Um Orbital por Sítio

Conforme mencionado no capítulo 1, neste trabalho descrevemos a contribuição de banda para o hamiltoniano eletrônico através de um modelo tight-binding com um orbital por sítio H = X n,n6=m |nihnmhm| + X n |niεnhn| (2.39) H = H0+ v (2.40)

εn pode ter valores εA ou εB dependendo de quem ocupa o sítio n. As integrais de

hopping são independentes se assumimos que os cristais puros A e B tem a mesma largura de banda.

Logo é útil expressar εA e εB em termos de ω e denir o zero de energia.

εA= 1 2ωδ (2.41) εB = − 1 2ωδ (2.42) δ = 1 ω(εA− εB) (2.43)

separação dos níveis atômicos, respectivamente.

2.2 A Liga Diluída

A aproximação de liga diluída consiste em considerar um cristal perfeito formado apenas por átomos do tipo B e introduzir no sítio 0 um átomo do tipo A em substituição ao do tipo B. H = H0+ X n |niεBhn| + |0i(εA− εB)h0| (2.44) H = HB+ |0iδh0| ≡ HB+ v (2.45)

Dessa forma, podemos escrever a Função de Green como:

G = (z − H)−1 = GB+ GBvG (2.46)

= GB+ GBt0GB (2.47)

Escrevendo a Função de Green para a rede B.

GB = (z − HB)−1 = G0(z − εB) (2.48) t0 = (1 − vGB)−1v0 = v0+ v0GBt0 (2.49) t0 = |0it(z)h0| (2.50) em que, t(z) = δ(1 − δFB(z))−1 (2.51) FB(z) = h0|GB(z)|0i = F0(z − εB) (2.52)

∆˜g(E) = N [g(E) − gB(E)] (2.53) = −1 πImT r(GBt0GB) (2.54) = −δg 0 B(1 − δIB) + δIB0 gB (1 − δIB)2+ (δπgB)2 (2.55)

Para grandes valores de |δ| a impureza pode alcançar estados resonantes ou estados ligados. As condições 1 − δIB(Er) = 0 (2.56) e Γr ≡ |πgB(Er)| |I0 B(Er)| (2.57) ll|Er| (2.58)

são satisfeitas e a variação na DOS se torna

∆˜g(E) = −1 π

Γr

[(E − Er)2] + Γ2r

(2.59) O estado ligado é dado por

Eb ≈ εB+ δ (2.60)

Sendo a concentração de A muito pequena (x  1).

Σ(z) = εB+ xt(z) (2.61)

g(E) = −1 πImF0[E +_{− ε} B− xt(E+)] (2.62) = −1 πImFB[E +_{− xt(E}+ )] (2.63)

É possível notar que a célula localizada sobre o potencial aleatório vn(z) = |ni[εn−

˜

V (z)hn|implica que o potencial espalhador tn(z)pode ser calculado em termos da matriz

diagonal ˜G(z). tn(z) = |niτn(z)hn| (2.64) em que, τn(z) = [εn− ˜V ] 1 − [εn− ˜V (z)] ˜G(z) (2.65) a média do operador espalhamento é então

htni = |ni " x(εA− ˜V ) 1 − [εA− ˜V ] ˜G + y(εB− ˜V ) 1 − [εB− ˜V ] ˜G # hn| (2.66)

Voltando ao resultado geral na expressão 2.61, Σ(z) é dado por Σ(z) = ˜V (z) + hτ (z)i

1 + ˜G(z)hτ (z)i (2.67)

Podemos utilizar a expressão das equações 2.66 e 2.67 para calcular a DOS tanto na ATA quanto na CPA. Para o cálculo no ATA é necessário apenas um passo e para realizar o cálculo no CPA, mais de um passo é necessário até que a auto-energia atinja a convergência.

Na gura abaixo, calculamos a DOS para um lme magnético no nas duas aproxi- mações.

