Transformada Wavelet Discreta (DWT) e Wavelet-Packet (DWPT)

outra forma que faz com que certas características do sinal original sejam mais facilmente analisadas e compreendidas ou também permite que o conjunto de dados original possa ser descrito de maneira mais sucinta (16).

A Transformada Wavelet está definida para tempo contínuo, porém, para o presente trabalho, fez-se uso de tal transformada discretizada, ou seja, a chamada Transformada Wa- velet Discreta (DWT).

A transformada Wavelet discreta (17) consiste em uma opção mais eficiente do que a STFT (Short-time Fourier Transform) para efetivar a análise tempo-frequência de um sinal. Tal transformada é composta por um par de filtros, sendo um passa-baixa (ℎ[·]) e outro passa-alta (𝑔[·]), de modo geral, com frequência de corte (−3𝑑𝐵) em 𝜋/2 (𝜋 = 0.5 é a máxima frequência angular) e do tipo QMF sendo que, de posse de um sinal discreto à ser transformado, este é submetido aos dois respectivos filtros via convolução. A cada execução deste processo, diz-se que se obtém um nível de decomposição e, com isso, tem-se dois novos sinais. Um destes porta as frequências abaixo da metade da máxima frequência original do sinal e, o outro, contém as frequências que se encontram acima deste limiar. (13). Chamamos de coeficientes de detalhamento, os termos obtidos pela filtragem do sinal original pelo filtro passa-altas e, coeficientes de aproximação aqueles termos que foram obtidos pela filtragem via passa-baixas (1).

Posteriormente à aplicação de um nível de decomposição no sinal, deparamo-nos com duas opções. Pode-se optar por continuar o processo utilizando apenas o novo sinal obtido pela aplicação do filtro passa-baixa ou, opta-se por continuar o processo utilizando os dois novos sinais, tanto o proveniente do passa-baixa quanto o do passa-alta. Essa última opção consiste no que chamamos de Transformada Wavelet-Packet (DWPT) (18), que é a abordagem adotada pelo presente trabalho. Uma representação gráfica da DWPT pode ser vista na figura 1.

s[.]: n amostras:

s[.]: n/2 amostras:

s[.]: n/4 amostras:

s[.]: n/2 amostras:

s[.]: n/4 amostras: s[.]: n/4 amostras: s[.]: n/4 amostras:

Figura 1 – DWPT: sinal 𝑠[·] de 𝑛 amostras discretas e máxima frequência 𝜋, decomposto até o segundo nível.

Outro ponto importante que precisa ser mencionado é que, a cada vez que se efetiva um nível de transformação, os dois respectivos novos sinais são sub-amostrados por 2. Isso acontece pelo fato de que, de acordo com o teorema da amostragem (15), os novos sinais gerados pela transformação contêm apenas metade da faixa de frequência do sinal original. Dado um sinal composto por 𝑛 amostras, ao aplicar-se a transformada wavelet sobre este sinal, a quantidade de amostras do sinal resultante será igual. Os termos iniciais são provenientes da filtragem via passa-baixas no último nível, logo em seguida tem-se os coeficientes resultantes da aplicação dos filtros passa-altas nos níveis intermediários e, finalmente, terminando com os coeficientes resultantes da filtragem via passa-altas do primeiro nível de decomposição. Tal fato pode ser melhor entendido com o auxílio da figura 2.

Para que seja possível a aplicação da transformada wavelet sobre um sinal, é necessário que se satisfaça duas condições (16) (19):

2.2. Conceitos Elementares de Processamento de Sinais e Ferramentas para Manipulação de Sinais de

Áudio 15

Figura 2 – DWT: sinal 𝑠[·] de 𝑛 amostras discretas e máxima frequência 𝜋, decomposto até o terceiro nível. Extraído de (1).

1. Visando realizar a decomposição até o último nível possível da transformada, faz-se necessário que o sinal discreto tenha o seu comprimento equivalente a uma potência de 2, sendo assim, é possível realizar log(𝑛)_log(2) decomposições para um sinal de comprimento 𝑛.

