Trabalhos Futuros

Inicialmente, sugere-se uma complementação do estudo de análise apresentando a complexidade dos algoritmos abordados. Em seguida, a implementação e execução dos algoritmos, utilizando a minimização de mais de 2 objetivos, além de otimizar o código dos algoritmos já testados, como por exemplo, a segunda fase do algoritmo de Ramos et al. (1998), desenvolvido de forma recursiva pode ser melhorada usando uma versão iterativa. O desenvolvimento e teste do algoritmo de Sourd e Spanjaard (2008) em liguagem C++.

Além disso, outras experimentações podem ser feitas para obter mais informações sobre os algoritmos em questão, inclusive a utilização de outras ferramentas estatísticas para comparação dos algoritmos. Em relação aos algoritmos de Galand et al. (2009), pode-se utilizar outros parâmetros tais como, funções não utilidades convexas, capacidade côncava e coeficientes, para analisar o comportamento do algoritmo em relação à solução ótima encontrada e o desempenho do mesmo. Muitas pesquisas ainda podem surgir baseados no problema estudado neste trabalho e várias possibilidades de desenvolvimento de outros algoritmos, sejam exatos, híbridos ou heurísticos usando ideias de abordagens exatas.

Referências Bibliográficas

AGGARWAL, V.; ANEJA, Y.; NAIR, K. Minimal spanning tree subject to a side constraint. Computers & Operations Research. v.9, p. 287-296, 1982.

ARROYO, J. E. C.; VIEIRA, P. S.; VIANNA, D.S. A GRASP algorithm for the multi-criteria

minimum spanning tree problem. Annals of Operations Research. v. 159, p. 125-133, 2008.

BADER, D. A., CONG, G. Fast Shared-Memory Algorithms for Computing the Minimum

Spanning Forest of Sparse Graphs (Extended Abstract), Proceedings of the 18th International

Parallel and Distributed Processing Symposium (IPDPS’0ζ), Computer Society, 200ζ. BAZLAMAÇCI, C. F.; HINDI, K. S. Minimum-weight spanning tree algorithms: a survey

and empirical study. Computers and Operations Research, v. 28, p. 767-785, 2001.

BEZERRA, L. C. T.; GOLDBARG, E. F. G; GOLDBARG, M. C; BURIOL, L. S. GRACE: A

generational randomized ACO for the multi-objective shortest path problem. In:

TAKAHASHI, R. et al. (Ed.). Evolutionary Multi-criterion Optimization. [S.l.]: Springer, (Lecture Notes in Computer Science, v. 6576). p. 535-549, 2011.

BEZERRA, L. C. T. Uma colônia de formigas para o caminho mais curto multiobjetivo. Dissertação (Mestrado em Sistemas e Computação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.

CARDOSO, P., JESUS, M.; MÁRQUEZ, A. MONACO Applied to the Multiple Criteria

Minimum Spanning Trees Problem. Computing and Simulation Center CsC(TR), 2006.

CHEN, G; CHEN, S.; GUO, W.; CHEN, H. The multi-criteria minimum spanning tree

problem based genetic algorithm. Information Sciences, v. 177, n. 22, p. 5050-5063, 2007.

CHOQUET, G. Theory of capacities. Annales de l'Institut Fourier, v. 5, p. 131-295, 1953. CLIMACO, J. C. N.; MARTINS, E. A bicriterion shortest path algorithm. European Journal of Operational Research,v. 11, p.399–404, 1982.

CLIMACO, J. C. N.; PASCOAL, M. M. B. Multicritério path and tree problems: discussion

on exact algorithms and applications. International Transactions in Operational Research. p.

1-36, 2011.

DAS, B., LOUI, M. C. Reconstructing a Minimum Spanning Tree after Deletion of Any Node, Algorithmica, v. 31, p.530 – 547, 2001.

DAVIS-MORADKHAN, M.; BROWNE, W. N.; GRINDROD, P. Extending evolutionary

algorithms to discover tri-criterion and non-supported solutions for the minimum spanning

tree problem. In: GECCO '09 – Genetic and Evolutionary Computational Conference, 2009,

Montréal. Proceedings of the 11th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation (GECCO '09). ACM, New York, p. 1829-1830, 2009.

