Nesta sec¸c˜ao ser´a apresentado as fun¸c˜oes trigonom´etricas, por´em ser´a limitado a apre- senta¸c˜ao apenas das fun¸c˜oes seno e cosseno, onde ser˜ao estudadas suas aplica¸c˜oes como modelo de fenˆomenos peri´odicos, levando em conta sua periodicidade e sua imagem. Para motivar ser´a apresentada uma situa¸c˜ao problema que faz uso dos conceitos de fun¸c˜oes trigonom´etricas para ser resolvida.
Sendo que j´a ´e conhecido como se obter valores de senos e cossenos para n´umeros reais, podem ser definidos agora como fun¸c˜oes trigonom´etricas. Essencialmente, ´e apenas uma formaliza¸c˜ao maior em torno do que foi visto nas sec¸c˜oes anteriores, agora sob o ponto de vista de fun¸c˜oes. Assim, ser´a estudado a fun¸c˜ao seno e a fun¸c˜ao cosseno. Historicamente, o primeiro ind´ıcio do tratamento funcional da trigonometria surgiu em 1635, quando Gilles Personne Roberval(1602-1675) fez pela primeira vez um esbo¸co de uma senoide. Por´em essa ´area s´o avan¸cou efetivamente no s´eculo XIX, com Jean-Baptiste Joseph Fourier(1768- 1830) e seus estudos sobre os movimentos peri´odicos.
Problema 6. Suponha que a express˜ao P= 100 + 20xsen(2πxt), descreve de maneira aproximada a press˜ao sangu´ınea P, em mil´ımetros de merc´urio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa express˜ao, t representa o tempo em segundos. A press˜ao oscila entre 20 mil´ımetros de merc´urio acima e abaixo dos 100 mil´ımetros de merc´urio, indicando que a press˜ao sangu´ınea da pessoa ´e 120 por 80.Determine:
a) A frequˆencia card´ıaca desta pessoa.
b) Dˆe o valor da press˜ao sangu´ınea dessa pessoa em t = 0s; t = 0,75s.
c) Em que momento, durante o primeiro periodo, a press˜ao sangu´ınea atingiu seu m´ınimo e qual foi este m´ınimo.
Cap´ıtulo 3. Trigonometria 32
d) Em que momento, durante o primeiro periodo, a press˜ao sangu´ınea atingiu seu m´aximo e qual foi este m´aximo.
3.5.1
A Fun¸c˜ao Seno e Fun¸c˜ao Cosseno
Uma fun¸c˜ao f : R → R chama-se peri´odica quando existe um n´umero T 6= 0 tal que f(t + T ) = f(t)para todo t ∈ R. Se isto ocorre, ent˜ao f(t + kT) = f(t) para todo t ∈ R e todo k ∈ Z. O menor n´umero T > 0 tal que f(t + T) = f(t) para todo t ∈ R chama-se o per´ıodo da fun¸c˜ao f. As fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao peri´odicas, de per´ıodo 2π. Diz-se ainda que a fun¸c˜ao f : R → R ´e par quando se tem f(−t) = f(t) para todo t ∈ R. Se se tem f(−t) = −f(t) para todo t ∈ R, a fun¸c˜ao f chama-se ´ımpar.
Para todo t ∈ R, temos
E(t) = (cos t; sent) e
E(−t) = E(cos(−t); sen(−t)).
Mas, como j´a foi visto, quando E(t) = (x; y) tem-se E(−t) = (x; −y). Isto signif´ıca que cos(−t) = cos t e sen(−t) = −sent para todo t ∈ R. Assim, cosseno ´e uma fun¸c˜ao par e seno ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar. De modo an´alogo, as outras quatro rela¸c˜oes estabelecidas anteriormente mostram que, para todo t ∈ R, valem:
cos(t + π) = − cos t; sen(t + π) = −sent; cos(t + π/2) = −sent; sen(t + π/2) = cos t;
cos(π/2 − t) = sent; sen(π/2 − t) = cos t; cos(π − t) = − cos t; sen(t + π) = sent. As figuras mostram os gr´aficos de y = cos x e y = senx
Cap´ıtulo 3. Trigonometria 33 Alguns valores particulares das fun¸c˜oes seno e cosseno podem ser obtidos mediante ar- gumentos geom´etricos, alguns dos quais s˜ao interessantes exerc´ıcios, especialmente quando se usam as f´ormulas de adi¸c˜ao, que estabeleceremos a seguir. Do ponto de vista num´erico, entretanto, ´e claro que o modo mais eficiente de obter os valores dessas fun¸c˜oes ´e usar uma calculadora, principalmente uma que opere com radianos e com graus.
