Um algoritmo para minimização de polinômios quárticos normais

Nesta seção, apresentaremos um método para minimização de polinômios quárticos normais baseado no trabalho de Qi, Wan e Yang [60]. Neste artigo, os autores propõem um algoritmo que garante minimização global de tais polinômios, porém que exige a resolução de subproblemas difíceis e que podem não possuir solução numericamente computável em tempo hábil, portanto, não é um algo-ritmo prático. Como eles não nomeiam o método deles, chamaremos de GMNQP. Nossa abordagem aqui consiste em detalhar as demonstrações de [60], além de propor um método que, embora não garanta a minimização global de polinômios quárticos normais, garante ao menos convergência a um minimizador local, e não apenas a um ponto crítico como métodos clássicos para programação não linear.

Seja T um tensor de ordem p, cujos elementos são denotados por T_i1,i2,...,ip, comi₁, i₂, . . . , i_p = 1,2, . . . , n.

Dadox∈Rⁿ, consideraremos T x^p=

n

X

i1,i2,...,ip=1

T_i1,i2,...,ipx_i1x_i2. . . x_ip,

(T x^p)∈R, como sendo T aplicadop vezes ax.

Dizemos queT é definido positivo seT x^p>0, para todox∈Rⁿ tal que kxk= 1.

SejamTi, comi= 1,2,3e4, tensores simétricos de ordemiet0 ∈R. Consideraremos um polinômio quártico a função

P(x) =T₄x⁴+T₃x³+T₂x²+T₁x+t₀. (4.3)

Dizemos queP(x)é um polinômio quártico normal se T₄ for definido positivo.

Notemos que, no caso de nosso polinômio definido pelo modelom3em (4.1), computarT4x⁴equivale a calcular ^σ₄^kkxk⁴. Como σ_k ≥ σ_min > 0, ^σ₄^kkxk⁴ > 0 para todo x ∈ Rⁿ tal que kxk = 1. Por conseguinte, m₃ definido em (4.1) é um polinômio quártico normal.

Consideremos então P, como definido em (4.3), um polinômio quártico normal. Estamos interessa-dos no problema

Minimizar

x∈Rⁿ

P(x). (4.4)

Dizemos quex éponto crítico de P se∇P(x) = 0.

Seja s∈Rⁿ e α ∈R. Pelo Teorema de Taylor, existe x¯ ∈Rⁿ, x¯=x+ ¯αp, com α¯ entre0 e α (i.e.

0<α < α¯ ou α <α <¯ 0), tal que P(x+αs) =P(x) +α∇P(x)s+1

2α²∇²P(x)s²+1

6α³∇³P(x)s³+ 1

24α⁴∇⁴P(¯x)s⁴. (4.5) Consideremos o teorema a seguir, extraído de [60, Proposição 2]. Este teorema estabelece a ca-racterística de um ponto crítico de P pela observação de suas derivadas de ordem dois e três.

Reescrevemos a demonstração por fins de detalhamento dos resultados.

Teorema 4.1. Seja P : Rⁿ → R um polinômio quártico normal, como definido em (4.3).

Consideremos xˆ∈Rⁿ um ponto crítico de P. Então,

(a)Se ∇²P(ˆx) for definida negativa, então xˆ é um maximizador local de P. (b)Se∇²P(ˆx) for definida positiva, ou se for semidefinida positiva e

∇³P(ˆx)s³ = 0

para todo s∈Rⁿ tal que ∇²P(ˆx)s² = 0, então xˆ é um minimizador local de P. (c)Caso contrário, xˆ é um ponto de sela de P.

Demonstração. Notemos que, por (4.5),P(ˆx+αs)−P(ˆx)possui o mesmo sinal que∇²P(ˆx)s² para um s ∈ Rⁿ fixo e valores de α suficientemente pequenos, em módulo. Neste contexto, analisaremos quatro casos:

(i) ∇²P(ˆx) é indefinida,

(ii) ∇²P(ˆx) é negativa definida, (iii) ∇²P(ˆx) é definida positiva e

(iv) ∇²P(ˆx)é semidefinida positiva ou negativa.

Para o caso(i), existem direções s ∈Rⁿ tais que ∇²P(ˆx)s² <0, em cujo caso P(ˆx+αs)− P(ˆx) < 0 para todo α ∈ R suficientemente pequeno, em módulo, e ∇²P(ˆx)s² > 0, em cujo casoP(ˆx+αs)−P(ˆx) >0 para todoα ∈R suficientemente pequeno em módulo. Portanto, ˆ

xé um ponto de sela de P.