DAVIS-MORADKHAN, M. Multi-Criterion Optimization in Minimum Spanning Trees. Studia Informatica Universalis, v. 8, p. 185-208, 2010.

EHRGOTT, M.; GANDIBLEUX, X. A survey and annotated bibliography of multiobjective

combinatorial optimization. OR Spektrum, v. 22, p. 425-460, 2000.

EHRGOTT, M.; SKRIVER, A. J. V. Solving biobjective combinatorial max-ordering

problems by ranking methods and a two-phases approach. European Journal of Operational

Research, v. 147, p. 657–664, 2003.

GABOW, H, N. Two algorithms for generating weighted spanning trees in order. Siam Journal on Computing, v. 6, n. 1, p. 139-150, 1977.

GALAND, L., PERNY, P. and SPANJAARD, O. Choquet-based Optimisation in

Multiobjective Shortest Path and Spanning Tree Problem. European Journal of Operational

Research, v. 204, p. 303-315, 2009.

GAREY, M.R.; JOHNSON, D. S. Computers and intractability: a guide to the theory of NP- completeness. Freeman, New York, 1979.

GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória Programação Linear:

Modelos e Algoritmos. 2. Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005.

GUTIN, G.; PUNNEN, A. P (eds.). Traveling salesman problem and its variations. Kluwer Academic Publishers, 2002.

HAKAMI, S. L. Steiner’s problem in graphs and its implications. Networks. v. 1, p. 113-133,

1971.

HAMACHER, H. W.; RUHE, G. On spanning tree problems with multiple objectives. Annals of Operations Research, v. 52, p. 209-230, 1994.

JASZKIEWICZ, A. Genetic local search for multi-objective combinatorial optimization. European Journal of Operational Research, v. 137, p. 50-71, 2002.

JOHNSON, D. S. A Theoretician's Guide to the Experimental Analysis of Algorithms. In Proc. 5th and 6th DIMACS Implementation Challenges (M. Goldwasser, D. S. Johnson and C. C. MacGeoch, eds) AMS, Providence RI, p. 215-250, 2002.

JOTHI, R.; RAGHAVACHARI, B. Approximation algorithms for the capacitated minimum

spanning tree problem and its variants in network design. ACM Transactions on Algorithms,

v. 1, n. 2, p. 265-282, 2005.

KATOH, N.; IBRAKI, T.; MINE, H. An algorithm for finding k minimum spanning trees. SIAM Journal on Computing ,10(2),247–55, 1981.

KNOWLES, J. D.; CORNE, D. W. Approximating the nondominated front using the Pareto

KNOWLES, J.D.; CORNE, D.W. M-PAES: A memetic algorithm for multiobjective

optimization, Proceedings of the 2000 Congress on Evolutionary Computation. v.1, p. 325-

332, 2000b.

KNOWLES, J. D.; CORNE, D. W. A. Comparison of encodings and algorithms for

multiobjective spanning tree problems. Proceedings of the 2001 Congress on Evolutionary

Computation, CEC01, p. 544-551, 2001.

KNOWLES, J. D. Local-search and hybrid evolutionary algorithms for Pareto optimization. PhD Thesis. Department of Computer Science, University of Reading, Reading, UK, 2002. KNOWLES, J.; THIELE, L.; ZITZLER, E. A tutorial on the performance assessment of

stochastic multiobjective optimizers. Relatório TIK 214, Computer Engineering and Networks

Laboratory (TIK), ETH Zurich, fev. 2006.

KRUSKAL Jr, J. B. On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling salesman

problem. In: Proceedings of the American Mathematical Society, v. 7, n. 1, p. 48–50, 1956.

KUMAR, R., SINGH, P. K. and CHAKRABARTI, P. P. A Multiobjective EA Approach for

Improved Quality of Solutions for Spanning Tree Problem. Lecture Notes in Computer

Science 3410, p. 811 – 825, 2005.

LAND, A. H, DOIG, A. G. An automated method for solving discrete programming

problems. Econometrica, v. 28, p. 497-520, 1960. Disponível em:

<http://jmvidal.cse.sc.edu/library/land60a.pdf>. Acesso em: 15 jan. 2012.

