De acordo com o apresentado na Seção 2.5, a maioria dos espaços de cor utilizados para detecção de pele é definida em um espaço tridimen- sional. Com o objetivo de diminuição do custo computacional e melho- rar a tratabilidade do modelo matemático para detecção de pele, se faz necessária a redução de dimensionalidade. Esta etapa irá diminuir a complexidade dos modelos estatísticos utilizados nesse trabalho pois, com o aumento da quantidade de dados, esses modelos se tornam mais complexos e computacionalmente mais caros. Algumas propostas de redução de dimensionalidade envolvem apenas a transformação entre espaços de cor e o descarte da componente de luminância. Essa abor- dagem nem sempre produz resultados bons (uma discussão mais ampla é encontrada em Hsu et al. 2002); por este motivo, avaliamos também a transformação de componentes principais.
A transformação de componentes principais apresentada nesse tra- balho, será tratada através da linguagem de processamento de imagens, apesar desta técnica poder ser aplicada a qualquer informação numé-
2.6. TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES PRINCIPAIS 36
rica multidimensional.
Os canais de uma imagem multiespectral são freqüentemente alta- mente correlacionados, de modo que as bandas sejam similares tanto visual quanto numericamente, caracterizando a redundância espectral. A análise de imagens por suas bandas espectrais individuais pode ser ineficiente devido a esta redundância.
A transformação de componentes principais é uma técnica de realce que procura reduzir a redundância espectral. Isto é feito pela geração de uma nova imagen cujas bandas individuais apresentam informações não disponíveis em outras bandas (ver Richards & Xiuping 1999, INPE 2006).
No que segue será apresentada esta transformação dando ênfase à aplicação visada neste trabalho, isto é, imagens pictóricas compostas por três bandas. Convem notar, no entanto, que esta transformação pode ser aplicada a imagens com qualquer número de bandas acima de dois.
Esta transformação é derivada da matriz de covariância entre as ban- das e gera um novo conjunto de imagens, de modo que cada valor de
pixel é uma combinação linear dos valores originais. O número de com-
ponentes principais é igual ao número de bandas espectrais da imagem original e podem ordenar-se pela da variância de cada componente de cor; assim, a primeira componente principal pode ter a maior variância e a última a menor variância.
A análise de componentes principais é uma técnica estatística po- derosa que pode ser utilizada para redução do número de variáveis e para fornecer uma visão estatisticamente privilegiada do conjunto de dados. Dessa forma, a técnica que iremos apresentar será útil tanto para redução de dimensionalidade, onde o espaço 3D (geralmente RGB) de uma imagem pode ser reduzido para 2D, desprezando a componente principal com menor variância (componente que carrega menos infor- mação), como também podemos utilizá-la para escolha do conjunto de características mais relevantes extraídas das imagens com a finalidade de obter uma boa classificação.
A Figura 2.13 ilustra uma transformação de componentes princi- pais em duas dimensões que corresponde à rotação do eixo original para coincidir com os eixos de máxima e mínima variância dos dados. Nesta figura temos que Cp1 corresponde à primeira componente prin-
cipal (a que tem a maior variância) e que Cp2 corresponde à segunda
componente principal (a que tem a menor variância) e que “Canal 1” e “Canal 2” correspondem aos dados originais. Os eixos pontilhados cor- respondem as direções para onde apontam os autovetores da matriz de covariância dos dados originais.
A transformação de componentes principais pode ser descrita nas seguintes etapas:
1. Calcular Σ, a matriz de covariância dos dados (suponhamos que ela seja positiva definida).
2. Decompor Σ nos autovetores U e autovalores λ.
3. Calcular a nova imagem pixel a pixel; multiplicando o valor de cada
pixel pela matriz dos autovetores.
Os autovalores representam o comprimento dos eixos das compo- nentes principais de uma imagem e são medidos na unidade da vari- ância. Associado a cada autovalor, existe um vetor de módulo unitário chamado autovetor. Os elementos de cada autovetor são fatores de pon- deração que definem a contribuição de cada banda original para uma componente principal, numa combinação linear (INPE 2006). Os auto- vetores representam as direções dos eixos das componentes principais. A formalização matemática do processo supracitado pode ser vista da seguinte maneira: a transformação de componentes principais da imagem f : S → Rpconsiste em calcular a imagem g : S → Rponde g(s) =
(g1(s), . . . , gp(s)) e para todo s ∈ S temos que
gi(s) =
X
1≤j≤p
2.6. TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES PRINCIPAIS 38
Cp2
Cp1
Canal 1
Canal 2
Figura 2.13: Transformação de Componentes Principais (2D)
onde para cada 1 ≤ i ≤ p, αi= (αi,1, . . . , αi,p) é o autovetor i da matriz de
covariância da imagem f.
Desta maneira, a transformação de componentes principais de uma imagem de p bandas gera uma nova imagem de p bandas definida so- bre o mesmo suporte. A transformação se realiza sobre o espaço de atributos.
Veremos a seguir, na Figura 2.14, um exemplo de aplicação da trans- formação de componentes principais, aplicada a uma imagem pictórica. As Figuras 2.14(a), 2.14(b) e 2.14(c) mostram as componentes R, G e B da imagem original, enquanto as Figuras 2.14(d), 2.14(e) e 2.14(f) mos- tram as três componentes principais derivadas, em ordem decrescente de variância.
É interessante notar como a informação nos dados originais está es- palhada entre as três bandas. Já nos dados transformados ela está mais concentrada na primeira banda e muito mais ausente na terceira. Há, de fato, uma redistribuição da informação; é notável como na primeira componente há informação do céu (nuvens pouco visíveis na banda R, mas aparentes na banda G) e mais variabilidade nos tons de pele (que aparece mais escura e menos constrastada na banda G).
. T R A N S F O R M A Ç Ã O D E C O M P O N E N T E S P R IN C IP A IS 3 9
(a) Banda R, original (b) Banda G, original (c) Banda B, original
(d) Primeira componente (e) Segunda componente (f) Terceira componente