4.1. Filtragem em sub-bandas
A aplicação da transformada de wavelet a um sinal é equivalente à realização da análise do sinal em sub-bandas. A filtragem em sub-bandas consiste em analisar um sinal passando-o por um banco de filtros passa-banda, o que o torna um método muito empregado em processamento de sinais análise de espectro. Neste método, cada sub- banda resultante da filtragem com o banco de filtros é então codificada de modo a considerar as características da sub-banda. Este processo é conhecido por subband
coding. (Leite, 2003)
De modo geral, a idéia central consiste em dividir o espectro do sinal através do emprego de dois filtros, um passa-baixo e outro passa-alto, os quais irão subdividir o sinal em dois sinais iguais menores respectivamente: um para as freqüências maiores que um limiar (metade passa-alto) e outro para representar as freqüências menores (metade passa-baixo).
Os filtros passa-baixo, também conhecidos como filtros de suavização, possuem a característica de manterem os mesmos coeficientes para a máscara de convolução, independente da posição na imagem. Esta característica é conhecida como invariância à translação. Outra importante propriedade é a implementação dos filtros pela operação de convolução, em que a máscara caracteriza o tipo de filtro linear empregado.
Como os filtros passa-baixas eliminam os componentes de alta freqüência, são eles também os responsáveis pela remoção de pequenos detalhes presentes na imagem e na atenuação de ruídos.
Já os filtros passa-alta têm por função o realce dos componentes de altas freqüências da imagem, visualizadas pela representação de níveis de cinzas mais claros em uma imagem monocromática (valores de pixel mais altos) e as componentes de baixa freqüência se tornam mais escuras, o que corresponde a uma aparente acentuação das bordas e outros detalhes finos da imagem. (Santos, 2002)
Na figura abaixo, os filtros passa-baixa são representados nas três distintas orientações (horizontal, vertical e diagonal) em dois níveis de resolução. Os detalhes, correspondentes às baixas freqüências são as imagens em cinza.
42 Figura 4.21: Visualização da aplicação de filtros passa baixa na transformada wavelet.
Na prática, a aplicação destes filtros em uma matriz é realizada pela iteração entre linhas e colunas da matriz de origem, tal que, a cada nível de iteração são geradas 3 sub-imagens (cada uma referente à uma orientação espacial), que constituem os coeficientes de wavelets armazenados. (Oliveira, 2000)
Como resultado, obtém-se sub-imagens organizadas em diferentes níveis. A vantagem deste esquema consiste no fato de ser necessário desenhar apenas dois filtros, passa-alta e passa-baixa, sendo os outros filtros obtidos por iterações sucessivas. Todavia, este método apresenta como desvantagem a cobertura fixa do espectro. (Leite, 2003). As extensões das equações de dilatação e o algoritmo piramidal (decomposição de Mallat) também são válidas para o caso bidimensional.
Deste modo, os coeficientes obtidos são matrizes e podem ser representados no formato de mosaicos. Na figura abaixo os coeficientes gerados pela wavelet pai (coeficientes da aproximação) são simbolizados por aj, os coeficientes dos detalhes
horizontais são simbolizados por dH, os coeficientes dos detalhes verticais por dV e,
por fim, os coeficientes dos detalhes diagonais são simbolizados por dD em seus
43 Assim, tem-se:
Figura 4.22: Representação dos coeficientes bidimensionais.
Na figura percebe-se que cada quadrado representa os coeficientes da wavelet, decompostos na parte suave (aproximação) e os detalhes obtidos em cada direção.
Exemplo:
Imagem Original Decomposição em 1 nível Decomposição em 2 níveis Figura 4.23: Representação da parte suave e detalhes da imagem.
Outra representação possível é obtida através des mosaicos que se repetem na mesma proporção. Entretanto, Morettin (1999) também apresenta uma representação baseada em mosaicos organizados em proporções diferentes. Trata-se de uma
44 representação gráfica baseada em produtos de pares de wavelets e funções escalas, considerando-se escalas distintas.
Figura 4.24: Representação dos coeficientes bidimensionais em mosaicos. Fonte: Morettin, 1999.
A análise multi-resolução da transformada wavelet está fundamentada nas projeções na base ortogonal formada pela função de escalamento e na base ortogonal formada pela
wavelet.
No tratamento de imagens, ou seja, para sinais bidimensionais, a transformada baseia- se em uma função de escalamento separável, denotada por (x,y) e denominada wavelet-pai ou ondaleta-pai.
