De entre os movimentos rígidos do espaço, há alguns dum tipo muito especial, a que se dá o nome de translações. Intuitivamente, as translações são movimentos rígidos em que as direcções e sentidos não se alteram. Se quisermos ser mais precisos:
Diz-se que um movimento rígido do espaço, é uma translação se, quaisquer que sejam os pontos distintos e , com E F E È Ew e F È Fw, verificam-se as condições:
1) As rectas EF E F e w w são paralelas;
2) Os sentidos de para e de para coincidem.E F Ew Fw 9
Figura 24
Um exemplo típico de translação que nos aparece na vida real é um movimento dum combóio quando “segue em linha recta”. Se olharmos para fora, os pontos muito afastados parecem quase imóveis relativamente a um ponto de referência na janela, o que corresponde ao facto de a recta determinada pelo nosso olho e por esse ponto de referência se manter paralela a si mesmo. Já quando o combóio começa a curvar isso deixa de acontecer.
É claro que as translações, sendo movimentos rígidos particulares, verificam, além das condições 1) e 2), as propriedades gerais dos movimentos rígidos (conservação de distâncias, ângulos, etc…). Em particular, sempre que E È Ew e F È Fw, também é verdade que a distância de a é igual àE F distância de a .Ew Fw
A propriedade seguinte é facilmente aceitável como verdadeira a partir da nossa experiência geométrica.
PI 23. Dados dois pontos e , existe uma, e uma só, translação para a qual se tenhaE Ew E È Ew. Esta translação pode ser nomeada com o símbolo EEÄw.
Uma translação fica assim perfeitamente determinada quando damos o transformado de um ponto particular, ao contrário do que acontecia com os movimentos rígidos gerais em que, para ficarem determinados, era necessário fixar os transformados de dois pontos distintos, no caso da Geometria Plana, e de três pontos não colineares, no caso da Geometria do Espaço.
A translação mais simples é a transformação identidade: Trata-se evidentemente de um movimento rígido que verifica as condições da definição.
Exercício 23. Por definição, a transformação identidade transforma qualquer ponto em si mesmoE
(podemos dizer que todos os pontos são E pontos fixos). Suponha agora que uma translação X não é a transformação identidade.
a) Tendo presente as segundas leis de de Morgan, o que poderá dizer sobre os pontos fixos de ?X
b) Utilizando a propriedade PI 23, mostre que se pode garantir mais do que o que foi concluído em
a), nomeadamente que não tem nenhum ponto fixo.X
Na prática, quando conhecemos o transformado de um certo ponto por meio de umaEw E translação, é fácil determinar o transformado de qualquer ponto . Afastando já o caso trivial emF que é o próprio , procedemos de um modo diferente consoante o ponto transformado estejaF E Ew
ou não na recta que contém e . No primeiro caso, o transformado fica sobre a mesma rectaE F Fw
(uma recta paralela com um ponto comum tem que ser a mesma recta) e pode ser determinado pela condição de a sua distância a ser a mesma que a de a e de ele estar relativamente a doEw E F Ew mesmo lado que está relativamente a ;F E
Figura 25
No segundo caso, reparamos que as condições na definição de translação podem ser traduzidas do seguinte modo:
P 24. (Propriedade do paralelogramo) Consideremos uma translação e dois pontos distintos e , tais que o transformado de não esteja sobre a recta E F Ew E EF. O transformado Fw de fica então determinado pela condição de os pontos F Fß Eß E ß Fw w serem os vértices consecutivos dum paralelogramo.10
Figura 26
A propriedade do paralelogramo atrás referida é o passo fundamental para justificar a seguinte propriedade das translações:
P 25. Consideremos uma translação distinta da transformação identidade e sejam e Ew Fw
os transformados dos pontos e . Então as rectas E F EEw e FFw são paralelas e as distâncias e sentidos de para e de para coincidem .E Ew F Fw 11
Em rigor, a propriedade do paralelogramo só implica a afirmação precedente no caso em que o ponto não está sobre a recta definida por e . No entanto, quando está sobre a recta F E Ew F EEw, a situação é simples compreender intuitivamente (cf. a figura 25).
Uma das conclusões da propriedade precedente diz-nos que, para uma translação diferente da transformação identidade, a distância de um ponto ao seu transformado é a mesma para todosE Ew
os pontos . É claro que esta parte da conclusão é válida também para a transformação identidade,E uma vez que essa distância é então sempre . Podemos assim apresentar a seguinte definição:!
Chama-se comprimento de uma translação à distância comum de cada ponto ao seuE transformado .Ew 12
É claro que a transformação identidade vai ser uma translação de comprimento e que todas as! outras translações têm um comprimento maior que .!
Lembremos que se diz que duas rectas têm a mesma direcção quando são paralelas. Tendo em conta a propriedade P 25, faz sentido falar da direcção de uma translação diferente da identidade como sendo a direcção comum de todas as rectas definidas por um ponto e pelo seu transformadoE Ew, uma vez que as rectas que correspondem a diferentes pontos de partida são paralelas entre si.
Mais precisamente,
Diz-se que uma translação , diferente da identidade, X tem a direcção duma recta se todas< as rectas EEw, com E œ X ÐEÑw , forem paralelas a (para o concluir, basta sabermos que isso< acontece a alguma dessas rectas).
Repare-se que, ao contrário do que acontecia com o comprimento, não faz sentido falar da direcção da translação identidade, uma vez que um ponto e a sua imagem não determinam nenhuma recta.
Quando queremos sublinhar que um certo movimento rígido é uma translação, é frequenteX (mas não obrigatório) utilizar letras minúsculas e colocarmos o sinal Ä em cima do símbolo. Podemos assim falar duma translação , , etc… Esta “notação vectorial” sugere o ponto de vista,Ä Ä? @ que adoptaremos, de os vectores, de que possivelmente já ouviu falar, serem essencialmente a mesma coisa que as translações.13