6. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
6.9 FORM/SORM
6.9.1 Métodos de transformação
6.9.1.1 Transformação composta utilizando o modelo de Nataf
Esta transformação recebe o nome de composta, pois envolve as seguintes etapas:
1. Uma transformação das distribuições marginais originais em distribuições normais equivalentes (princípio da aproximação normal);
2. Determinação de coeficientes de correlação equivalentes para as distribuições marginais normais (modelo de Nataf);
3. Eliminação da correlação através de decomposição ortogonal ou de fatoração de Cholesky da matriz de correlação.
6.9.1.1.1 O princípio da aproximação normal
O princípio da aproximação normal (DITLEVSEN, 1981) consiste em determinar, para um ponto ∗ uma distribuição normal equivalente que preserve o conteúdo de probabilidades da distribuição original ∗ neste ponto. Como a distribuição normal equivalente está definida no espaço , escreve-se:
∗ ∗ (6.20)
A distribuição normal equivalente possui dois parâmetros que são a média e o desvio padrão . Portanto, para determinar os dois parâmetros da distribuição normal equivalente é necessária uma segunda equação. O critério para estabelecer esta segunda equação é arbitrário, mas uma condição natural é:
∗ ∗ (6.21)
Utilizando a transformação de Hasofer e Lind, obtemos um conjunto de variáveis , , . . , com distribuições marginais normais padrão, mas com uma possível correlação entre elas:
∗
∗
(6.22)
Escrevendo as equações (6.20) e (6.21) em termos de ∗ obtém-se:
∗ Φ
∗
Φ ∗ (6.23)
e:
∗ 1
√2 exp 1 2
∗ ϕ ∗
(6.24)
Utilizando a Equação (6.23) pode-se calcular ∗:
∗ Φ ∗ (6.25)
Da Equação (6.24) obtém-se uma expressão para o desvio padrão da distribuição normal equivalente:
ϕ ∗
∗ (6.26)
e, finalmente, da Equação (6.22) obtém-se uma expressão para a média da distribuição normal equivalente:
∗ ∗ (6.27)
O procedimento de aproximar a cauda da distribuição original pela cauda de uma distribuição normal equivalente é conhecido na literatura como princípio da aproximação normal – Principle of normal tail approximation (DITLEVSEN, 1981). A transformação deve ser refeita à medida que o algoritmo pela busca do ponto de projeto avança e o ponto ∗ muda.
A transformação de → também pode ser escrita na forma matricial, a partir de um vetor de médias e de uma matriz diagonal de desvios padrão , contendo os parâmetros das distribuições normais equivalentes:
, , … , (6.28)
0 … 0
0 … 0
… … … …
0 0 …
(6.29)
A inversa da matriz de desvios padrão pode ser escrita facilmente como:
1 0 … 0
0 1
… 0
… … … …
0 0 … 1
(6.30)
Introduzindo ainda as matrizes Jacobianas:
(6.31)
As transformações de → e de → resultam:
⋅
⋅ (6.32)
6.9.1.1.2 Modelo de Nataf
O princípio da aproximação normal permite obter um conjunto de variáveis aleatórias com distribuição marginal normal padrão, através da Equação (6.25). A correlação entre pares de variáveis aleatórias, quando existir, deve ser imposta na distribuição conjunta . Seja uma matriz de correlação equivalente a ser determinada. A distribuição é uma distribuição normal padrão multi-variada:
ϕ , (6.33)
O modelo de Nataf (NATAF, 1962 apud BECK, 2014) consiste em construir uma aproximação para a função conjunta de densidade de probabilidades a partir da distribuição normal padrão multi-variada com matriz de correlação :
ϕ , …
… (6.34)
Para duas variáveis o modelo de Nataf reduz-se a:
, ϕ , , (6.35)
Assim, a Equação (6.35) pode ser utilizada para “construir” a função conjunta de densidade de probabilidades a partir das distribuições marginais e do coeficiente de correlação . O coeficiente de correlação impõe uma tendência de comportamento conjunto através da distribuição normal bivariada.
O problema de confiabilidade a ser resolvido envolve a construção de um modelo de distribuição conjunta das variáveis aleatórias, mas também envolve encontrar uma transformação desta para o espaço normal padrão. Para encontrar esta transformação, considere duas variáveis e não-normais com coeficiente de correlação . Se o coeficiente de correlação entre e impõe uma certa tendência na distribuição conjunta , , trata-se de encontrar um coeficiente de correlação equivalente que imponha a mesma tendência na distribuição conjunta , . Utilizando a definição da covariância, o coeficiente de correlação é dado por:
, (6.36)
Utilizando o modelo de Nataf (Equação (6.35)), esta expressão se reduz a:
, ,
, ,
(6.37)
A Equação (6.37) permite calcular em função do conhecido, de forma a construir-se a matriz de correlação equivalente. O modelo de Nataf e a Equação (6.37) são válidos quando:
1. O mapeamento na Equação (6.25) é unívoco (um-para-um), o que é verdade se é contínua e estritamente crescente;
2. O valor de estiver compreendido entre -1 e +1.
Como a diferença entre e é pequena, a segunda condição é satisfeita em quase todas as situações de interesse prático.