φ (x,y)= φ (x) φ (y) (4.27) Com base nisto, pode-se afirmar que a análise é realizada por meio de duas análises multi-resolução de uma única dimensão. O resultado é a obtenção das ditas
wavelets-mãe, responsáveis pelos detalhes da imagem, que caracterizam a projeção
ortogonal de uma imagem dita f(x,y) nas bases formadas pelas wavelets nos fornece os detalhes da imagem.
Matematicamente, os detalhes nas direções horizontal, vertical e diagonal respectivamente são expressos pelas seguintes relações:
H H j x y f d ( , )= ,ψ (4.28) V V j x y f d ( , )= ,ψ (4.29) D D j x y f d ( , )= ,ψ (4.30) φ
45 A aproximação para o caso bidimensional é obtida pela projeção ortogonal da função f(x,y) no conjunto das funções originadas da função de escalamento. Considerando-se um nível de resolução (i), a aproximação é descrita por:
(4.31) Uma outra forma de representação da transformada wavelet de uma dada função f é a forma matricial em que dada uma matriz com 2lx 2l
pixels, a qual pode ser
armazenada em uma matriz quadrada B, de ordem 2l
. Neste caso, cada linha ou coluna
dessa matriz é tratada como uma imagem unidimensional para o cálculo dos coeficientes wavelet, que são representados por um vetor. De modo análogo, no caso de um sinal bidimensional S(x,z) têm-se suas representações baseadas na decomposição de uma matriz em submatrizes.
Essa decomposição pode ser obtida de duas maneiras: a decomposição convencional ou a decomposição alternada.
A decomposição convencional consiste em se utilizar a transformada wavelet em uma dimensão seguida pela transformada desta operação em outra dimensão. Deste modo, torna-se possível obter decomposições em diferentes níveis a partir do sinal original.
Já a decomposição alternada de linhas e colunas é obtida a partir de representações em diferentes níveis, ou seja, a partir do produto tensorial de duas bases de dimensão unitária, com escalas distintas para cada dimensão. Cada conjunto de transformadas na linha e na coluna corresponde a um nível de decomposição na imagem. Como resultado, obtém-se um novo grupo de subespaços denominados aproximação (parte suave) e detalhes (parte ruidosa), divididos em detalhes horizontal, vertical e diagonal.
( )
x y =< f( ) ( ) ( )
x y x y >46 A cada um desses subespaços é atribuído um conjunto de coeficientes suaves e de detalhes.
Figura 4.25: Tipos de decomposição bidimensional. Fonte: Betetto, 2006.
Matematicamente, este novo grupo de subespaços traduz-se pelas seguintes expressões: Φl.k(x,y)=φl,k1(x)φl,k2(y) (4.32) Ψ , (x,y)= j,k1(x) j,k2(y) h k j φ ψ wavelet horizontal. (4.33) Ψv, (x,y)= j,k1(x) j,k2(y) k j ψ φ wavelet vertical. (4.34) Ψ ( , )= ( ) ( ) 2 1 , , , x y jk x jk x d k j ψ ψ wavelet diagonal. (4.35) wavelet pai. Decomposição
47 4.2. A energia da Transformada Wavelet
A determinação das energias está fundamentada no teorema de Parseval que estabelece que “a energia contida no sinal é igual à soma das energias concentradas nos diferentes níveis de resolução da sua transformada wavelet”. Isso implica que a energia do sinal pode ser decomposta em termos dos seus coeficientes wavelets na forma: 2 1 1 2 1 2 1 | ) ( | | ) ( | | ) ( |f n a n d n j J N n j j N n N n= = =− = + =
A variáveis empregadas nessa equação têm o seguinte significado: N: corresponde ao número total de amostras do sinal;
2 1 | ) ( | nf N n=
: corresponde a energia do sinal analisado;
2 1 | ) ( |aj n N n=
: energia concentrada na versão aproximada de nível “j” do sinal analisado;
2 1 1 | ) ( |d n j J N n j − = =
: energias concentradas nos detalhes de níveis de 1 a “j”do sinal analisado.
A partir dessa análise, após a decomposição do sinal em diferentes níveis de resolução, ou seja, após a determinação dos coeficientes wavelet do sinal, é efetuado o cálculo da energia concentrada em cada um dos níveis de decomposição.