LEE, H., PULAT, P.S. Bicriteria network flow problems: Integer case. European Journal of Operational Research v. 66, p.148–157, 1993.

LITTLE, J.D., MURTY, K.C., SWEENEY, D.W., KAREL, C. An algorithm for the travelling

salesman problem, Operations Research v. 11, p. 972-989, 1963. Disponível em:

<http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/46828/algorithmfortrav00litt.pdf?sequence=1 > Acesso em: 15 jan. 2012.

LUO, J.; ZHANG, X. New method for constructing phylogenetic tree based on 3D graphical

representation. ICBBE 2007 The 1st International Conference on Bioinformatics and

Biomedical Engineering, p. 318-321, 2007.

LUST, T.; TEGHEM, J. Two-phase Pareto local search for the biobjective traveling

salesman problem. J. Heuristics, v. 16, p. 475-510, 2010.

MONTEIRO, S. M. D.; GOLDBARG, E. F. G.; GOLDBARG, M. C. A new transgenetic

approach for the biobjective spanning tree problem. In: IEEE CEC 2010 Congress on

Evolutionary Computation, 2010, Barcelona. Proceedings of IEEE CEC 2010 Congress on Evolutionary Computation. Piscataway, IEEE, v. 1, p. 519-526, 2010.

MONTEIRO, S. M. D.; GOLDBARG, E. F. G.; GOLDBARG, M. C. A plasmid based

transgenetic algorithm for the biobjective minimum spanning tree problem. In: EVOCOP09 -

European Conference on Evolutionary Computation in Combinatorial Optimization, 2009, Tübingen. Lecture Notes in Computer Science. Heidelberg: Springer, v. 5482, p. 49-60, 2009.

MONTEIRO, S. M. D. Algoritmos transgenéticos aplicados ao problema da árvore geradora

biobjetivo, 2011, 145 f. Dissertação (Mestrado em Sistemas e Computação) - Universidade

Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.

MÜLLER-HANNEMANN, M.; WEIHE, K. On the cardinality of the Pareto set in bicriteria

shortest path problems. Annals of Operations Research, v. 147, p. 269–286, 2006.

NEUMAIER, A. Complete search in continuous global optimization and constraint

satisfaction. Acta Numerica, v. 13, p. 271-369, 2004.

PERNY, P.; SPANJAARD, O. A preference-based approach to spanning trees and shortest

paths problems. European Journal of Operational Research. v. 162, p. 584-601, 2005.

PETTIE, S., RAMACHANDRAN, V. An Optimal Minimum Spanning Tree Algorithm, Journal of the ACM, v. 49, n.1, p. 16-34, 2002

PRIM, R. C. Shortest connection networks and some generalizations. Bell System Technical Journal, v. 36, p. 1389-1401, 1957.

PRZYBYLSKI, A.; GANDIBLEUX, X.; EHRGOTT, M. Two-phase algorithms for the bi-

objective assignment problem. European Journal of Operational Research 2008; v.185, n.2,

p.509–533, 2008.

RAIDL, G. R. An efficient evolutionary algorithm for the degree-constrained minimum

spanning tree problem. Proceedings of the 2000 Congress on Evolutionary Computation,

CEC, 2000. IEEE Press, p. 104-111, 2000.

RAIDL, G. R.; JULSTROM, B. A. Edge sets: an effective evolutionary coding of spanning

trees. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, v. 7, n. 3, p. 225-239, 2003.

RAITH, A.; EHRGOTT, M. A comparison of solution strategies for biobjective shortest path

problems. Computers & Operations Research. v. 36, p. 1299-1331, 2009.

RAMOS, R. M.; ALONSO, S.; SICÍLIA, J.; GONZÁLEZ, C. The problem of the optimal

biobjective spanning tree. European Journal of Operational Research. v. 111, p. 617-628,

1998.

ROCHA, D. A. M., GOLDBARG, E. F. G., GOLDBARG, M. C. A memetic algorithm for the

biobjective minimum spanning tree problem. In: 6th European Conference on Evolutionary

Computation in Combinatorial Optimization, 2006. Budapeste, Lecture Notes in Computer Science, v. 3906. Heidelberg, Springer Berlin, p. 222-233, 2006.

