Um Programa de Matemática para o Nível Elementar

Um relevante trabalho voltado aos anos iniciais de escolarização foi produzido por Dienes em parceria com Gaulin e Lunkenbein, no Centro de Pesquisas psico- matemáticas, da Universidade de Sherbrooke, em Quebec, no Canadá, em 1969, intitulado Un programme de mathématique pour le niveau élémentaire37.

Segundo a introdução do documento, esse programa é fruto de uma dezena de anos de experiências realizadas em várias partes do mundo por Zoltan Paul Dienes, com ajuda de colaboradores trabalhando sob a égide do Groupe International d’Etudes pour l’Apprentissage des Mathématiques (International Study Group for Mathematics Learning) - ISGML.

Uma característica anunciada deste programa é que o mesmo estará continuamente em evolução, a fim de ajustar-se aos mais recentes resultados das pesquisas tanto matemáticas como psicológicas. Comenta que devido ao trabalho

37 _{Um programme de mathématique pour le niveau élémentaire foi traduzido e disseminado pelo Grupo} de Estudo do Ensino de Matemática – GEEM, de São Paulo.

do Grupo Bourbaki38, uma nova concepção de matemática passou a se impor gradativamente, buscando conquistar sua unidade, apoiando-se na teoria dos conjuntos e no papel fundamental das estruturas matemáticas. Condena o ensino tradicional baseado sobre o adestramento e a memorização. Explica como as crianças trabalharão com conjuntos e as operações entre eles.

De acordo com os autores, “este programa é inseparável de alguns princípios psicológicos e pedagógicos. Sua aplicação deve ser acompanhada de uma mudança de atitude em relação ao ensino, a aprendizagem, papel do currículo, livros didáticos e exames” 39

(DIENES, GAULIN, LUNKENBEIN, 1969, p. 30, tradução da autora).

Defende a ideia de que se deve colocar as crianças em contato com concretizações múltiplas de uma mesma estrutura, apresentadas sob variados disfarces: jogos, histórias matemáticas, manipulação de materiais concretos, figuras, etc. