Para se extrair informações a partir de sinais e revelar a dinâmica de sinais, é necessária uma técnica adequada de processamento. Tipicamente, o processamento de sinais transforma um sinal do domínio de tempo para outro domínio, uma vez que a informação característica incorporada no domínio do tempo não pode ser facilmente observada na sua forma original [19]. Matematicamente, isto pode ser obtido por meio da representação do sinal no domínio do tempo como uma série de coeficientes, com base na comparação entre o sinal x(t) e funções de modelo {n(t)} na seguinte forma:
O produto interno entre as duas funções x(t) e n(t) é
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O produto interno descreve uma operação para comparar a semelhança entre o sinal e a função modelo, ou seja, o grau de proximidade entre as duas funções. Isso é realizado por meio da observação das semelhanças entre a transformada wavelet e outras técnicas comumente usadas, em termos da escolha das funções modelo. Um sinal não-estacionário é mostrado na Figura 3 como exemplo. O sinal é composto por quatro grupos de trens de impulso. Nesses grupos, os sinais são compostos de duas frequências principais, 650 e 1500 Hz.
Figure 3. Comportamento em tempo e frequência de um sinal não-estacionário, modificado de [20]
Usando a notação de produto interno, a transformada de Fourier de um sinal pode ser expressa como
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Supondo que o sinal tenha uma energia finita, pode ser reconstruído a partir de sua transformada.
A transformada de Fourier é essencialmente uma convolução entre a série temporal x(t) e uma série de funções seno e cosseno que podem ser vistas como funções modelo. A operação mede a semelhança entre x(t) e as funções de modelo, e expressa a informação de frequência média durante todo o período do sinal analisado, conforme mostrado na Figura 4.
Figura 4. Representação das componentes de frequência do sinal de teste, modificado de [20]
No entanto, esse sinal não revela como a frequência do sinal varia com o tempo, isto é, ela não revela se dois componentes de frequência estão presentes continuamente durante todo o tempo de observação ou apenas em determinados intervalos, como está implicitamente representada na representação de domínio de tempo. Como a estrutura temporal do sinal não é revelada, o mérito da transformada de Fourier é limitado e não é adequada para análise de sinais não estacionários.
Na Figura 5, a STFT (Short Time Fourier Transform), representada na figura por uma FFT (Fast Fourier Transform) é aplicada em um sinal com janela deslizante g(t), em alguns instantes de tempo dentro da janela. A janela é removida ao longo do tempo, e outra
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transformação é realizada. O segmento de sinal dentro da função de janela é suposto como sendo estacionário. Como resultado, a STFT decompõe um sinal no domínio do tempo para um sinal 2D nos domínios de tempo-frequência, e as variações da frequência dentro da janela são mostradas.
Figura 5. Resultados da STFT em alguns instantes de tempo do sinal de teste, modificado de [20]
A STFT pode ser expressa como
De acordo com o princípio da incerteza, as resoluções de tempo e frequência da técnica STFT não podem ser escolhidas arbitrariamente, ao mesmo tempo.
Conforme mostrado na Figura 6, os produtos das resoluções de tempo e de frequência (isto é, a área de f) são as mesmas, independentemente do tamanho da janela ( or 0.5).
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Figura 6. Produtos das resoluções de tempo e de frequência, modificado de [20]
A Transformada Wavelet é uma ferramenta que converte um sinal em uma forma diferente. Essa conversão revela as características escondidas no sinal original. A wavelet é uma pequena onda que tem uma característica em forma de onda oscilante e tem a sua energia concentrada no tempo.
A primeira referência à wavelet remonta ao início do século XX. A pesquisa de Harr em sistemas ortogonais de funções levou ao desenvolvimento de um conjunto de funções de base retangular. A wavelet Haar (Figura 7) foi denominada com base neste conjunto de funções, e é também a mais simples da família wavelet desenvolvida até hoje.
Figura 7. Representação temporal da função modelo da wavelet Haar, modificado de [20]
Em contraste com a STFT, a transformada wavelet permite tamanhos de janela e variáveis em análise de diferentes componentes de frequência dentro de um sinal. Para comparação, é mostrado na Figura 8 o sinal com um conjunto de funções obtidas a partir da mudança de escala e de uma função de base wavelet.
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Figura 8. Sinal com um conjunto de funções obtidas a partir da mudança de escala e de uma função de base wavelet, modificado de [20]
A Transformada Wavelet pode ser expressa como
Por meio de variações de escala e deslocamentos temporais da função wavelet base, a transformada wavelet pode extrair os componentes ao longo de todo o seu espectro, usando pequenas escalas para a decomposição de partes de alta frequência e grandes escalas para análise de componentes de baixa frequência.
Por fim, a Análise em Multirresolução (AMR) é uma técnica que busca representar sinais por meio das decomposições em vários níveis, ou seja, dessa forma sinais complexos são decompostos em sinais mais simples que contenham características específicas do sinal original e com isso possam ser analisados individualmente. Essa técnica é baseada na DWT, na teoria de espaços lineares e suas formações [20].
O sinal é decomposto utilizando-se um filtro passa-baixa e outro passa-alta, gerando um determinado nível de aproximação que é acompanhado por uma quantidade de níveis de
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detalhamento da mesma ordem do nível de aproximação. Por exemplo, no nível 7 da decomposição, há 1 sinal de aproximação e 7 níveis de detalhamento para o mesmo sinal. Para manter a mesma resolução, as componentes filtradas podem ser subamostradas sem perda de informação, isto é, ainda permitem a reconstrução perfeita do sinal original [21].