Transformada Wavelet

Para um maior entendimento da transformada wavelet no tratamento de séries temporais é necessário abordar primeiro a transformada de Fourier, que é uma ferramenta que possibilita determinar a contribuição que cada função seno e cosseno, presentes numa série temporal, apresenta para a energia total desta série (periódica).

Como a análise de séries temporais consiste basicamente em buscar similaridades entre um sinal (ou série histórica ou função) e funções matemáticas conhecidas, são aplicadas aos sinais transformações matemáticas para obter informação adicional de que o sinal que não está prontamente disponível é bruto.

Uma função periódica pode ser representada por meio de funções periódicas simples, cosseno e seno, sob a forma de uma série chamada de série de Fourier da função. A análise de Fourier transforma uma série temporal estocástica em uma soma de frequências de senos e cossenos. Assim, esta análise é capaz de quantificar as variáveis associadas a uma determinada frequência ou período, ou seja, busca aproximar um determinado sinal (ou determinada série histórica ou função) a uma combinação linear de componentes senoidais, em diferentes frequências.

Essa abordagem consiste na quebra de um sinal no domínio do tempo em um somatório de senos e cossenos de diferentes frequências com intuito de avaliar quais dessas frequências predominam sobre o comportamento do sinal ou da série temporal em análise. É o mesmo que afirmar que a análise de Fourier retira a série do domínio do tempo e a representa no domínio da frequência (LABAT, 2005).

Esse processo de quebra de um sinal é bem exemplificado na Figura 7, que mostra a decomposição de um sinal original em suas componentes senoidais de diferentes frequências, onde as componentes senoidais são estacionárias com mesma variância e média ao longo do tempo. Por esse motivo, a transformada de Fourier é também limitada ao caso de sinais estacionários.

Figura 7 - Processo de decomposição de uma série através de uma análise de Fourier.

Na presença de instabilidades, tendências a oscilações, saltos, quebras ou não estacionariedades, essas particularidades são perdidas, uma vez que a análise de Fourier não é a ferramenta mais apropriada para identificação dessas alterações de comportamento ao longo do tempo. Esse entendimento proporcionou as primeiras tentativas de novas técnicas de análises que pudessem superar as limitações da transformada de Fourier.

A primeira tentativa de superar a limitação da análise de Fourier quanto à análise de sinais estacionários, desenvolvida por Gabor (1946), foi a transformada “janelada” de Fourier (tradução de MORETTIN, 1999) que consiste em realizar a análise de Fourier em janelas de determinado comprimento ao longo de um comprimento total N, retornando frequências que poderiam variar em cada intervalo de tempo.

Nessa situação, a transformada é calculada em vários períodos de tempo ao longo da série histórica e fornece uma representação tempo-frequência da série original. Contudo, esse processo é limitado por uma janela fixa no domínio tempo-frequência, o que torna difícil capturar componentes de alta e de baixa frequência de um sinal, simultaneamente (MORETTIN, 1999).

A transformada wavelet contínua apresenta a capacidade de detectar, em um sinal, componentes de diferentes frequências, como verificado na Figura 8. Em outras palavras, ela é capaz de capturar componentes de alta e de baixa frequência, funcionando como uma janela que aumenta e diminui com esse intuito. Dessa maneira, a análise wavelet é capaz de captar tanto o comportamento local, quanto o comportamento global de um sinal, de modo simultâneo (MORETTIN, 1999).

Figura 8 - Detecção de componentes de baixa e alta frequência.

A análise wavelet sempre usa uma wavelet de exatamente a mesma forma, apenas o tamanho dimensionado para cima ou para baixo com o tamanho da janela. Por fim, a "escala" da wavelet pode ser variada, alterando a sua largura. Esta é a verdadeira vantagem da análise wavelet sobre um espectro de Fourier em movimento.

(a) Funções Wavelets

A transformada wavelet contínua é técnica análoga àquela de Fourier, tendo a particularidade de que, em vez do uso da fórmula de Euler, são utilizadas funções wavelets. Uma função wavelet é uma função de média igual à zero, a qual é dilatada por meio de um parâmetro de escala (s) e transladada por um parâmetro de posição u.

Como a transformada wavelet mede as variações tempo-frequência de componentes espectrais de determinado sinal com diferentes resoluções tempo-frequência, ela correlaciona um sinal x (t) com a função wavelet no tempo u e na escala s, a transformada pode ser escrita como uma integração no domínio das frequências.

As funções wavelets apresentam algumas propriedades específicas. A primeira delas, apresentada por Morettin (1999), é uma condição de admissibilidade, que é a própria definição de função wavelet. Essa propriedade define que, no domínio dos números reais, a média da função deve ser igual à zero (0). A segunda condição define que funções wavelets não podem divergir. Morettin (1999) afirma ainda que não só essas funções devem convergir, como devem fazê-lo rapidamente.