2. 2. Dado um filtro digital, para que este seja considerado um filtro wavelet, é necessário que sua resposta em frequência, referente ao filtro passa-baixas seja 0 em 𝜔 = 𝜋.

O processo de filtragem e sub-amostragem por 2, aplicados de forma conjunta nos sinais da transformada wavelet em cada respectivo nível, pode ser representado por uma “convolução modificada”, sendo esta definida de acordo com (2.1) (19):

𝑦[·] = 𝑥[·] * 𝑡[·] =

𝑛−1 ∑︁

𝑘=0

𝑡𝑘𝑥2𝑛−𝑘 (2.1)

ou de forma mais detalhada:

𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎−𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠[·] = 𝑥[·] * ℎ[·] = 𝑛−1 ∑︁

𝑘=0

e 𝑦𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎−𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠[·] = 𝑥[·] * 𝑔[·] = 𝑛−1 ∑︁ 𝑘=0 𝑔𝑘𝑥2𝑛−𝑘 (2.3)

De acordo com (13), a transformada wavelet discreta está diretamente relacionada com a Análise Multi Resolutiva (MRA), proposta por Mallat, Meyer, Stromber e outros. A MRA visa decompor um vetor ⃗𝑓 , ou seja, o sinal sob análise, em uma soma de outros vetores pertencentes a uma sequência de subespaços vetoriais (20), em outras palavras, isso significa que um sinal pode ser representado por vários níveis de resolução. Sendo assim, de acordo com a Análise Multi Resolutiva, dado um vetor ⃗𝑓 de n pontos, tem-se:

⃗ 𝑓 = ⃗𝐴 + ⃗𝐷 (2.4) sendo, ⃗ 𝐴 =∑︀ 𝑛 2−1 𝑘=0 < ⃗𝑓 , ⃗𝑣𝑘 > ⃗𝑣𝑘 e ⃗ 𝐷 =∑︀ 𝑛 2−1 𝑘=0 < ⃗𝑓 , ⃗𝑤𝑘 > ⃗𝑤𝑘 isto é:

∙ ⃗𝐴 é projeção de ⃗𝑓 num sub-espaço 𝑉 , com uma base de 𝑛₂ vetores; ∙ ⃗𝐷 é projeção de ⃗𝑓 num sub-espaço 𝑊 , com uma base de 𝑛₂ vetores; ∙ 𝑉 ⊥ 𝑊 ↔ ⃗𝐴 ⊥ ⃗𝐷

∙ ⃗𝑣𝑖 ⊥ ⃗𝑤𝑖 ↔< ⃗𝑣𝑖, ⃗𝑤𝑖 >= 0

O processo descrito anteriormente consiste em uma única decomposição do sinal, ou seja, após ser efetivado, teremos um sinal transformado em nível 1. Em uma transformada wavelet de nível 2, o vetor ⃗𝐴 (aproximação) é decomposto novamente na soma de dois novos vetores ortogonais, podendo tal processo ser repetido 𝑙𝑜𝑔(𝑛)_{𝑙𝑜𝑔(2)} vezes. Para fins de aumento na resolução frequencial, ao re-decompor ambos os vetores ⃗𝐴 e ⃗𝐷, tem-se o que se chama de wavelet-packet ou apenas DWT-packet. Dessa forma, podemos generalizar para uma decom- posição de nível 𝑗: ⃗ 𝑓 = ⃗𝐴𝑗 +∑︀ 𝑗 𝑖=1𝐷⃗𝑖 sendo que:

2.2. Conceitos Elementares de Processamento de Sinais e Ferramentas para Manipulação de Sinais de

Áudio 17

∙ ⃗𝐴 é projeção de ⃗𝑓 num sub-espaço 𝑉 , com uma base de 𝑛₂ vetores; ∙ ⃗𝐷 é projeção de ⃗𝑓 num sub-espaço 𝑊 , com uma base de 𝑛₂ vetores; ∙ 𝑉 ⊥ 𝑊 ↔ ⃗𝐴 ⊥ ⃗𝐷