ROCHA, D. A. M.; GOLDBARG, E. F. G.; GOLDBARG, M. C. A new evolutionary

algorithm for the bi-objective minimum spanning tree. In: ISDA'07 Seventh International

Conference on Intelligent Systems Design and Applications, 2007, Rio de Janeiro. Proceedings of ISDA'07. Danvers: IEEE Computer Society. v. 1, p. 735-740, 2007. RUZIKA, S., HAMACHER, H.W. A survey on multiple objective minimum spanning tree

problems. In Lerner, J.,Wagner, D., Zweig, K. (eds) Algorithmics of Large and Complex

SERAFINI, P. Some considerations about computational complexity for multi objective

combinatorial problems. In: Jahn J,Krabs W (eds) Recent advances and historical

development of vector optimization,v ol 294. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer,Berlin Heidelberg New York, 1996.

SÖRENSEN, K.; JANSSENS, G. An algorithm to generate all spanning trees of a graph in

order of increasing cost. Pesquisa Operacional, v. 25, n. 2, p. 219-229, 2005.

SOURD, F.; SPANJAARD, O. A multiobjective branch-and-bound: application to the

biobjective spanning tree problem. INFORMS Journal on Computing, v. 20, p. 472-484,

2008.

SOUZA, G. R. de. Uma abordagem por nuvem de partículas para problemas de otimização

combinatória. 2006. 90 f. Dissertação (Mestrado em Sistemas e Computação) - Universidade

Federal do Rio Grande do Norte, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, 2006.

STEINER, S.; RADZIK, T. Solving the biobjective minimum spanning tree problem using a

k-best algorithm. Relatório Técnico TR-03-06, Department of Computer Science, King’s

College London, 2003.

ULUNGU, E., TEGHEM, J. The two-phases method: An efficient procedure to solve

biobjective combinatorial optimization problems. Foundations of Computing and Decision

Sciences v. 20, p. 149–165, 1995.

VIANNA, D. S.; ARROYO, J. E. C.; VIEIRA, P. S.; AZEREDO, T. R. Parallel strategies for

a multi-criteria GRASP algorithm. Produção, v. 17, p. 84-93, 2007.

ZHOU G.; GEN, M. Genetic algorithm approach on multi-criteria minimum spanning tree

problem. European Journal of Operational Research. v. 114, p. 141-152, 1999.

ZITZLER, E.; THIELE, L.; LAUMANNS, M.; FONSECA, C. M.; FONSECA, V. G.

Performance Assessment of Multiobjective Optimizers: An Analysis and Review. IEEE

ANEXO A – Definições e Axioma da independência

Este texto foi retirado do artigo de Perny e Spanjaard (2003)

Definição 1: De qualquer relação binária em um conjunto E, as partes assimétrica e simétrica de são respectivamente definidas em E por:

 e, e’ E, (e  e’)  ((e e’) e (e’ e))  e, e’ E, (e ~ e’)  ((e e’) e (e´ e))

Definição 2: Para qualquer relação definida em um conjunto E, o conjunto de elementos maximais é definido por:

M(E, )={e E |  e’  E, ~(e’  e)}

Além disso, para qualquer X  E, o conjunto M(X, ) é denominado conjunto de elementos maximais em X. No entanto, M(X, ) não deve ser confundido com M(E, )  X. A relação representa uma relação de preferência fraca e, portanto,  está associada a relação de preferência estrita. A proposição e e’ significa que e é no mínimo tão boa quanto

e’, enquanto que e  e’ significa que e é estritamente preferida a e’. Em tal contexto, para qualquer X  E, os elementos de M(X, ) são ditos ser -eficiente em X.

Definição 3: A relação definida em um conjunto T é dita ser: - reflexiva, se _{e E, e e}

- completa se e, e_{’ E, e e’ ou e’ e}

- antissimétrica se e, e_{’ E, ((e e’) e (e’ e))  (e = e’)} - transitiva se e, e_{’, e” E, ((e e’) e (e’ e”))  (e e”)} - quase-transitiva se  é transitiva

Definição 4:

- Uma ordem parcial é uma relação binária reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Definição 5: Seja G = (V,  ) um grafo representando uma ordem parcial  . Chamamos aqui classificação topológica de G qualquer ordem completa estrita ’ em V tal que  ’  .