São diversas as famílias de funções wavelets, desde que a função satisfaça as propriedades mencionadas anteriormente, ela pode assumir essa denominação. No presente trabalho, foi dada preferência ao uso da função de Morlet, que consiste em uma onda plana modulada por uma gaussiana, que consegue representar satisfatoriamente as séries temporais de fenômenos geofísicos. Essa wavelet é complexa e possui características semelhantes àquelas do sinal meteorológico que se deseja analisar, tais como simetria ou assimetria, e variação temporal brusca ou suave.

(b) Normalização da Wavelet

Para assegurar que a transformada wavelet, em cada escala s, seja comparável com diferentes escalas e com outras séries, a função wavelet, em cada escala s, deve ser normalizada

para que tenha energia unitária, ou seja, é utilizada para manter constante a energia total da escala wavelet. Funções normalizadas são apresentadas com índice “0”.

Cada função escala é definida de modo que sua integral no domínio das frequências seja igual a um (1). Tendo normalizado a função wavelet, em cada escala s, a transformada wavelet é ponderada apenas pela amplitude dos coeficientes de Fourier e não pela função wavelet.

(c) Escolha das Escalas

Tendo escolhido uma função wavelet, é necessário selecionar um conjunto de escalas “s” a ser utilizado na transformada wavelet. Para uma wavelet ortogonal, existe uma limitação a um conjunto de escalas discretas. Para análises não ortogonais, que é o caso da análise com função Morlet, realizada no presente trabalho, um conjunto arbitrário de escalas pode ser escolhido para construir um desenho mais completo. É conveniente a escolha da escala como uma potência de 2.

A relação entre o período equivalente de Fourier e a escala da wavelet pode ser deduzida analiticamente para uma dada função wavelet em particular, substituindo uma onda cosseno de uma frequência conhecida e calculando a escala s na qual o espectro wavelet alcança um valor máximo (TORRENCE e COMPO, 1998). Esses períodos são importantes na observação do espectro, uma vez que observar o espectro em termos de frequências (ou períodos) é mais prático, principalmente se o objetivo da análise seja extrair informações sobre a presença de ciclos periódicos nas séries temporais.

Vale ressaltar que uma escala maior implica uma função wavelet que cobrirá maior amplitude do sinal. Para escalas menores, a função wavelet também é mais restrita no tempo. O valor da energia do sinal, representado pelo valor do módulo da transformada, usualmente é representado em uma escala de cores.

(d) Espectro Wavelet

O espectro wavelet pode ser definido pelo valor absoluto da transformada, ou seja, reflete o tanto que o sinal se diferencia de um ruído ou de um sinal aleatório. Sendo assim, a variância wavelet total (ou energia) do sinal é distribuída ao longo do espectro wavelet. Os coeficientes wavelets, os quais compõem o espectro, são reflexos da energia do sinal em determinado ponto e em determinada escala. Quanto maior o valor do coeficiente mais energia

tem o sinal naquele ponto e, portanto, maior sua variância wavelet, ou maior sua correlação com a função wavelet.

É importante observar que é comum o uso de termos da termodinâmica na análise wavelet, quando aplicada a estudos meteorológicos. Um desses termos comumente utilizado nessa análise é energia. A partição da energia de determinado sinal permite determinar quais escalas concentram sua dinâmica essencial. Segundo Labat (2005), a ideia de construção do espectro wavelet parte do conceito de conservação de energia no domínio do tempo, bem como no domínio escala-tempo.

(e) Cone de Influência

Ao trabalhar com séries históricas finitas, erros ocorrerão no início e no fim do período do espectro, uma vez que a transformada de Fourier assume que o dado é cíclico. Uma solução é preencher o início e o fim da série com zeros, antes de realizar a transformada e depois removê-los. O número de zeros deve ser suficiente para levar a série de N elementos até o próximo nível de potência, limitando o efeito de fronteira e acelerando a transformada de Fourier.

Entretanto, preencher com zeros introduz descontinuidades nas extremidades e, em escalas maiores, fazendo diminuir a amplitude em suas proximidades, na medida em que mais zeros entram na análise. O cone de influência é uma linha contínua em forma de cone que varia em ambos os eixos, compreendendo uma região denominada de influência de cone (COI). Ou seja, é a região do espectro wavelet onde os efeitos de extremidade tornam-se relevantes e são definidos aqui como o período para a autocorrelação da wavelet em cada escala. Sendo esse período escolhido de tal maneira que a “energia” da wavelet para uma descontinuidade na extremidade do espectro caia, assegurando que o efeito de fronteira seja desprezível a partir desse ponto. Ressaltando que para séries históricas cíclicas, o preenchimento com zeros e o uso do cone não são necessários.

Dentro da influência do cone, as regiões com picos significativos de energia são indicadas por contornos pretos grossos, mostrando as áreas com potência significativamente alta ao nível de confiança de 95 %.

(f) Transformada Wavelet Contínua

Torrence e Compo (1998) sugerem que a interpretação da wavelet pode ser vista como um filtro passa-banda. Assim, os picos dominantes de variabilidade apresentam um maior conteúdo de energia em um determinado período. Torrence e Webster (1999) recomendam o uso da transformada wavelet para verificar séries temporais que contenham potência (variabilidade) não estacionária em muitas frequências diferentes.