Para o caso(ii), temos que ∇²P(ˆx)s² <0 para todos∈Rⁿ. Portanto, P(ˆx+αs)−P(ˆx)<

0 para todo s ∈ Rⁿ e para todo α ∈ R suficientemente pequeno, em módulo. Logo, xˆ é maximizador local de P.

Para o caso(iii), temos que∇²P(ˆx)s² >0para todos∈Rⁿ. Portanto,P(ˆx+αs)−P(ˆx)>0 para todo s∈Rⁿ e todo α ∈R suficientemente pequeno, em módulo. Logo, xˆ é minimizador local de P.

Para o caso(iv), por sua vez, consideremos

N ={s∈Rⁿ| ∇²P(ˆx)s²= 0}

Notemos queN contém ao menos um vetor não nulo.

Consideremos, em primeiro lugar, que∇²P(ˆx)ésemidefinida positiva. Por um lado, para todo s6∈ N,∇²P(ˆx)s²>0, o que implica que, paraα∈Rsuficientemente pequeno, em módulo,

P(ˆx+αs)−P(ˆx)>0. (4.6) Por outro lado, para todos∈ N, consideremos dois casos:

1. se ∇³P(ˆx)s³ = 0, então, por (4.5),

P(ˆx+αs)−P(ˆx) = 1

24α⁴∇⁴P(¯x)s⁴,

para algum x.¯ Como ∇⁴P(x) = 24T₄ e P, definido em (4.3), é normal, temos que P(ˆx+αs)−P(ˆx)>0. Isso, junto com (4.6), implica quexˆ éminimizador local de P.

2. se ∇³P(ˆx)s³ 6= 0, então, por (4.5), o sinal de P(ˆx+αs)−P(ˆx) coincide com o sinal de α³∇³P(ˆx)s³ para valores de α suficientemente pequenos, em módulo, que, por sua vez, muda de sinal conformeα muda de sinal. Isso implica que xˆé ponto de sela de P. Consideremos, em segundo lugar, que∇²P(ˆx)ésemidefinida negativa. Por um lado, para todo s6∈ N,∇²P(ˆx)s²<0, o que implica que, paraα∈Rsuficientemente pequeno, em módulo,

P(ˆx+αs)−P(ˆx)<0. (4.7) Por outro lado, para todos∈ N, consideremos dois casos:

1. se ∇³P(ˆx)s³ = 0, então, por (4.5),

P(ˆx+αs)−P(ˆx) = 1

24α⁴∇⁴P(¯x)s⁴,

para algum x.¯ Como ∇⁴P(x) = 24T₄ e P, definido em (4.3), é normal, temos que P(ˆx+αs)−P(ˆx)>0. Isso, junto com (4.7), implica quexˆ éponto de sela de P.

2. se ∇³P(ˆx)s³ 6= 0, então, por (4.5), o sinal de P(ˆx+αs)−P(ˆx) coincide com o sinal de α³∇³P(ˆx)s³ para valores de α suficientemente pequenos, em módulo, que, por sua vez, muda de sinal conformeα muda de sinal. Isso implica que xˆé ponto de sela de P. Segue o resultado.

Bem como em algoritmos gerais de otimização, o método que apresentaremos consiste em procurar por pontos críticos de P usando estratégias clássicas de descida. A diferença fundamental é que aqui, ao invés de pararmos em pontos críticos deP, procuraremos sair de tais pontos críticos usando os resultados do Teorema 4.1 e direções de tipo tunneling.

Dizemos que s∈Rⁿ é uma direção do tipo tunneling paraP se existir algumα∈R tal que P(x+αs)< P(x).

Neste contexto, é essencial saber determinar sesé uma direção do tipotunneling. Dadosx, s∈Rⁿ, consideraremos a notação

a(x, s) ^def= 1

24∇⁴P(x)s⁴, (4.8)

b(x, s) ^def= −1

6∇³P(x)s³, (4.9)

c(x, s) ^def= 1

2∇²P(x)s², (4.10)

d(x, s) ^def= −∇P(x)s. (4.11)

Definimos de (4.5) a função

φx,s(α)^def= P(x+αs)−P(x) =a(x, s)α⁴−b(x, s)α³+c(x, s)α²−d(x, s)α. (4.12) Notemos que, comoa(x, s)>0, para todo x, s∈Rⁿ,φ_x,s(·)tende a infinito quandoα tende a mais ou menos infinito. Portanto,φx,s(·) possui minimizador global.

