Transformada wavelet discreta de sobreposição máxima

A transformada wavelet discreta de sobreposição máxima MODWT é uma versão do algoritmo de decomposição tradicional, com a diferença de que não realiza a subamostragem. Por essa razão, a transformada torna-se redundante, possuindo informações de mesmo significado, mas dando uma maior resolução aos coeficientes e permitindo fazer uma relação direta entre o sinal e o coeficiente calculado. A equação que define essa transformação é a mesma da transformada wavelet discreta tradicional, ou seja, a equação de convolução periódica, como mostrada abaixo:

D(j) =

L−1

X

l=0

h(l)X(t − lmodN ), (2.73)

A MODWT (maximum overlaped discrete wavelet transform), assim como a TWD, divide um sinal em bandas de frequência, de modo que os níveis mais baixos de decomposi- ção apresentam os coeficientes de maior frequência; e os níveis mais altos de decomposição, os componentes de menor frequência. A Tabela 1 aplicada para a TWD pode ser aplicada da mesma maneira para a MODWT.

2.1.6.1 Filtros de decomposição MODWT

Os filtros de decomposição MOTWD são gerados do mesmo modo que os filtros da TWD tradicional, ou seja, convoluindo versões sobreamostradas dos filtros. Entretanto, eles possuem algumas propriedades diferentes devido ao fato de que não há subamostragem no processo de decomposição. As propriedades dos filtros de decomposição MODWT são mostradas abaixo:

L−1

X

l=0

h(l) = 0, (2.74)

significando média zero, que é equivalente à equação (2.18) para um comprimento finito. L−1

X

l=0

h(l)2 = 1/2, (2.75)

significando energia igual a meio, que é equivalente à equação (2.19) para um comprimento finito e, por fim,

L−1 X l=0 h(l) ∗ h(l + 2n) = ∞ X l=−∞ h(l) ∗ h(l + 2n) = 0, (2.76)

significando que o filtro precisa ser ortogonal aos deslocamentos pares, ou seja, o produto interno entre os deslocamentos pares do filtro deve ser zero. As equações (2.74) e (2.76) são as mesmas equações que (2.58) e (2.60); porém a equação (2.75) é diferente, uma vez que a MODWT apresenta como resultado o dobro de coeficientes da TWD, e a energia do filtro é dada pela metade, de forma a manter a ortonormalidade. O comprimento dos filtros é dado pela Equação 2.77.

Lj = (2j− 1)(L − 1) + 1 (2.77)

Como exemplo de filtros MODWT, os filtros wavelet e escala de Haar para a primeira escala podem ser visualizados na Figura 8.

-1 -0.5 0 0.5 1 Filtro Wavelet 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1 -0.5 0 0.5 1 Filtro Escala 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 8 – Filtros de decomposição de Haar

Diferentemente do caso da TWD, onde o numerador dos coeficientes dos filtros é √

2; para a MODWT, o numerador é 2. Assim, a condição imposta pela equação (2.75) é mantida. A equação utilizada para gerar o filtro wavelet e o filtro escala de cada nível, no domínio da frequência, é mostrada nas Equação 2.78 e Equação 2.79.

Hj(f ) = H(2j−1f ) j−2 Y l=0 G(2lf ) (2.78) Gj(f ) = j−1 Y l=0 G(2lf ), (2.79)

que representa a convolução entre tais filtros no domínio do tempo discreto ou das amostras. Para entender mais claramente esse assunto, considere a Figura 7. Ela representa o algoritmo piramidal para decomposição wavelet tradicional, mostrada na seção anterior. Como é

possível perceber, o mesmo algoritmo realiza a filtragem e, depois, uma subamostragem por 2. Analisando esses pontos, pode-se refazer o algoritmo de trás para frente, a partir da segunda escala, para então clarear o processo. Como o sinal não é subamostrado na MODWT, deve-se sobreamostrar o filtro H, pois isso corresponde ao mesmo processo. Após sobreamostrar esse filtro, deve-se convoluir com o filtro escala do nível anterior, de modo a obter a mesma resposta em frequência gerada pelo processo completo. Assim, o método torna-se a convolução entre o filtro G na primeira escala com o filtro H sobreamostrado para a segunda escala, ou seja, j = 2, que corresponde ao filtro H com um zero adicionado

entre suas amostras. Sobreamostrar um filtro corresponde a inserir 2j−1_{− 1 zeros entre suas}

amostras. Assim sendo, o filtro de Haar da forma [−0, 5 0, 5] sobreamostrado de "1", pois ele possui j = 2 relativo à segunda escala, corresponderá a [−0, 5 0 0.5], convoluído com o filtro escala de [0, 5 0, 5], resultando em um filtro equivalente h = [−0, 25 −0, 25 0, 25 0, 25], que possui a resposta em frequência mostrada na Figura 9.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Normalized Frequency ( rad/sample)

