as fronteiras. Esta força de repulsão Γif entre uma partícula i do fluido e uma partícula fantasma f é
matematicamente descrita como: Γif = Dhr0 rif α1 −r0 rif α2i , r0 0, r0 rif > 1 (4.8) onde α1 e α2 são valores constantes, considerando a restrição α1 > α2. De acordo com [68] estes
valores normalmente são definidos como 4 e 2, porém outros valores como 12 e 4 também são utili- zados com bons resultados, como mostrado em [57]. A variável r0 refere-se ao raio de interação de
uma partícula fantasma com as partículas do fluido, o qual normalmente é definido como sendo um valor próximo ao espaçamento inicial entre as partículas do sistema.
Por outro lado, no tratamento de fronteiras através de partículas fantasmas, nas regiões externas, ligeiramente próximas às fronteiras, são introduzidas partículas com propriedades opostas às inter- nas, a fim de garantir que as condições de fronteira sejam obedecidas, como é mostrado na Figura 4.5. Através deste esquema é possível impor condições de Dirichlet para velocidade e Neumann para a pressão. Em [58, 56] foi desenvolvida uma proposta que une as duas estratégias anteriores, a fim de tornar o processo de simulação mais estável e eficiente. Nesta proposta, são determinados dois tipos de partículas fantasmas. As partículas fantasmas do tipo I funcionam como as apresentadas por [68], exercendo uma força de repulsão nas partículas de fluidos, quando estas aproximam-se das fronteiras. Já as partículas do tipo II, semelhantes à proposta de [55], além de contribuir para o cumprimento das condições de fronteira, atuam também na aproximação das propriedades das partículas de flui- dos através da aplicação das regras de aproximação SPH, uma vez que também são incluídas como partículas vizinhas. Este esquema pode ser observado na Figura 4.5.
Figura 4.5: Tratamento de fronteiras através de partículas: (esquerda) fantasmas [68], (centro) partí- culas externas com propriedades simétricas [55], (direita) partículas fantasmas e simétricas [58, 56].
O tratamento de fronteiras através de partículas virtuais, introduzido no SPH por Shao e Lo [97], é baseado em uma técnica proposta por Koshizuka et al. [50] para impor condições de fronteira no método MPS (do inglês Moving Particle Semi-implicit), a estratégia define camadas de partículas fixas, sendo a primeira localizada exatamente sobre a fronteira, e as demais espaçadas conforme a configuração inicial do problema. A partir disso, são definidos os valores de pressão e velocidade nas partículas virtuais que estão sobre a fronteiras, sendo então repetidos nas demais partículas virtuais, seguindo a direção normal de cada partícula de fronteira, conforme demonstrado na Figura 4.6. Neste sentido, torna-se necessário a solução da pressão nas partículas virtuais de fronteira.
Figura 4.6: Configuração das partículas virtuais: em azul são representadas as partículas de fluido, em verde as partículas de fronteira e em laranja as partículas virtuais.
Para o tratamento de regiões onde aparecem quinas, a técnica apresenta algumas particularidades. Quando é necessário tratar uma região onde o fluido encontra-se interno à quina, as propriedades da partícula virtual que está exatamente sobre a quina é repetida para as partículas virtuais na região de quina, como é mostrado na Figura 4.7-a. Por outro lado, quando o fluido encontra-se na parte externa da quina, as partículas que virtuais que estão na diagonal relativa à partícula virtual de quina, tem valor definido como a média das quatro partículas vizinhas, como demonstrado na Figura 4.7-b. Em [97] não é previsto tratamento para situações onde ocorrem duas quinas, com fluidos internos, próximas. Para resolver este problema, [52] propõe usar a mesma estratégia feita com as partículas virtuais em quinas externas, fazendo-se a média das quatro partículas vizinhas.
Embora os esquemas de tratamento de fronteira em simulações SPH baseados na utilização de par- tículas apresentem algumas desvantagens, como a necessidade de armazenamento e processamento adicional, além da dificuldade no tratamento de geometrias complexas, eles são bastante utilizados, principalmente por permitirem de forma mais direta a imposição de condições de fronteiras necessá- rias em determinados experimentos. Entretanto, existe a alternativa de se tratar as fronteiras através de esquemas puramente geométricos.
4.6 - Tratamento de Fronteiras
(a) (b)
Figura 4.7: Configuração das partículas virtuais em regiões a) externas à quinas, e b) internas à quinas.
4.6.3
Tratamento de fronteira puramente geométrico
Em [82] é proposto um método puramente geométrico, baseado na representação das fronteiras através de malha triangular. Basicamente este esquema trabalha em duas fases: a primeira consiste no processo de detecção de colisão das partículas, as quais são representadas por esferas, com as fronteiras, e a segunda fase refere-se ao cálculo da resposta da colisão. Uma descrição detalhada deste esquema pode ser obtida em [83]. Além desta estratégia de tratamento de fronteira puramente geométrico e das estratégias baseadas em partículas, pode-se ainda explorar a utilização de fronteiras implícitas, o que pode ser vantajoso em casos onde a geometria a ser representada é simples.
4.7
Considerações parciais
Embora a aplicabilidade do método SPH para a solução de problemas de dinâmica de fluidos seja a priori relativamente simples, a necessidade de realização dos tratamentos numéricos e computacionais mostrados anteriormente torna esta tarefa algo mais complexo, demandando esforço sobre o controle e adequação de determinadas propriedades do esquema de solução. Além disso, o método ainda apresenta certos pontos que necessitam de um maior empenho para que a sua flexibilidade possa ser utilizada de maneira mais abrangente. Porém, uma boa análise sobre a aplicação dos tratamentos necessários junto ao SPH pode render resultados consideráveis.
CAPÍTULO
5
SPH quase-incompressível
5.1
Introdução
Existem uma série de técnicas numéricas orientadas para a solução de fenômenos fluidos, baseadas em diferentes estratégias, e podendo ser classificadas de acordo com a forma como o problema a ser tratado é discretizado como, por exemplo, através de uma malha ou através de partículas. Entre os métodos de solução numérica para dinâmica dos fluidos que utilizam partículas está o método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). O método SPH, através de suas diversas variações, tem chamado atenção devido à sua forma de abstração e por mostrar resultados relativamente bons em diversas aplicações envolvendo fenômenos fluidos, tanto para problemas mais simples, que podem ser modelados através de equações mais restritas, quanto para problemas complexos, tratados através das Equações de Navier-Stokes.
Embora estes resultados se apresentem numericamente mais precisos em esquemas alternativos ao método SPH clássico, conhecido como SPH quase-incompressível (do inglês, Weakly Compressible Smothed Particle Hydrodynamics-WCSPH), o conhecimento dos conceitos intrísicos à aplicação do WCSPH são de fundamental importância para uma melhor ambientação com as características do método, permitindo se abstrair os pontos fortes e os aspectos sensíveis do método. Desta forma, neste capítulo será apresentada a formulação WCSPH aplicada às equações de Navier-Stokes, consideradas como o conjunto de equações mais importante da dinâmica dos fluidos, orientado à escoamentos incompressíveis. Neste sentido, serão detalhadas as principais características do métodos relativas à problemas modelados através destas equações, o que permitirá a concepção de uma base para o tratamento de experimentos clássicos solucionados através do WCSPH e possíveis aperfeiçoamentos para problemas mais complexos.