Consideremos o caso em que estamos em um ponto crítico de P. Assim sendo, sejamxˆ ∈ Rⁿ um ponto crítico de P,s∈Rⁿ e α∈R. Comoxˆ é ponto crítico de P,d(ˆx, s) = 0 para todo s∈Rⁿ e, portanto,

φ_x,sˆ (α) =α²

a(ˆx, s)α²−b(ˆx, s)α+c(ˆx, s)def

= α²ω_ˆx,s(α). (4.13) Uma direçãosé do tipotunneling a partir dexˆse, e somente se, existe um escalarαnão nulo tal que φ_x,sˆ (α)<0. Como α² ≥0 para todo α ∈R, então existeα ∈R tal queφ_ˆx,s(α)<0 se, e somente se, existe α ∈R tal queωx,sˆ (α) <0. Como P é um polinômio quártico normal e∇⁴P(ˆx) = 24T4, então a(ˆx, s) como definido em (4.8) é positivo para todos∈Rⁿ. Por conseguinte, ω_ˆx,s(α) é uma parábola convexa, donde segue que existeα ∈Rtal queω_x,sˆ (α)<0se, e somente se,ω_x,sˆ (α)possui duas raízes reais distintas, o que acontece se, e somente se, seu discriminante for positivo, ou seja, se, e somente se

∆(ˆx, s)^def= b(ˆx, s)²−4a(ˆx, s)c(ˆx, s)>0. (4.14) Para encontrar uma direção do tipo tunneling usando o resultado do Teorema 4.1, computamos o menor autovalorλˆ de ∇²P(ˆx).

• Se λ <ˆ 0 calculamos o autovetor sˆ associado a λ.ˆ Por (4.8), a(ˆx,s)ˆ > 0, e por (4.10), c(ˆx,s)ˆ < 0, donde segue, de (4.14), que ∆(ˆx,s)ˆ > 0. Portanto, sˆ é uma direção do tipo tunneling de P a partir de x.ˆ

• Se λˆ = 0 e existe um autovetorsˆassociado aλˆ tal que ∇³P(ˆx)ˆs³ 6= 0, por (4.9), b(ˆx,s)ˆ 6= 0 e, por (4.10),c(ˆx,s) = 0, donde segue, de (4.14), queˆ ∆(ˆx,s)ˆ >0. Portanto, sˆé uma direção do tipotunneling de P a partir dex.ˆ

• Se ˆλ >0, então∇²P(ˆx) é definida positiva e estamos num minimizador local deP. Este é o caso mais difícil, pois não somos capazes de conseguir alguma direção oriunda de informações de segunda ordem ao longo da qualP decresça. Neste caso, consideraremos dois procedimentos heurísticos:

1. sortearemos vetores aleatórios{v₁, . . . , v<sub>`</sub>} e testaremos se algum deles é uma direção do tipo tunneling, isto é, se∆(ˆx, v<sub>i</sub>)>0, para algum i= 1,2, . . . , `.

2. tentaremos encontrar, usando algum método para resolução de sistemas não lineares, um ponto(¯x,x¯n+1) viável para o sistema não linear







∇P(x) = 0 P(x)−x_n+1 = 0 xn+1−P(ˆx) + ≤ 0,

(4.15) para um dado >0. Se existirx¯ viável para (4.15), então a desigualdade junto com a segunda equação implica que P(¯x) ≤ P(ˆx)−, ou seja, que ao longo da direção x¯−xˆ existe um ponto, especificamentex, em que¯ P vale menos que no minimizador local x.ˆ Se não conseguirmos encontrar uma direção do tipo tunneling a partir de x, então terminamos aˆ execução do algoritmo. Caso contrário, tendo encontrado uma direção do tipo tunneling sˆa partir de x, computamos o tamanhoˆ αˆ do passo como minimizador global de φ_x,ˆˆs(·). Comoxˆ é um ponto crítico de φx,p(·), sua derivada primeira é dada por

φ⁰_x,s(α) = 4a(x, s)α³−3b(x, s)α²+ 2c(x, s)α =α

4a(x, s)α²−3b(x, s)α+ 2c(x, s) .

