Solução hierárquica para o PPSFP Resolver o PPSFP de maneira integrada e exata em pacotes de otimização é uma
5.4 Troca de informação entre o planejamento e sequenciamento
No terminal portuário, atrasos no carregamento do navio (demurrage) resultam em multas consideráveis. Resultados preliminares mostraram que a abordagem hierárquica sem o uso do feedback na fase de sequenciamento produz uma solução viável muito ruim. Tarefas que não puderam ser sequenciadas no périodo t são simplesmente encaminhadas para os períodos seguintes, gerando atrasos e, consequentemente, um alto custo nanceiro para os operadores do terminal.
Portanto, a troca de informação de capacidade entre o sequenciamento e o planejamento é fundamental para que a fase de planejamento da produção seja capaz de, cuidadosamente, selecionar o melhor conjunto de tarefas para serem sequenciadas na fase seguinte. Esta troca de informação permite uma maior consistência entre ambos os níveis de decisão. Nesta tese, foram investigadas duas maneiras de realizar esta comunicação: a primeira baseada em uma heurística simples de redução de capacidade e uma segunda, mais efetiva, baseia-se no uso de cliques maximais.
5.4.1 Heurística de redução de capacidade de rotas (HCR)
O PPSFP possui restrições relacionadas com o tempo que cada rota pode car ativa em um período. O objetivo desta heurística é inserir a cada iteração um conjunto de restrições (semelhantes às restrições 4.11, 4.12 e 4.13 do PPSFP) para limitar a duração de algumas tarefas. Reduzindo este tempo, o planejamento será obrigado a selecionar outras tarefas para continuar a garantir o atendimento da oferta e demanda. Esta restrição é criada da seguinte forma: Seja n o total de tarefas ativas no período t, Conflito(j) representa o número de tarefas que não podem ser executadas simultaneamente com a tarefa j e Duracao(j) representa a duração da tarefa j.T aref aj <= Duracao(j) − ((Conf lito(j)/n) ∗ Duracao(j)) (5.1) A restrição 5.1 limita a duração de uma tarefa em função do número de con itos. Se uma tarefa i possui mais con ito que a tarefa j, sua duração máxima para a próxima iteração será menor. Foram avaliadas diversas regras para selecionar as tarefas, nas quais será aplicada a restrição 5.1.
Três regras produziram melhor efeito. A primeira regra consiste em penalizar todas as tarefas sequenciadas. Entretanto, tarefas com mais con ito serão mais penalizadas que as demais. A segunda regra é idêntica à primeira. Mas serão
42 Capítulo 5. Solução hierárquica para o PPSFP penalizadas apenas as k primeiras tarefas com maior con ito. Por último, a terceira regra é aplicada apenas às tarefas que excederam o limite máximo de duração do período. Ou seja, que o tempo de m da tarefa é maior que a duração do período. Das três regras acima, a que retornou melhores resultados (menor número de iterações com o planejamento) foi a primeira.
5.4.2 Restrições baseadas em cliques maximais
O problema da clique diz respeito a encontrar subgrafos completos em um grafo. Este problema e suas variações são largamente estudados em ciência da computação e otimização. Nesta tese, o problema da clique maximal é explorado para facilitar a geração de uma solução viável para o PPFSP. Foi usada uma técnica bem conhecidada na literatura, chamada de clique cuts (Dijkhuizen & Faigle [1993], Ji & Mitchell [2007], Méndez-Díaz & Zabala [2008] e Boland et al. [2011]).
Uma clique maximal é uma clique que não está contida em uma clique maior. Uma restrição associada a uma clique maximal pode ser inserida na fase de planejamento para fortalecer a formulação e facilitar a busca por um sequenciamento viável. Como exemplo, considere o grafo de con ito (Figura 5.3). Neste grafo, existem três cliques maximais: uma clique com os vértices A e B, outra com F e D, e a terceira com os vértices C, F e E. Note que os vértices representam as variáveis de produção xr
pt, yr pp0t
e zr
pp0t e o valor destas variáveis está associado com o tempo que a rota r é usada para transportar o produto p. Portanto, os vértices em uma clique representam as tarefas que não podem ser executadas simultaneamente.
