As transformações matemáticas são ferramentas matemáticas utilizadas no mapeamento de funções de um domínio para outro. Em especial na análise de sinais possuem importância singular pois podem evidenciar propriedades relevantes no domínio transformado.
Existem vários métodos de transformações que podem ser aplicados a um sinal, entre os quais a transformada de Fourier é a mais utilizada.
A Transformada de Fourier (FT – Fourier Transform), definida em Fourier (1822), demonstra que qualquer função periódica pode ser representada como uma soma infinita de funções exponenciais complexas periódicas.
A FT consegue mapear sinais estacionários, ou melhor, sinais cuja a frequência não varia no tempo. Entretanto, não é apropriada para sinais transientes pois não possui resolução no tempo, o que significa que podemos determinar a frequência do sinal, mas não quando ela ocorre. Para sinais de duração finita, a Transformada Discreta de Fourier (DFT - Discrete Fourier Transform) que é uma sequência, em vez de uma função de variável contínua, e corresponde a amostras em frequência igualmente espaçadas no tempo discreto do sinal é mais apropriada.
Já a Transformada Rápida de Fourier (FFT - Fast Fourier Transform) é um algoritmo ou sequência de cálculo para calcular a DFT e sua inversa com grande aplicação no processamento digital de sinais.
Já a Transformada Wavelet (WT – Wavelet Transform) é uma ferramenta que permite decompor um sinal em diferentes componentes de frequências, permitindo assim, estudar cada componente separadamente em sua escala correspondente. Possui certa semelhança com a FT, entretanto é mais complexa, pois as funções bases da Wavelet podem ou não ser ortonormais.
A condição de Admissibilidade da função Wavelet garante a existência da transformada Wavelet inversa, que é a reconstrução do sinal em sua forma original.
2.5.1. Transformada Wavelet Contínua
A CWT da função 𝑓(𝑡) ∈ 𝐿 (ℝ)é formalizada pela decomposição da função 𝑓(𝑡) em uma base formada por funções Wavelets (t). Sua formulação matemática apresenta:
𝑊 (𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑡)𝜓∗, (𝑡)𝑑𝑡, 𝑎 > 0 (23)
Em que,
A equação (23) representa uma família de funções Wavelets usada para a transformação e que, na literatura é denominada de Wavelet-mãe. O parâmetro a está relacionado com a dilatação/contração da função e refere-se à escala usada. É relacionado com a translação ou localização da função Wavelet-mãe. O termo |𝑎| / corresponde a um fator de normalização para a energia de Wavelet 𝜓 , (𝑡). Isso implica em manter a energia da Wavelet principal localizada em dada região do tempo. Também significa que as amplitudes da função são aplicáveis apenas na região localizada. Já o símbolo * indica o conjugado complexo.
Essa estrutura permite que a CWT possa ser resolvida nos domínios da frequência e do tempo além da possibilidade da representação hierárquica do conjunto de dados. Essa forma de apresentação também pode ser chamada de análise multiresolução, conceito desenvolvido por Mallat (1989).
Assim, a equação (23) mede as flutuações da função ou do sinal 𝑓(𝑡) ∈ 𝐿 (ℝ) na vizinhança de b cujo tamanho é proporcional ao parâmetro de escala a.
A equação (24) fornece os coeficientes da CWT de uma função ou sinal 𝑓(𝑡). Esses coeficientes representam uma correlação em um espaço dual entre a função 𝑓(𝑡) e a base formada pelas Wavelets. A variação dos parâmetros a e b estão relacionados respectivamente, com a dilatação (ou contração) e a translação temporal da função analisadora ao longo do sinal. Para o parâmetro a, a dilatação acontece se a >1, a contração ocorre se 0 < a < 1.
Observa-se de forma mais clara na Figura 6, a Wavelet 1 para os valores de a = 1 e b = 0. O parâmetro de translação b =0 significa que a Wavelet está com seu centro na origem do gráfico, t = 0, enquanto que as Wavelets 2 e 3 possuem b = 30 e b = -30 respectivamente. Também se verifica que existe uma variação em seus parâmetros temporais, sendo que relativamente à Wavelet 1, as Wavelets 2 e 3 possuem contração de ½ e ¼ respectivamente. Contração essa definida pelo parâmetro de escala a. Assim o parâmetro assume o valor de a = ½ para a Wavelet 2 e a = ¼ para a Wavelet 3.
Figura 6 – (a) Ilustração de dilatação e translação de uma função Wavelet para valores dos parâmetros a e b. (b) Transformada de Fourier (espectro na frequência) para as Wavelets
ilustradas em (a).
(a)
(b)
Fonte: Leite (2007)
Observa-se na Figura 6(b) o Espectro de Fourier (gráfico da magnitude x frequência) para as Wavelets 1, 2 e 3 demonstrando quando se diminui a escala temporal, o espectro de frequências é posicionado em frequências maiores.
Cada tipo de Wavelets conduz a análises melhores ou piores dependendo das características ou propriedades que se deseja analisar. Assim se faz necessário um julgamento prévio para a escolha da Wavelet-mãe mais conveniente para cada uso, objetivando a verificação de qual propriedade ou domínio caracterizará melhor o sinal sem distorções. Protázio (2002) comenta que as seguintes características podem ser observadas na escolha de uma “Wavelet-mãe” para obter representação em tempo-escala: ortogonalidade e não ortogonalidade; complexa ou real; suporte compacto; formato da Wavelet e do sinal. T ra n sf or m a d a d e F o ur ie r
Outra forma de observar graficamente a resposta da CWT é com o uso de escalogramas, que representa a decomposição em tempo-escala do sinal utilizando. A CWT e seus coeficientes são mostrados em mapa de cores. Percebe-se a localização com maior precisão e visibilidade das ocorrências dessas frequências durante o tempo do sinal. Bolzan (2016) apresenta um sinal no tempo na Figura 7 (a). É utilizada FFT em cinco segmentos, apresentado na Figura 7 (b). Detecta-se nos primeiros segmentos, três frequências distintas, enquanto que nos últimos segmentos apenas duas.
Figura 7 – (a) Série temporal; (b) FFT aplicada em cada segmento da série temporal.
Fonte: Bolzan (2016)
Com o uso da CWT na série temporal da Figura 7 (a), observa-se no eixo vertical do escalograma da transformada Wavelet (Figura 8) uma lista clara na escala vertical de frequências 1 e uma outra na escala vertical de frequências 10, um pouco mais acinzentada. As duas faixas estão presentes durante todo o tempo do sinal. A outra frequência aparece na escala vertical de frequências 5 como outra listra bem presente, essa vai somente até a metade do tempo do sinal, definindo em que a frequência é suprimida. Outra informação é apresentada por meio da transformada Wavelet relacionada à energia. Identifica-se na cor acinzentada da frequência 10, que ela contém maior energia associada em relação às frequências mais baixa. Normalmente em pacotes computacionais ou toolbox de Wavelets tem-se a disposição uma escala de cor que permite realizar essa visualização dos níveis de energia.
(a)
Frequência Hz
Figura 8 – Escalograma da série temporal mostrada no gráfico da Figura 7(a).
Fonte: Bolzan (2016)