Por conseguinte, os pontos de críticos de φ_x,ˆˆs(·)são dados pelas raízes de φ⁰_ˆx,ˆs(·), ou seja, α0= 0, α1=3b(ˆx,s) +ˆ p

9b(ˆx,ˆs)²−32a(ˆx,s)c(ˆˆ x,ˆs)

8a(ˆx,s)ˆ e α2= 3b(ˆx,ˆs)−p

9b(ˆx,ˆs)²−32a(ˆx,s)c(ˆˆ x,ˆs) 8a(ˆx,ˆs) .

(4.16)

Seria possível encontrar o minimizador global de φ_ˆx,ˆs(·) apenas avaliando-a nos pontos dados em (4.16) e tomando aquele cujo valor funcional seja o menor. Todavia, é possível determinar o minimizador global de φ_x,ˆˆs apenas analisando o sinal de b(ˆx,s). Enunciamos este resultado noˆ Lema 4.2, adaptado de [60, Teorema 3]. Novamente, reescrevemos a demonstração para fins de detalhamento do resultado.

Lema 4.2. Seja x ∈ Rⁿ um ponto crítico de P. Seja ainda p ∈ Rⁿ uma direção do tipo tunneling para P a partir dex. Então, um minimizador global do problema

minα∈R

φ_x,s(α) é dado por

α=











3b(x, s) +p

9b(x, s)²−32a(x, s)c(x, s)

8a(x, s) , se b(x, s)≥0, 3b(x, s)−p

9b(x, s)²−32a(x, s)c(x, s)

8a(x, s) , caso contrário.

Demonstração. Consideremosx ∈Rⁿ um ponto crítico de P e s∈Rⁿ uma direção de tipo tunnelingdeP a partir dex. Comoφ_x,s(·)possui três pontos críticos (4.16), queremos mostrar qual dos três possui menor valor de função.

Para simplificar a notação nesta demonstração, consideraremos a≡a(x, s), b≡b(x, s), c≡c(x, s) eΓ≡p

9b²−32ac.

Seguindo a notação, de (4.16) podemos reescrever α₁= 3b+ Γ

8a e α₂ = 3b−Γ 8a . Começaremos avaliandoφx,s(α1). Temos que

α²₁ =

3b+ Γ 8a

2

= 9b²+ 6bΓ + Γ²

64a² , (4.17)

α³₁ =

3b+ Γ 8a

9b²+ 6bΓ + Γ² 64a²

= 27b³+ 18b²Γ + 3bΓ²+ 9b²Γ + 6bΓ²+ Γ³ 512a³

= 27b³+ 27b²Γ + 9bΓ²+ Γ³

512a³ (4.18)

e

α⁴₁ =

3b+ Γ 8a

27b³+ 27b²Γ + 9bΓ²+ Γ³ 512a³

= 81b⁴+ 81b³Γ + 27b²Γ²+ 3bΓ³+ 27b³Γ + 27b²Γ²+ 9bΓ³+ Γ⁴ 4096a⁴

= 81b⁴+ 108b³Γ + 54b²Γ²+ 12bΓ³+ Γ⁴

4096a⁴ . (4.19)

Por conseguinte, de (4.17), (4.18) e (4.19) segue que

aα⁴₁ = 81b⁴+ 108b³Γ + 54b²Γ²+ 12bΓ³+ Γ⁴

4096a³ , (4.20)

bα³₁= 27b⁴+ 27b³Γ + 9b²Γ²+bΓ³

512a³ (4.21)

e

cα²₁ = 9b²c+ 6bcΓ +cΓ² 64a²

= 9b²c+ 6bcΓ +c(9b²−32ac) 64a²

= 18b²c+ 6bcΓ−32ac² 64a²

= 9b²c

32a² +3bcΓ 32a² − c²

2a. (4.22)

De (4.20) e (4.21) temos que

aα⁴₁−bα₁³ = 81b⁴+ 108b³Γ + 54b²Γ²+ 12bΓ³+ Γ⁴−216b⁴−216b³Γ−72b²Γ²−8bΓ³ 4096a³

= −135b⁴−108b³Γ−18b²Γ²+ 4bΓ³+ Γ⁴

4096a³ . (4.23)

Todavia,

18b²Γ²= 18b²(9b²−32ac) = 162b⁴−576ab²c (4.24) e

Γ⁴= (9b²−32ac)²= 81b⁴−576ab²c+ 1024a²c². (4.25) Por (4.24) e (4.25) em (4.23) vem que

aα⁴₁−bα³₁ = −135b⁴−108b³Γ−162b⁴+ 576ab²c+ 4bΓ³+ 81b⁴−576ab²c+ 1024a²c² 4096a³

= −216b⁴−108b³Γ + 4bΓ³+ 1024a²c² 4096a³

= − 27b⁴

512a³ − 27b³Γ

1024a³ + bΓ³

1024a³ + c²

4a. (4.26)

