo do calcanhar, menor é o efeito aceleracional e o termo 𝐺 pode ser desprezado.
Admitindo influxo radial uniforme, ou seja, 𝑞 = 𝑞 ∆𝑧, podemos reescrever os adimensionais 𝐺 e 𝐺 , como:
𝐺 =
∆ (B.5)
𝐺 =
Escrevendo o número de Reynolds em termos do influxo radial:
𝑅𝑒(𝑧) = = ∆ (B.7)
O comprimento de entrada 𝐿 pode ser escrito em função do número de Reynolds na região de transição. Este valor é conhecido na literatura e é igual a 2300 em escoamentos internos. Portanto, o comprimento de entrada pode ser computado para determinar a posição em que o escoamento entra no regime turbulento e é dado por:
𝐿 = (B.8)
onde 𝜌 e 𝜇 são a massa específica e a viscosidade do fluido, respectivamente, 𝑑 é o diâmetro do duto, 𝑅𝑒 é o número de Reynolds na região de transição e 𝑞 é o influxo radial. Quando:
i. z ≤ 𝐿 o escoamento é laminar; ii. 𝑧 > 𝐿 o escoamento é turbulento.
Portanto, baseado na equação (B.8), quanto maior a vazão radial, menor será o comprimento da região laminar, assumindo que o diâmetro do duto é constante.
ANEXO C - CORRELAÇÃO DO FATOR DE ATRITO EM ESCOAMENTOS COM TRANSFERÊNCIA DE MASSA
Sabemos que a tensão de cisalhamento varia de forma diferente em cada regime. Na solução do escoamento laminar em duto circular sem transferência de massa, o fator de atrito de Darcy também conhecido como fator de atrito de Moody, pode ser computado, como:
𝑓 = (C.1)
Reescrevendo a equação (C.1) em função da tensão de cisalhamento na parede:
𝑓 = = (C.2)
Lembrando que:
𝑓 = (C.3)
onde 𝑓 é o fator de atrito de Fanning. Portanto, a equação (C.2) pode ser reescrita, como:
𝑓 = (C.4)
Conforme discutido no Capítulo 4, Ouyang et al. (1997) mostraram que em escoamento com injeção de fluido, o incremento da velocidade axial é maior nas proximidades da parede do que no centro do duto. Consequentemente, a tensão de cisalhamento na parede também é maior e as correlações de fator de atrito desenvolvidas para regime laminar não são mais adequadas para descrever o problema.
Diante disto, Ouyang et al. (1997) desenvolveram uma nova correlação para o fator de atrito para ambos os regimes, laminar e turbulento. Com base nos trabalhos de Kinney (1968) e Yuan et al. (1956), os autores desenvolveram uma nova correlação do fator de atrito para escoamento laminar com injeção de fluido, apresentada na equação (C.5):
onde 𝑅𝑒 é o número de Reynolds na parede e 𝑓 é o fator de atrito de Fanning, apresentado na equação (C.4). O número de Reynolds na parede depende apenas do influxo radial e é dado por:
𝑅𝑒 = (C.6)
Portanto, a nova correlação do fator de atrito para regime laminar é função de:
𝑓, = 𝑓, [𝑓 (𝑅𝑒 ), 𝑅𝑒 ] (C.7)
Para escoamento em regime turbulento, a nova correlação foi desenvolvida com base no trabalho de Olson et al. (1966), e é dada por:
𝑓, = 𝑓 1 − 29.03
.
(C.8)
onde 𝑓 pode ser qualquer correlação para escoamento em regime turbulento. No trabalho de Ouyang et al. (1997), 𝑓 foi escrito como a correlação de Colebrook e dado por:
𝑓 = −4.0 log
. +
, /
(C.9)
Portanto, a nova correlação do fator de atrito para regime turbulento é função de:
𝑓, = 𝑓 , 𝑓 , 𝑅𝑒 , 𝑅𝑒 , 𝑅𝑒 (C.10)
Reescrevendo o termo adimensional 𝐺 com base nas considerações apresentadas acima, em regime laminar:
𝐺 =
( ) (C.11)
onde 𝐺 é função do diâmetro do duto, das propriedades do fluido e do influxo radial. Em regime turbulento, 𝐺 é escrito, como:
𝐺 =
∆ , ( , ) (C.12)
onde 𝐺 é função da posição, do diâmetro e da rugosidade do duto, das propriedades do fluido e do influxo radial.