Independentemente de calculadoras, ´e muito conveniente que se saiba, sem pensar muito, quais os valores de t que satisfazem as equa¸c˜oes:
sent = 0; cos t = 0; sent = 1; cos t = 1; sent = −1; cos t = −1; sent = cos t; sent = 1 2; cos t = 1 2 e outras semelhantes.
3.5.2
Per´ıodo e Imagem de uma Fun¸c˜ao Trigonom´etrica
Dada Uma fun¸c˜ao f : R → R, do tipo f(x) = a + bsen(m.x + n) ou do tipo f(x) = a + bcos(m.x + n), Sendo que elas s˜ao peri´odicas pode ser calculado o periodo da fun¸c˜ao encontrando o menor valor a ser somado com x afim de que, f(x + T ) = f(x), da´ı segue que:
f(x + T ) = f(x)
a + b.sen[m.(x + T ) + n] = a + b.sen(m.x + n) sen[m.(x + T ) + n] = sen(m.x + n) m.x + m.T + n = m.x + n + 2.k.π, com k ∈ Z
sendo que deve ser encontrado o menor valor de T , ent˜ao deve ser utilizado o menor valor de k, logo substituindo, K = 1, temos,
T = 2.π |m|.
A fun¸c˜ao cosseno possui o mesmo periodo e a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga.
Para o c´alculo da Imagem, ser´a feito uso de informa¸c˜oes que foram apresentadas nas sec¸c˜oes anteriores, pois sendo que:
Cap´ıtulo 3. Trigonometria 34 −1 6 sen(x) 6 +1;
−1 6 cos(x) 6 +1
ent˜ao, substituindo convenientemente os valores m´ınimo e m´aximo assumidos pelo sen(x) e pelo cos(x), segue que,
I = [(a − b); (a + b)]
Agora retornaremos `a situa¸c˜ao-problema que nos motivou a tal estudo.
Resolu¸c˜ao 5. a) Para o c´alculo da frequˆencia cardiaca, basta saber qual o periodo da fun¸c˜ao, tempo necess´ario para cada batimento, e a seguir calcular quantos batimentos s˜ao realizados em 1(hum) min.
T = 2.π
|m| ⇒ T = 2.π
2.π ⇒ T = 1s,
logo a frequˆencia cardiaca ´e de 60bpm(batimentos por minuto. b) f(0) = 100 + 20.sen(2.π.0) ⇒ f(0) = 100 + 20.sen(0) ⇒ f(0) = 100 + 0 ⇒ f(0) = 100mmhg f(0, 75) = 100 + 20.sen(2.π.0, 75) ⇒ f(0, 75) = 100 + 20.sen(3 2.π) ⇒ f(0, 75) = 100 + 20.(−1) ⇒ f(0, 75) = 80mmhg.
c) O valor m´ınimo atingido pela press˜ao sanguinea pode ser encontrado calculando o limite inferior da imagem.
a − b =100 − 20 = 80mmhg
e a fun¸c˜ao assumir´a este valor quando,
sen(2.π.x) = −1 ⇒ 2.π.x = 3π
2 ⇒ x = 0, 75s.
d) O valor m´aximo atingido pela press˜ao sangu´ınea pode ser encontrado calculando o limite superior da imagem.
a + b =100 + 20 = 120mmhg
e a fun¸c˜ao assumir´a este valor quando,
Cap´ıtulo 4
Metodologia
0,6Nesta parte do trabalho ser´a exposta a metodologia utilizada na pesquisa, sendo des- critos o Campo da Pesquisa, o instrumento da pesquisa e o m´etodo de an´alise dos dados.
4.1
Descri¸c˜ao do Campo de Pesquisa
0,6O trabalho consistiu de uma pesquisa de campo, de cunho experimental, feita atrav´es de um estudo de caso com 16 alunos do segundo ano do Curso Tecnico em Agropecu´aria Integrado ao M´edio do IFTO - Campus Araguatins. Esta pesquisa tem caracter qualitativa e quantitativa e subsidiada pela teoria dos campos conceituais de Vergnaud.