A avaliação do coeficiente através da Equação (6.37) é feita de maneira iterativa, arbitrando-se valores tentativa para e avaliando , até atingir o valor de especificado. Este procedimento iterativo pode ser evitado através do uso de fórmulas analíticas aproximadas que fornecem uma relação entre os coeficientes de correlação para várias combinações de distribuições de probabilidades. Entretanto, pode-se aproximar por , visto que muitas vezes o coeficiente entre duas variáveis de projeto é determinado de forma subjetiva.
6.9.1.1.3 Eliminação da correlação entre pares de variáveis aleatórias
Após a transformação das distribuições marginais originais em distribuições normais equivalentes (com correlação) e determinação de coeficientes de correlação equivalentes para estas distribuições normais equivalentes, é necessário eliminar a correlação entre as variáveis. O intuito de se eliminar tal correlação é o de aproveitar as propriedades de simetria da distribuição normal multi-variada sem correlação entre suas variáveis.
Essa eliminação pode, essencialmente, ser feita de duas formas: pela decomposição espectral ou pela decomposição de Cholesky da matriz de correlação. Esses dois tipos de eliminação são equivalentes e levam ao mesmo resultado, ainda que por caminhos ligeiramente diferentes. Neste trabalho utiliza-se a decomposição de Cholesky, que é explicada a seguir.
6.9.1.1.4 Decomposição de Cholesky da matriz de correlação
A vantagem da decomposição de Cholesky com relação à decomposição espectral é que para matrizes de correlação não cheias (caso típico de confiabilidade estrutural) o custo computacional é menor.
Buscamos uma transformação linear ⋅ que produza um conjunto de variáveis independentes e com variância unitária. A matriz de covariância em é dada por:
, ⋅ , ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ (6.38)
Buscamos, portanto, uma matriz de transformação agindo em que gere uma matriz de correlação entre variáveis independentes e com variância unitária . Em outras palavras, buscamos uma matriz de transformação agindo em que gere uma matriz identidade. Assim:
⋅ ⋅ (6.39)
Pré-multiplicando a Equação (6.39) por e pós-multiplicando por , obtemos:
⋅ 1⋅
1⋅ ⋅ 1
1⋅ 1
(6.40)
Usando a relação e denotando , temos:
T 1 1 T
1 (6.41)
Substituindo na Equação (6.40) chegamos a:
1⋅ 1 ⋅ (6.42)
Esta é exatamente a forma da decomposição de Cholesky. Utilizando esta transformação, as matrizes jacobianas ficam:
(6.43)
e as transformações de → e inversa são:
⋅
⋅ (6.44)
6.9.1.1.5 Transformação resultante
Até agora, foram obtidas relações que permitem o mapeamento de um conjunto de variáveis aleatórias do espaço para o espaço e do espaço para o espaço . O intuito agora
é obter uma transformação do espaço para o espaço diretamente. Para obter essa transformação basta utilizar a regra da cadeia. Utilizando as matrizes jacobianas, temos:
⋅
⋅
(6.45)
Utilizando a decomposição de Cholesky, temos:
⋅ ⋅
⋅ ⋅ (6.46)
A transformação resultante é:
⋅
⋅ (6.47)
Uma observação importante é que a matriz de correlação entre os pares de variáveis aleatórias no espaço normal padrão correlacionado e as matrizes jacobianas e só precisam ser calculadas uma vez, no início do processo iterativo. Já as matrizes , , , e devem ser atualizadas de maneira iterativa.
6.9.2 FORM
O método de confiabilidade de primeira ordem ou FORM fornece uma estimativa da probabilidade de falha da estrutura através da linearização da função de estado limite no ponto de projeto no espaço normal padrão, conforme ilustra a Figura 6.7. A linearização se faz através de um hiperplano tangente à superfície de falha no ponto de projeto. A aproximação FORM é suficientemente precisa para os casos em que a curvatura da superfície de falha é pequena e a probabilidade de falha tem um valor pequeno (LEONEL, 2009).
Figura 6.7 - Aproximação de primeira ordem (FORM) Fonte: Beck, 2014: Adaptado
O método de primeira ordem não fornece estimativas para o erro cometido com a linearização da equação de estado limite. Entretanto sabe-se que o erro nesse tipo de aproximação depende do grau de não linearidade da equação de estado limite no ponto de projeto, bem como da concavidade da superfície de falha, ou seja, para superfícies côncavas, a aproximação é a favor da segurança, ao passo que para superfícies convexas, o FORM resulta contra a segurança. Isso pode ser visualizado na Figura 6.8.
Figura 6.8 - Erros devidos a aproximação de primeira ordem (FORM) conforme o tipo de concavidade Fonte: O autor
A área hachurada na Figura 6.8 corresponde ao conteúdo de probabilidade incorretamente considerado ou desconsiderado (conforme for o caso) e, portanto, corresponde ao erro da aproximação. Ao se interpretar esta figura, deve-se lembrar de que o maior conteúdo de probabilidades no domínio de falha está nas proximidades do ponto de projeto. Ressalta-se ainda que a aproximação de primeira ordem é assintótica, isto é, ela melhora a medida que aumenta (SCHUELLER e STIX, 1987 apud BECK, 2014).