Logo, por (4.22) e (4.26) temos que aα⁴₁−bα³₁+cα²₁ = − 27b⁴

512a³ − 27b³Γ

1024a³ + bΓ³

1024a³ + c²

4a+ 9b²c

32a² +3bcΓ 32a² − c²

2a

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ + bΓ³

1024a³ +bΓ³ 3c

32a²Γ² − 27b² 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ + bΓ³

1024a³ +bΓ³

96ac−27b² 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ + bΓ³

1024a³ −bΓ³

3(9b²−32ac) 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ + bΓ³

1024a³ −bΓ³

3Γ² 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ − 2bΓ³ 1024a³, donde segue que

φ_x,s(α₁) =−c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ −bp

(9b²−32ac)³

512a³ (4.27)

Analogamente, avaliandoφx,s(α2) temos que α²₂ =

3b−Γ 8a

2

= 9b²−6bΓ + Γ²

64a² , (4.28)

α³₂ =

3b−Γ 8a

9b²−6bΓ + Γ² 64a²

= 27b³−18b²Γ + 3bΓ²−9b²Γ + 6bΓ²−Γ³ 512a³

= 27b³−27b²Γ + 9bΓ²−Γ³

512a³ (4.29)

e

α⁴₂ =

3b−Γ 8a

27b³−27b²Γ + 9bΓ²−Γ³ 512a³

= 81b⁴−81b³Γ + 27b²Γ²−3bΓ³−27b³Γ + 27b²Γ²−9bΓ³+ Γ⁴ 4096a⁴

= 81b⁴−108b³Γ + 54b²Γ²−12bΓ³+ Γ⁴

4096a⁴ . (4.30)

Por conseguinte, de (4.28), (4.29) e (4.30) segue que

aα⁴₂ = 81b⁴−108b³Γ + 54b²Γ²−12bΓ³+ Γ⁴

4096a³ , (4.31)

bα³₂= 27b⁴−27b³Γ + 9b²Γ²−bΓ³

512a³ (4.32)

e

cα²₂ = 9b²c−6bcΓ +cΓ² 64a²

= 9b²c−6bcΓ +c(9b²−32ac) 64a²

= 18b²c−6bcΓ−32ac² 64a²

= 9b²c

32a² −3bcΓ 32a² − c²

2a. (4.33)

De (4.31) e (4.32) temos que

aα⁴₂−bα₂³ = 81b⁴−108b³Γ + 54b²Γ²−12bΓ³+ Γ⁴−216b⁴+ 216b³Γ−72b²Γ²+ 8bΓ³ 4096a³

= −135b⁴+ 108b³Γ−18b²Γ²−4bΓ³+ Γ⁴

4096a³ . (4.34)

Por (4.24) e (4.25) em (4.34) vem que

aα⁴₂−bα³₂ = −135b⁴+ 108b³Γ−162b⁴+ 576ab²c−4bΓ³+ 81b⁴−576ab²c+ 1024a²c² 4096a³

= −216b⁴+ 108b³Γ−4bΓ³+ 1024a²c² 4096a³

= − 27b⁴

512a³ + 27b³Γ

1024a³ − bΓ³

1024a³ + c²

4a. (4.35)

Logo, por (4.33) e (4.35) temos que aα⁴₂−bα³₂+cα²₂ = − 27b⁴

512a³ + 27b³Γ

1024a³ − bΓ³

1024a³ + c²

4a+ 9b²c

32a² −3bcΓ 32a² − c²

2a

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ − bΓ³

1024a³ −bΓ³ 3c

32a²Γ² − 27b² 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ − bΓ³

1024a³ −bΓ³

96ac−27b² 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ − bΓ³

1024a³ +bΓ³

3(9b²−32ac) 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ − bΓ³

1024a³ +bΓ³

3Γ² 1024a³Γ²

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ + 2bΓ³ 1024a³, donde segue que

φ_x,s(α₂) =−c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ +bp

(9b²−32ac)³

512a³ (4.36)

Deste modo, seb≥0, então de (4.27) temos que φ_x,s(α₁) =−c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴ 512a³ −

pb²(9b²−32ac)³ 512a³ e de (4.36) que

φ_x,s(α₂) =−c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴ 512a³ +

pb²(9b²−32ac)³ 512a³ .