O axioma de independência é uma versão fraca da aditividade qualitativa de Finetti (1974, apud PERNY; SPANJAARD, 2003) e pode também ser visto como uma equivalência qualitativa da propriedade de monotonicidade.

Axioma da Independência: ), ( , ,B C P E A   tal que C(AB),(ABACBC)

A condição de independência é naturalmente satisfeita em vários problemas clássicos. Observe os dois exemplos de relações de preferência usuais obviamente satisfazendo o axioma da independência.

Exemplo 1: Supondo que v é uma avaliação em E, o axioma da independência assegura a relação de preferência aditiva numérica definida por:

A B



_ 



_

B e A

e v(e) v(e)

Este exemplo mostra que, na estrutura clássica, escolhemos implicitamente uma relação de preferência que satisfaz o axioma de independência. Agora, no contexto de otimização multicritério onde a qualidade de cada elemento e  E é definido por vetores de avaliação

)) ( ),..., (

(v₁ e v_q e , temos o seguinte resultado:

Exemplo 2: Em problemas multicritérios, o axioma da independência assegura as relações de preferência lexicográficas definidas como a seguir:









           B e j A e j B e k A e k e v e v k j e v e v q k B A {1,..., }, ( ) ( ), , ( ) ( )

O mesmo resultado mantém-se para a relação de dominância.

A importância do axioma da independência em problemas -ST é estabelecida pelo seguinte resultado que generaliza um resultado de Serafini (1996):

Teorema 15: Se é quase-transitiva e satisfaz o axioma da independência, para qualquer árvore geradora -eficiente T, então existe uma classificação topológica do grafo de preferência em E para o qual o algoritmo de Kruskal fornece T.

ANEXO B – Integral de Choquet

Este texto foi retirado do artigo de Galand et al. (2009)

Definição 1: Uma capacidade é uma função de conjuntos _v:2N [0,1] _{tal que v()0,} 1

) (N 

v e_A,B2N_{,ABv(A)v(B).}

Para algum subconjunto A  N, Av( )representa a importância da coalizãoA. A integral de Choquet de um vetor _{x N}n _{com respectiva capacidade v é definida por:}

) ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( )] ( [ ) ( n _i i i i v x v X v X x C



    (1) ) ( ] [ ₍₎ 1 ) 1 ( ) ( i n i i i x v X x



    (2)

onde (.) representa uma permutação em {1,...,n} tal que 0 x₍₀₎  x₍₁₎...x_(n),

)} ( ),..., 1 ( ), {( } , { ₍₎ ) ( j N x x i i n

X_i   _j  _i   para i n e X_{(n )1} . Note que X_(n1) X_(i), daí v(X_(n1))v(X_(i))para todo i . A integral de Choquet generaliza a noção clássica da média com a seguinte interpretação baseada na equação (2): para um dado vetorx (x₁,...,x_n), o custo é maior ou igual a x₍₁₎ em todos os critérios pertencentes a X₍₁₎, o qual representa um peso de v(X₍₁₎)1, então o custo é maior ou igual a x₍₂₎ em todos os critérios pertencentes a X₍₂₎ que representa um incremento x ₍₂₎ x₍₁₎ com peso v(X₍₂₎). Aplicar o mesmo de x para ₍₂₎ x em todos os critérios pertencentes a ₍₃₎ X cujos pesos são ₍₃₎

) (X₍₂₎

v , e assim por diante... A integral total é obtida conseqüentemente pela agregação dos incrementos marginais x_(i)x_(i1) ponderados por v(X_(i)).

Na teoria da decisão, a integral de Choquet é usada freqüentemente em problemas de maximização sob a forma C_v(u(x₁),...,u(x_n)) onde u é uma função utilitária definida como

um ganho, a ser maximizado (GALAND et al., 2009). No contexto de minimização, onde os custos substituem os ganhos, os critérios são reformulados usando uma função não utilitária para ser minimizada. Suponha que os custos são inteiros pertencentes a [1,M] onde M é um inteiro positivo, pode-se usar uma função estritamente crescente _{w:[0,M] R}_{tal que}

) (x

w para representar a função não-utilitária de custo de x . O modelo Choquet Expected

)) ( ),..., ( ( ) ( _{v 1 n} w v x C w x w x  (3) tomando w v

 não-decrescente, então existe sempre um vetor de custo x minimizando

) (x

w v

 no conjunto de Pareto .