A soma dos tempos de processamentos das tarefas em uma clique maximal não pode exceder à duração do período (os tempos de início e m de cada tarefa não podem se sobrepor). Após resolver a fase de sequenciamento, se não foi encontrado um sequenciamento viável, uma restrição baseada em uma clique maximal (onde a soma dos tempos de duração de seus vértices é maior que a duração do período), pode ser inserida na formulação do PPSFP (fase de planejamento da produção) para guiar o planejamento na seleção de novas rotas. Existem diversos algoritmos para encontrar cliques maximais, tais como os propostos por Bron & Kerbosch [1973], Stix [2004] e Tomita et al. [2006]. Encontrar todas as cliques maximais em um grafo é NP-Completo. Nesta tese, foi desenvolvida uma variação do algoritmo de Bron-Kerbosch, com o objetivo de inserir algumas estratégias de poda na árvore de enumeração para melhorar a performance do algoritmo e fornecer mais facilmente as cliques maximais.
5.4. Troca de informação entre o planejamento e sequenciamento 43 5.4.2.1 Algoritmo para geração das cliques maximais
Para o PPSFP, o objetivo é detectar cliques maximais que são maior que um determinado valor (peso). O peso de uma clique é calculado com base na soma dos pesos de seus vértices. No PPSFP, o peso de um vértice é exatamente o tempo de duração da tarefa associada. Portanto, em uma clique maximal, se a soma dos pesos de seus vértices é maior que a duração do período t, esta clique deve ser inserida na formulação do PPSFP. Como exemplo, considere o grafo de con ito (Figura 5.3) e a informação sobre a duração das tarefas disponível na Tabela 5.1, considere também que a duração máxima de um período é de oito horas. Duas cliques maximais podem ser inseridas no PPSFP.
x123+ x253<= 8 (5.2) y8553+ z10663+ z6443<= 8 (5.3)
A restrição (5.2) é uma clique maximal associada aos vértices A e B (Figura 5.3), e a restrição (5.3) está relacionada aos vértices C, F e D formando outra clique maximal. Observe que a soma dos tempos de duração das tarefas em ambas as cliques viola a duração do período (valores extraídos da tabela 5.1). Na restrição (5.2) a soma é 10 e, na restrição (5.3) a soma é 12. Como as cliques maximais referentes aos vértices F e D (Figura 5.3) não violam o tamanho do período, esta restrição não precisa ser inserida na formulação do PPSFP.
O algoritmo a seguir é uma extensão do algoritmo de Bron-Kerbosch (Bron & Kerbosch [1973]) com pivoteamento e estimativa de peso. Sejam os seguintes conjuntos: C, conjunto de vértices já de nidos como parte da clique, P o conjunto de vértices candidatos a fazer parte da clique, e S os vértices já explorados e que não levam ao aumento do conjunto de candidatos P. O valor do parâmetro P esoMinimo é a duração do período t.
1: procedure BK3(C,P,S). Algoritmo de Bron-Kerbosch com pivoteamento e estimativa de peso 2: if (P and S são vazios) then
3: if (w(C) > P esoMinimo) then . Se o peso da clique C excede a duração do período t. 4: AdicionaCliqueMaximal(C) . insere a clique C na formulação do PPSFP. 5: end if
6: end if
7: if (w(C) + h(C) > P esoMinimo) then .Se o peso da clique C mais a estimativa de peso dos outros vértices que podem fazer parte da clique C, excede a duração do período t.
8: Random pivot (u) entre P ∪ S
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10: BK3( C ∪ {i}, P ∩ N(i),S ∩ N(i)) 11: P := P \{i}
12: S := S\{i} 13: end for 14: end if 15: end procedure
A principal vantagem nesta modi cação no algoritmo de Bron-Kerbosch, está relacionada com o cálculo da estimativa de peso (linha 7 do pseudocódigo). Uma vez que o objetivo é obter apenas cliques maximais que atendem uma condição de peso mínimo, diversas podas na árvore de enumeração podem ser feitas se determinados nós não levam a uma clique que viola a estimativa de peso.