Um dos planos é o segundo bissector

A determinação da recta de intersecção de dois planos, sendo um deles o segundo bissector, é um exercício bastante fácil e simples.

Considere-se o plano ω definido pelos pontos A, B e C não

colineares e o plano β₂₄ (fig.62a e 62b). Pelo facto da recta i

pertencer ao plano β₂₄, as suas projecções são, obviamente,

coincidentes; para as determinar bastará encontrar dois pontos cujas projecções sejam coincidentes, como os pontos P e Q

(fig.62b).

Fig.62a – Intersecção de um plano oblíquo (ω) com o bissector dos quadrantes

pares.

Fig.62b – Intersecção do plano ω com o β24 - Sua representação

7.2.3. Intersecção de dois planos - Método Geral

Os casos particulares apresentados anteriormente evidenciam a simplicidade da construção da recta de intersecção de dois planos quando um deles é projectante ou o segundo bissector; o caso geral vai ser transformado num destes casos pela

introdução de planos auxiliares.

Sejam os planos α e ω dois quaisquer planos dos quais se pretende determinar a recta de comum (i) (fig.63). Como se verifica na referida figura, se se considerar um plano

auxiliar τ5 _{que intersecte α e ω obtêm-se, respectivamente, as} rectas a e b. Estas rectas, por sua vez, intersectam-se num

ponto I que lhes é comum6_{, sendo este um dos pontos que definem}

a recta i. Considerando um segundo plano auxiliar τ1, e

repetindo-se o raciocínio, obtêm-se as rectas a1 e b1, que por sua vez determinam um ponto comum I1 que conjuntammente com I definem a recta i.

Escolhendo para planos auxiliares, quer planos projectantes, quer o segundo bissector, o problema da intersecção de dois quaisquer planos reduz-se aos casos particulares anteriormente apresentados.

O modo como os dados do problema se apresentam indicará se o segundo bissector deve ou não ser considerado como plano auxiliar7_.

Fig.63 – Método Geral para determinar a

5 _{Os planos auxiliares não deverão, por razões óbvias, ser paralelos a}

qualquer um dos planos dados.

6 _{O ponto I é a intersecção dos três planos α, ω e τ.}

7 _{O β24 não deve ser considerado quando as projecções das rectas não se}

intersecção de dois planos quaisquer.

A figura 64 apresenta pari passu o método geral para a determinação da intersecção de dois planos oblíquos,

respectivamente, o plano α definido por duas rectas

concorrentes p e q (α≡pq) e o plano ω representado pelas rectas r e s paralelas (ω≡rs), (Vide fig.64a).

Utilizando os princípios do método geral considere-se o plano auxiliar de nível (ν) – projectante vertical. Assim, a

intersecção deste plano com o plano α é a recta a definida pelos pontos A e B resultantes de intersecção das rectas p e q com ν. Analogamente, tem-se a recta b, definida pelos pontos C e D, que materializa a intersecção do plano ν com as rectas r e s.

As intersecção das rectas a e b resulta no ponto I que é um dos dois pontos que definem a recta i de intersecção de α com ω, (Cf. fig.64b).

Fig.64a – Intersecção dos planos α e ω definidos, respectivamente, por duas rectas concorrentes e por duas

rectas paralelas.

Fig.64b – Intersecção dos plano α e ω com o um plano auxiliar (projectante vertical) de nível

(ν). Poder-se-ia, agora, considerar um outro plano auxiliar

projectante e, repetindo o raciocínio anterior obter-se-ia um

segundo ponto (I1) que conjuntamente com I definem a recta i.

Considere-se, porém, como plano auxiliar o β24, aliás o segundo bissector deverá ser ensaiado como primeiro plano auxiliar. A intersecção dos planos α e ω com o β24 resulta,

a1 e b1 intersectam-se no ponto I1 (Cf. fig.64c).

Pelo que a rectas de intersecção de α e ω é a recta i definida pelos pontos I e I1, i(II1).

A figura 64d inclui apenas o resultado final i(i’,i’’) dos passos desenvolvidos na resolução deste problema.

Fig.64c – Intersecção dos planos

α e ω com o segundo bissector.

Fig.64d – Intersecção dos planos

7.2.4. Intersecção de dois planos com auxílio do AutoCAD

Na resolução de um problema de intersecção de dois planos com o auxílio do AutoCAD aplica-se o mesmo princípio desenvolvido em 6.1.3..

Para melhor se compreender o que foi anteriormente referido, considere-se os planos ω (ω≡ABC) e α (α≡pq), como se ilustra na figura 65a.

Depois de colocado o UCS num dos planos, ω no caso, projectam- se as rectas p e q sobre ω, dando origem às rectas pp e qp, respectivamente. Estas projecções podem obter-se solicitando o comando PROJECT anteriormente visto (Cf. fig.65b).

Os dois pontos que definem a recta de intersecção (i) obtêm-se pela união das rectas p e q com as respectivas projecções pp e qp, ou seja, I=p∩pp e I1=q∩qp.

Este raciocínio é válido para quaisquer dois planos, bastará, como se referiu, conhecer duas rectas de um dos planos e

projectá-las sobre o segundo plano.

As projecções vertical (i’’) e horizontal (i’) da recta i podem obter-se recorrendo novamente ao comando PROJECT, tendo, no entanto, presente que o UCS deve estar colocado primeiro no ϕ₀ e depois no ν0.

Fig.65a – Intersecção dos planos

α e ω com auxílio do AutoCAD.

Fig.65b – Intersecção dos planos

ANEXO A

A.0. Introdução

O desenvolvimento de novas tecnologias de concepção e desenho assistido por computador, vulgarmente designadas pela sigla inglesa CAD (Computer Aided Design), proporcionou uma verdadeira revolução relativamente aos métodos tradicionais de desenho.

Actualmente o computador é utilizado para produzir, rever, armazenar e transmitir desenhos. Existem diferentes propostas de aplicações de CAD no mercado, suportadas por diversos construtores de computadores, mas o produto final de qualquer sistema de CAD é ainda e sempre um conjunto de especificações, desenhos e outras informações necessárias à correcta definição dos objectos a fabricar.

Os especialistas concordam que a capacidade de pensar a três dimensões é um dos mais importantes requisitos exigíveis a um engenheiro bem sucedido. Os sistemas de CAD propiciam ferramentas extraordinariamente versáteis e poderosas de estudo das linguagens gráficas, facilitando a aprendizagem de conceitos como precisão, rigor ou exactidão, que todo o engenheiro deve ter ou adquirir.

Neste texto procura-se introduzir os fundamentos da utilização da aplicação AutoCAD para computadores pessoais, muito vulgarizada mundialmente, como suporte da representação geométrica. Assume-se que o leitor tem conhecimentos básicos de utilização de computadores pessoais, em ambiente Windows.

Primeiro faz-se uma apresentação sucinta do ambiente de trabalho, seguida duma explicação da forma como está organizado o sistema de coordenadas, e como se projecta este no ecrã.