A transformada wavelet contínua de séries temporais representa a convolução dessas séries com funções bases locais, ou wavelets, que podem ser transladadas e estendidas com resolução flexível no domínio tempo-frequência. Em suma, decompõe as séries temporais dentro do domínio tempo-frequência, permitindo a identificação dos modos de variabilidade dominantes e como esses se alternam no tempo (TORRENCE e COMPO, 1998).

(g) Transformada Wavelet Cruzada

Torrence e Compo (1998) propuseram ainda, a técnica de análise da covariância de duas séries temporais, mediante o cálculo do espectro cruzado wavelet de duas séries temporais “X” e “Y” com as transformadas wavelets 𝑊𝑥 e 𝑊𝑦. Ainda de acordo com Torrence e Compo (1998), a potência wavelet cruzada indica quais as regiões que apresentam potência comum entre duas séries temporais em um determinado período.

(h) Transformada Coerência Wavelet

A fim de verificar a possibilidade de ter um efeito de causalidade, computa-se a transformada coerência wavelet (WTC). A coerência wavelet é uma medida da intensidade da covariância (correlação) de duas séries temporais no domínio tempo-frequência, diferentemente da potência wavelet cruzada, que é uma medida da potência comum entre duas séries. Se as regiões no espaço tempo-frequência com grande potência comum têm uma relação de fase constante, sugere causalidade entre a série temporal.

Segundo Torrence e Webster (1999), a coerência wavelet pode ser definida como o quadrado do espectro cruzado wavelet normalizado pelo espectro de potência individual. Esse cálculo fornece uma quantidade entre zero (0) e um (1) e mede a correlação cruzada entre duas séries temporais como uma função da frequência.

Torrence e Webster (1999) estimaram os níveis de significância da coerência somente através do espectro de ruído branco, mas, nesta pesquisa, foi utilizada a metodologia de Grinsted et al. (2004), considerando o método de Monte Carlo com o espectro de ruído vermelho para determinação, no nível de confiança de 95%, da coerência wavelet e da wavelet espectro cruzado.

É importante observar que "significativa no nível de 5%" é equivalente a "o nível de confiança de 95%", e implica um teste contra um certo nível de fundo, enquanto que o "intervalo de confiança de 95%" refere-se ao intervalo de confiança sobre um determinado valor . A confiança de 95% implica que 5% da potência de wavelet deve ser superior a este nível.

(i) Ângulo de Fase

Uma vez que as regiões no espaço tempo-frequência com grande energia comum têm uma relação de fase constante, essa relação de fase é representada por setas. Segundo Barbosa (2007) o sinal da diferença entre os ângulos de fase é destacado somente em regiões espectrais correlacionadas. Entretanto, sua relevância é dependente da energia encontrada sobre as frequências associadas em cada variável e também da wavelet cruzada, sendo importante combinar toda a informação para obter a correta interpretação.

A interpretação física dos ângulos de fase entre duas séries temporais pode ser avaliada de acordo com a Figura 9 (GRINSTED et al., 2004; BARBOSA, 2007). Barbosa (2007) ressalta que se deve saber qual série temporal é processada, primeiramente, no cálculo da transformada wavelet cruzada e da coerência, para que seja válido o esquema.

Figura 9 - Relação do ângulo de fase entre duas séries temporais (série 1 x série 2).

A interpretação física da Figura 9, onde os vetores apontam na direção dos números, segue da seguinte maneira: 1) série 1 completamente em fase com a série 2; 2) série 1 avançada em 45º da série 2; a série 2 responde em 1/8 do período; 3) série 1 avançada em 90º da série 2; a série 2 responde em 1/4 do período; 4) série 1 avançada em 135º da série 2; a série 2 responde em 3/8 do período; 5) série 1 e série 2 estão em fases opostas; 6) série 2 avançada em 135º da série 1; a série 1 responde em 3/8 do período; 7) série 2 avançada em 90º da série 1; a série 1 responde em 1/4 do período; 8) série 2 avançada em 45º da série 1; a série 1 responde em 1/8 do período.

Em suma, a obtenção da transformada wavelet cruzada e da coerência entre duas séries temporais pode ser resumida da seguinte forma: o primeiro passo está relacionado ao cálculo da transformada wavelet cruzada a partir de duas wavelets contínuas, destacando-se quais as regiões com alta potência comum entre as duas séries temporais. A coerência também é calculada a partir de duas wavelets contínuas, informando qual o grau de correlação entre duas séries temporais e qual o nível de significância no domínio tempo-frequência. Nas figuras de coerência, o ângulo de fase é apresentado apenas nas regiões com intervalos de confiança pré- determinados. Observando que a diferença entre os ângulos de fase será representada por vetores (setas), considerando apenas as informações descritas na análise da coerência entre duas séries temporais.