Chateauneuf e Tallon (2002) mostram que, dentro da teoria da utilidade esperada de Choquet, o axioma da “preferência por diversificação” obriga o tomador de decisão a escolher soluções de compromisso. Galand et al. (2009) reformulou o axioma e denominou de preferência por pontos interiores, como definido abaixo:

Axioma da preferência por pontos interiores: A relação de preferência definida no vetor de custo em _Nn _{satisfaz a preferência por pontos interiores se, para qualquer x¹,...,x}n_Nn_{, e}

para todo₁,...,_p 0tal que



_ip_{1 1} 1 , tem-se:

i p i i p _x x x x¹~ ²~...~ ]



_1 [  xk_,k _1,...,p (4)

onde ~ é a parte simétrica de (relação de indiferença).

Este axioma diz que qualquer vetor de custo compromisso obtido por uma combinação convexa de vetores de custos indiferentes p melhora esses vetores. Além disso, o axioma é equivalente a escolher uma capacidade convexa v e uma utilidade côncava u , a convexidade e concavidade de uma capacidade são classicamente definidas a seguir:

Definição 2: Uma capacidade v é dita convexa (ou supermodular) quando ) ( ) ( ) ( ) (A B v A B v A v B

v      para todo A,B N e é dita côncava (ou submodular) quando v(AB)v(AB)v(A)v(B) para todo A,B N.

Segundo Galand et al. (2009), no caso de minimização de custos é preciso usar o modelo CED com uma capacidade côncava v e uma não-utilidade convexa w para exibir a

preferência por pontos interiores. Além disso, para qualquer capacidade v , pode-se associar

uma capacidade dual v definida por v(A)1v(N \A)para todoA N. Quando v é côncava v é convexa e vice-versa. Observe que v sendo côncava tem-se v(A)v(N\A)1, daí v(A)v(A).

Definição 3: O núcleo de uma capacidade v é definida por:

)} ( ) ( ) ( : { ) (v v A A v A core    

(a) algoritmo RA com instâncias do BIG1 (b) algoritmo SS com instâncias do BIG1 (c) algoritmo SR com instâncias do BIG1

(d) algoritmos RA, SS e SR com instâncias concave (e) algoritmos RA, SS e SR com instâncias correlated (f) algoritmos RA, SS e SR com instâncias anticorr

Box Plot of RA grouped by Inst Spreadsheet1 4v*72c Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes

Conc Corr Anti

Inst -50000 0 50000 1E5 1,5E5 2E5 2,5E5 3E5 3,5E5 RA

Box Plot of SS grouped by Inst Spreadsheet1 4v*72c Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes

Conc Corr Anti

Inst 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 SS

Box Plot of SR grouped by Inst Spreadsheet1 4v*72c Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes

Conc Corr Anti

Inst -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 SR

Box Plot of Conc grouped by Tipo Spreadsheet2 4v*39c Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes RA SS SR Tipo -20 0 20 40 60 80 100 120 140 C o n c

Box Plot of Corr grouped by Tipo Spreadsheet2 4v*39c Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes RA SS SR Tipo -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 C o rr

Box Plot of Anticorr grouped by Tipo Spreadsheet2 4v*39c Median 25%-75% Non-Outlier Range Outliers Extremes RA SS SR Tipo -50000 0 50000 1E5 1,5E5 2E5 2,5E5 3E5 3,5E5 A n ti co rr

(h) Bloxpot da mediana de tempo dos algoritmos GR e GC para instâncias BIG1

Median; Box: 25%-75%; Whisker: Non-Outlier Rang

K1 K2 K3 PR Outliers Extremes T ipo 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010

Box Plot of multiple variables grouped by T Spreadsheet4 3v*51c

Median; Box: 25%-75%; Whisker: Non-Outlier Rang

GR GC Outliers Extremes T ipo -50 0 50 100 150 200 250 300 350 400

No documento Uma análise experimental de algoritmos exatos aplicados ao problema da árvore geradora multiobjetivo (páginas 74-85)