Figura 5: Comparação do cálculo via CPA e e via ATA para DOS spin up, para um plano magnético sobre um substrato metálico. O quadro superior é a região próxima a ω = 12

Observe que o resultado em CPA é um conjunto contínuo de vários estados em um intervalo de energia muito bem denido e em ATA existe apenas um estado ligado. Com isso vemos quais os estados possíveis em cada energia de uma maneira mais precisa, tornando a CPA uma aproximação muito melhor que a ATA.

Figura 6: Comparando cálculo via CPA e ATA para a autoenergia, para um plano mag- nético, sobre um substrato metálico.

Qualitativamente, temos o mesmo resultado do cálculo feito para a DOS. O estado ligado que aparece é muito melhor descrita na CPA do que em ATA. Porque conseguimos ver quais estados possíveis em um intervalo de energia com mais precisão, do que em um único ponto. Observe que o acoplamento do estado ligado (discreto) com a DOS (contínuo) é suave em CPA e, em ATA, aparenta ser um único estado com grande divergência. Isso ocorre pelo fato de que a CPA ocorre depois de um processo autoconsistente que busca o melhor resultado possível. O ATA é um passo único e pode ser interpretado como o primeiro passo CPA. Isso não garante um bom resultado ao ATA.

Na próxima seção serão mostrados os resultados cálculados em CPA.

2.3 Resultados e Discussão

Nosso trabalho agora é calcular a função χRP A_{(~q) na aproximação CPA e obter as}

propriedades de ondas de spin.

χRP A(ω) = [1 + χHF(ω)U ]−1χHF(ω) (2.68) e χHF_ij (~q||, ω) = i~ Z ∞ −∞ dω0f (ω0) 1 N|| X k|| [G↑_ji(~k||, ω0)Gij↓(~q||+ ~k||, ω + ω0) − −G−↓_ij (~k||, ω0)G−↑_ji (~k||− ~q||, ω0− ω) + G↓_ij(~k||, ω0)G_ji−↑(~k||− ~q||, ω0− ω) − −G−↑_ji (~k||, ω0)Gij↓(~k||+ ~q||, ω0+ ω)]. (2.69)

Inspecionando a equação que dene χRP A_{, vemos que para calcular sua média con-}

guracional é necessário calcular a média conguracional de um funcional não-linear de χHF. Será necessário adotar alguma aproximação para relacionar esse cálculo com o da

média conguracional de χHF_{. Trataremos disso mais tarde. Vamos primeiro analisar o}

cálculo da média conguracional de χHF_.

Nossa modelagem para o cálculo em CPA é considerar um potencial de referência que seja dado por

˜

Vσ = xεσ_a+ yεσ_b. (2.70)

Em que εσ

a é a energia de sítio para as impurezas, εσb é a energia para os sítios cristalinos

e σ representa índice de spin. εσ

a = ε0+ δ0 terão valores simétricos para spin up ou down,

pois estaremos considerando impurezas não magnéticas e δ0 = ±U m₂ . εσb = ε0± U m₂ . ε0

é a energia de sítio para o substrato, U é a interação coulombiana e m = n↑ − n↓ é a

magnetização. Σ(ω) e m são obtidos pelo processo autoconsistente descrito no apêndice A. Cada matriz tσ

n é calculada de acordo com a equação 2.15 e a autoenergia Σ(ω) de

acordo com a equação 2.67. tσ

n e Σ(ω) são calculados autoconsistentemente utilizando os

valores obtidos de Σ(ω) e m, até atingir a convergência.

A partir de agora, e em todos os capítulos, utilizaremos os parâmetros EF = 0.15,

U = 12e n = 1.68. O hopping entre o substrato e a camada magnética é t0 = 0.5t. Escrevemos a função de Green em CPA, temos

˜

Gσ(ω) = Gσ(ω) + Σσ(ω). (2.71)

Após o estado fundamental ser recalculado em CPA, também calculamos a suscepti- bilidade de spin em CPA utilizando a equação 2.69. O cálculo em ATA é feito utilizando o primeiro passo da CPA.