∙ ⃗𝑣𝑖 ⊥ ⃗𝑤𝑖 ↔< ⃗𝑣𝑖, ⃗𝑤𝑖 >= 0

O processo anterior equivale a escrever (21)

𝑓 [𝑛] =∑︀ 𝑛 2−1 𝑘=0 𝐻𝑗,𝑘[𝑛]𝜑𝑗,𝑘[𝑛] +∑︀𝑗𝑡=1 ∑︀ 𝑛 2𝑗−1 𝑘=0 𝐺𝑡,𝑘[𝑛]𝜓𝑡,𝑘[𝑛]

1. 𝜑[𝑛] e 𝜓[𝑛] formam uma base de Riesz (21) para escrever ⃗𝑓 ;

2. 𝜑[𝑛] =∑︀ 𝑘ℎ𝑛𝜑[2𝑛 − 𝑘]; 3. 𝜓[𝑛] =∑︀ 𝑘𝑔𝑛𝜑[2𝑛 − 𝑘]; 4. 𝐻𝑗,𝑘[𝑛] =< 𝑓, 𝜑𝑗,𝑘[𝑛] >; 5. 𝐺𝑡,𝑘[𝑛] =< 𝑓, 𝜓𝑡,𝑘[𝑛] >; 6. {0} ← ... ⊂ 𝑉−1 ⊂ 𝑉0 ⊂ 𝑉1 ⊂ ... → 𝐿2 7. se 𝑓 [𝑛] ∈ 𝑉𝑗 → 𝑓 [2𝑛] ∈ 𝑉𝑗+1 8. 𝑉𝑗+1= 𝑉𝑗 ⊕ 𝑊𝑗

9. os coeficientes ℎ𝑘 correspondem ao filtro passa-baixas (aproximação);

10. os coeficientes 𝑔𝑘 correspondem ao filtro passa altas (detalhe);

11. ℎ[·] e 𝑔[·], que são chamados filtro de análise, formam um par de Quadrature Mirror

Filters - QMF;

12. um filtro com 𝑘 coeficientes é dito filtro de suporte 𝑘.

A chamada função wavelet, também denotada por 𝜑, é definida recursivamente além de ser ortogonal à função scaling, a qual é definida de forma recursiva por meio de dilatações e translações de si mesma (21). Cada um dos pares ℎ[·] e 𝑔[·], dos chamados filtros de análise, associa-se com uma única função scaling e uma única função wavelet.

Para obter a transformada inversa, utiliza-se de dois filtros que estão associados à ℎ[·] e 𝑔[·], são os chamados filtros de síntese. Estes são representados por ℎ[·] e 𝑔[·] e permitem a recuperação do sinal original a partir do sinal transformado (19). No presente trabalho, a utilização da transformada inversa não é utilizada.

2.2.5

Filtros e Famílias Wavelet

São diversas as famílias de filtros wavelet (22). As diferenças entre elas estão nos va- lores dos suporte dos filtros, nas características de resposta em frequência e fase dos mesmos, o que faz com que as funções 𝜑 e 𝜓 também sofram reflexo de tais diferenças (1).

Para fins de separação dos sinais de áudio em sub-bandas de frequências, utilizou-se neste trabalho as wavelets de Haar, Daubechies, Symmlets, Coiflets, Vaidyanathan e Beylkin, com variados valores de suporte, a exemplo de (1) (19).

Todas as famílias de filtros aqui utilizadas pertencem a classe de filtros FIR (Finite Impulse Response), ou seja, com resposta finita ao impulso (15).

Nas figuras 3, 4 e 5, pode-se observar mais detalhes das famílias de filtros utilizados.

Figura 3 – Formato das respostas ao impulso dos filtros wavelet: a)Haar, b)Daubechies, c)Vaidyanathan, d)Beylkin, e)Coiflet, f)Symmlet, extraído de (1).