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 Phase (degrees) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Normalized Frequency ( rad/sample)

-100 -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB)

Figura 9 – Resposta em frequência do filtro equivalente de Haar para a segunda escala

Após encontrar o filtro necessário para a decomposição até o nível de interesse, basta convoluir o sinal com o filtro através da convolução circular. A Tabela 2 resume esse processo. O subíndice s significa sobreamostrado, e a expressão conv(A, B, C...) significa a convolução entre os termos dentro dos parênteses.

Tabela 2 – Geração dos filtros de decomposição direta

Nível Filtro G sobreamostrado Filtro H sobreamostrado Filtro G direto Filtro H direto 1 [0,5 0,5] [-0,5 0,5] G1 H1 2 [0,5 0 0,5] [-0,5 0 0,5] conv(G2s,G1) conv(H2s,G1) 3 [0,5 0 0 0 0,5] [-0,5 0 0 0 0,5] conv(G3s,G2s,G1) conv(H3s,G2s,G1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Normalized Frequency ( rad/sample)

-800 -600 -400 -200 0 Phase (degrees) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Normalized Frequency ( rad/sample)

-100 -80 -60 -40 -20 0 Magnitude (dB)

Figura 10 – Resposta em frequência do filtro equivalente de Haar para a terceira escala

A resposta em frequência para o filtro wavelet de Haar da terceira escala mostrada na figura Figura 10 possui algumas propriedades muito interessantes, enunciadas abaixo: • O filtro possui um nulo espectral na metade da frequência de Nyquist. Nesse nulo espectral, a amplitude para uma dada frequência correspondente vai a zero. Sendo assim, é possível ajustar a frequência de amostragem de um sinal específico para mitigar determinada frequência.

• É possível perceber que a parte de interesse do filtro está à esquerda da frequência central, uma vez que ela mantém a maior amplitude. Isso faz completo sentido porque, como a análise está sendo realizada na terceira escala, as frequências de detalhe de interesse estão entre 0,125 e 0,25 da frequência de Nyquist (vale lembrar que a frequência de Nyquist equivale à metade da frequência de amostragem), ou 0,25 e 0,5 da frequência de amostragem. Outro item interessante é que esses pontos estão localizados sobre a amplitude de -3dB, ou seja, a frequência de corte dos filtros é equivalente à faixa de frequência determinada pela decomposição.

• Quanto maior for a ordem do filtro ou mais complexa for a wavelet do ponto de vista de números de amostras, mais as frequências maiores do que a frequência central serão mitigadas, causando um degrau de frequência cada vez maior entre a porção de frequências mais baixas e a porção de frequências mais altas do que a frequência central, fazendo sua resposta convergir ainda mais para um filtro ideal.

É possível perceber que, para filtros de decomposição, funciona como se o filtro se alongasse no tempo e diminuísse sua amplitude, como se sua energia fosse se “esparramando” no

tempo à medida em que as escalas aumentam. As Figuras 11 e 12 demonstram esse “espalhamento”. Os filtros de Haar podem ser gerados de uma maneira mais simples a partir do valor da escala. Para escalas j com j ≥ 1, tem-se o comprimento L do filtro igual

a L = 2j, e o multiplicador do filtro será dado por 1/2j. De tal modo, o filtro Haar da

quarta escala possui um comprimento L = 16 e um multiplicador 1/16.

-0.5 0 0.5 Filtro Wavelet j = 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0 0.5 Filtro Wavelet j = 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 0 0.2 Filtro Wavelet j = 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0.1 0 0.1 Filtro Wavelet j = 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Figura 11 – Filtros wavelet de Haar para várias escalas

0 0.2 0.4 0.6 Filtro Escala j = 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 Filtro Escala j = 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.05 0.1 0.15 Filtro Escala j = 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0.05 0.1 Filtro Escala j = 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16

Figura 12 – Filtros escala de Haar para várias escalas

Para os filtros wavelet e escala, utilizando outras funções diferentes da de Haar, não existe regra simples. É necessário convoluir os filtros conforme mostrado acima e exemplificado pela Tabela 2. Uma grande vantagem da análise wavelet é quando o valor do sinal não importa, apenas sua forma; assim, não é necessário utilizar o fator multiplicativo.

Portanto, aplicar a decomposição de Haar resulta apenas em cálculos de somas e subtrações de números inteiros.