Neste caso, φx,s(α1) ≤ φx,s(α2). Para constatarmos que α1 é minimizador global de φx,s(·), resta-nos mostrar que φ(α₁) < 0 = φ(α₀). Como a > 0, se c < 0 então φ_x,s(α₁) < 0.

Suponhamos então quec >0. Como ∆(x, s)>0,b²−4ac >0, ou seja,b² >4ac. Logo, φ_x,s(α₁) = −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴ 512a³ −

pb²(9b²−32ac)³ 512a³

< −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴ 512a³ −

pb²(9b²−8b²)³ 512a³

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴

512a³ − b⁴ 512a³

= −c²

4a+ 9b²c

32a² − 7b⁴ 128a³

= −32a²c²+ 36ab²c−7b⁴ 128a³

= −(7b²−8ac)(b²−4ac)

128a³ . (4.37)

Como b² > 0, a > 0, c > 0 e b² −4ac > 0, então 7b² −4ac > 0 e, por (4.37), temos que φ_x,s(α₁)<0. Portanto α₁ é minimizador global deφ_x,s(·).

Analogamente, seb <0, então de (4.27) temos que φx,s(α1) =−c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴ 512a³ +

pb²(9b²−32ac)³ 512a³ e de (4.36) que

φ_x,s(α₂) =−c²

4a+ 9b²c

32a² − 27b⁴ 512a³ −

pb²(9b²−32ac)³ 512a³ .

Neste caso,φ_x,s(α₂)≤φ_x,s(α₁)e, por (4.37),φ_x,s(α₂)<0. Por conseguinte, α₂ é minimizador global deφx,s(·).

Temos até aqui todos os ingredientes para descrever o método no Algoritmo 4.1.

Algoritmo 4.1: Minimização de polinômios quárticos normais

Passo 0. Inicialização. Dados um ponto inicial x⁰ ∈ Rⁿ, ρ > 2, 0 ≥ 0, 1, 2 > 0, ` ≥ 0.

Consideremos φx,s(·) definida em (4.12) e P(·) um polinômio quártico normal. Inicialize k←0.

Passo 1. Ponto não crítico. Se

k∇P(x^k)k ≤₀

vá para o Passo 2. Senão, calcule o passo de Newtons^N dado pela resolução do sistema linear

∇²P(x^k)s^N =−∇P(x^k).

Se s^N não existir ou se

∇P(x^k)^Ts^N ≥ −₁kp^Nk^ρ,

tome s^k = −∇P(x^k), senão, s^k = s^N. Depois, encontre um minimizador global α_k do problema

minα∈R

φ_xk,s^k(α)

calculando os zeros deφ⁰_xk,s^k(·). Calcule x^k+1=x^k+αks^k, façak←k+ 1e repita o Passo 1.

Passo 2. Ponto crítico. Seja ˆλo menor autovalor de∇²P(x^k).

2.1. Maximizador local ou ponto de sela. Se λˆ ≤0 então calcule um autovetor s^k associado a ˆλ. Se

λ <ˆ 0

ou

λˆ = 0 e b(x^k, s^k)6= 0 , calcule

α_k=











3b(x^k, s^k) +p

9b(x^k, s^k)²−32a(x^k, s^k)c(x^k, s^k)

8a(x^k, s^k) , seb(x^k, s^k)≥0, 3b(x^k, s^k)−p

9b(x^k, s^k)²−32a(x^k, s^k)c(x^k, s^k)

8a(x^k, s^k) , caso contrário,

(4.38)

defina x^k+1 =x^k+α_ks^k, faça k←k+ 1e vá para o Passo 1.

2.2. Minimizador local.

2.2.1. SejaV ={v^k,1, v^k,2, . . . , v^k,`}um conjunto de vetores emRⁿ. Se∆(x^k, v)>0para algumv∈ V, então tomes^k=v, calculeα_kusando (4.38), defina x^k+1=x^k+α_ks^k, faça k←k+ 1e vá para o Passo 1. Senão,paree retorne x^k.

2.2.2. Calcule um ponto viável(¯x,x¯n+1) para o sistema não linear







∇P(x) = 0 P(x)−xn+1 = 0 x_n+1−P(ˆx) + ≤ 0.

Sex¯for computado com sucesso, tomex^k+1= ¯x, façak←k+ 1e vá para o Passo 1.

Senão,paree retorne x^k.

No documento Complexidade em programação não linear (páginas 53-63)