48 Para a imagem, a distribuição da energia na imagem é caracterizada em função das sub-bandas. (Dados relativos à média da raiz quadrada da média da energia (RMSE).
Figura 4.26: Exemplo de distribuição da energia da transformada discreta wavelet de Daubechies 4, da imagem Lena 512x512.
4.3. A escolha da função wavelet
A transformada wavelet pode ser comparada a um microscópio, cuja ampliação é dada pelo inverso do parâmetro de dilatação e a capacidade óptica pela escolha da função wavelet–mãe.
Uma questão que sempre surge na aplicação da análise wavelet é a escolha da função mais adequada para a análise do sinal em questão. Como não existe uma receita única para este procedimento, deve-se atentar para alguns pontos norteadores de tal seleção.
As famílias wavelets freqüentemente empregadas para o processamento de sinais são as wavelets de Haar, Daubechies, Morlets, Coiflets e Symlets. Várias outras famílias de wavelets foram definidas em diversos trabalhos além dessas, com cada uma atributos próprios e empregabilidade específica. A recomendação da literatura é que a escolha da família a ser implementada se baseie na melhor caracterização do fenômeno: imagem ou sinal a ser analisado.
49 A determinação da qualidade e quantidade de compressão está diretamente relacionada às matrizes as quais a transformada será submetida, ou seja, da forma e propriedades dos dados sendo comprimidos. Para os caso de matrizes compostas por planos constantes então uma wavelet Daubechies de ordem 1 (e filtro de comprimento 2) será suficiente. Se forem compostas por planos lineares então uma wavelet Daubechies de ordem 2 deverá ser utilizada sob pena de má compressão. A família de Daubechies, comprime bem curvas formadas por polinômios: quanto maior a ordem do polinômio, maior deverá ser a ordem da wavelet. Entretanto, a opção por uma ordem alta, implica em desvantagens que também devem ser consideradas: a velocidade de execução da transformada e a qualidade da compressão.
A qualidade da compressão é afetada porque filtros de grande comprimento tendem a “espalhar” a ocorrência de uma descontinuidade entre vários coeficientes. Isto é causado pelo fato de que o tamanho do filtro é diretamente proporcional ao comprimento da onda correspondente no espaço físico. Portanto, quanto maior o tamanho do filtro, maior quantidade de ondas serão atingidas pela descontinuidade, caso exista.
A família de Coiflets é empregada a sinais que apresentam propriedades espectrais particulares. Já as Symlets são adaptadas a dados com planos de simetria definidos, como por exemplo, um sinal composto por uma série de curvas gaussianas. As wavelets Splines por apresentarem a característica de serem biortogonais não são empregadas para a compressão de dados.
Segundo Domingues (2003) as principais recomendações para a realização desta seleção se concentram na observação das características presentes no sinal e de seu comportamento. Assim, a forma da função wavelet escolhida deve refletir as características da série temporal. Como exemplo, estão listados abaixo alguns pontos fundamentais a serem considerados:
análises temporais que apresentam variações bruscas, deve-se empregar a
wavelet de Haar, assim como imagens com grandes regiões de cor constante;
séries temporais com variações mais suaves, indica-se a família Morlet e a
wavelet chapéu mexicano;
para o estudo de sinais que apresentam oscilações de amplitude e/ou fase, sugere-se o emprego de uma wavelet complexa como a de Morlet, por exemplo;
50 na análise exploratória dos dados, as funções wavelet não-ortogonais revelam– se bem adequadas, isto devido ao fato de as mesmas permitirem uma redundância de informação;
para sintetizar dados e fazer compressões, são empregadas as funções wavelet ortogonais, que representam os sinais de forma mais compacta;
quando é necessário uma informação quantitativa sobre um processo, funções
wavelet ortogonais são a melhor escolha (Kumar & Foufoula,1994).
Vidakovic (1995) recomenda que a escolha de wavelet ortogonais de Daubechies para sinais turbulentos deve ser baseada no critério de balanço de energia do sinal.
Deve-se adotar a que menos desbalanceia a energia do sinal, isto é, a que necessite do menor número de coeficientes para representar o sinal. Conforme essas orientações e implentação prática, a escolha da família wavelet que se revelou adequada ao presente estudo foi a família de Haar, devido principalmente à sua simplicidade na implementação e performance eficiente para detecção de alterações bruscas na imagem (bordas).
51 Capítulo 5: Modelo experimental empregado para a análise da granulometria e hipóteses do trabalho.