No gura abaixo, calculamos o χRP A_{(~q)para um ~q = 0.01ˆx bem denido e para várias}

concentrações de impurezas x.

Figura 7: Densidades espectrais obtidas em várias concentrações para um lme no sobre um substrato metálico não-magnético. Cálculo realizado em CPA, com qx = 0.

Figura 8: Densidades espectrais obtidas em várias concentrações para um lme no sobre um substrato metálico não-magnético. Cálculo realizado em CPA, com qx = 0.01.

Figura 9: Densidades espectrais obtidas em várias concentrações para um lme no sobre um substrato metálico não-magnético. Cálculo realizado em CPA, com qx = 0.05.

Temos uma situação situação contra-intuitiva, em que uma concentração de cerca de 0.1% de impurezas seria capaz de causar um efeito de aumento da ordem de 10% na energia de excitação. E, em casos um pouco diferentes, para x = 10%, essa aumento atinge patamares da ordem de 1000%.

De acordo com Ehrenreich[28], no CPA é possível atingir concentrações de 10% com bons resultados. Porém percebemos alguns discrepâncias. Para qx = 0, a diferença entre

o sistema cristalino e o desordenado chega a 1000%, quanto que ao qx = 0.05, a diferença

atinge 70%. Tal discrepância intuitiva não pode ser real.

Esse comportamento não é comumente observado em lmes de materiais magnéticos, que costumam ser bem descritos pelo modelo que utilizamos. Uma suspeita é que o intervalo de concentrações para o qual a CPA é aplicável ao cálculo de propriedades

dinâmicas seja mais restrito que aquele para a determinação de propriedades de equilíbrio. Para vericar essa hipótese realizamos cálculos com concentrações extremamente baixas de impurezas. Os resultados estão apresentados na gura 10. Note que, mais uma vez, a variação da energia de excitação é relativamente grande para variações de concentração muito pequenas.

Figura 10: Energia de excitação em função da concentração de impurezas para um lme no sobre um substrato metálico não-magnético. O cálculo foi realizado somente em CPA. Mais uma vez observamos que a energia de excitação muda muito entre cada con- centração de impurezas. Enquanto que para x = 0.01% a energia de excitação ocorre em aproximadamente ω = 0.002 e, para x = 5%, a energia é em ω = 0.06. Nosso re- sultado esperado para essa conguração é de que uma concentração tão pequena quanto x = 0.01% não poderia causar efeitos tão drásticos para a susceptibilidade de spin. Esse é um resultado sicamente contra-intuitivo.

Nesse ponto é importante relembrar a sequência de aproximações que adotamos para obter os resultados que acabamos de analisar. Primeiramente, adotamos a aproximação hχHF_χRP A_{i ≈ hχ}HF_ihχRP A_{i, que nos permitiu resolver a equação RPA numa forma idên-}

tica à de um sistema cristalino com a susceptibilidade HF substituída pela sua média conguracional. Em seguida, adotamos a CPA para calcular hGi e zemos a aproximação

hGGi = hGihGino cálculo da média conguracional de χHF_{. É difícil avaliar a qualidade}

de cada aproximação dessas, sobretudo a qualidade desta combinação de aproximações. Sendo assim, vamos adotar duas outras abordagens. Uma delas corresponde a tratar exatamente o efeito de uma única impureza sobre χHF_{. Com isso, poderemos avaliar a}

qualidade da aproximação hGGi = hGihGi no cálculo de χHF _{em CPA. Essa abordagem}

será apresentada no próximo capítulo. Em seguida, apresentaremos o cálculo de χRP A _de

um sistema desordenado no espaço real, sem nenhuma aproximação. Isso nos permitirá avaliar o efeito da aproximação hχHF_χRP A_{i = hχ}HF_ihχRP A_{i sobre a solução da equação}

3 Efeito de uma única impureza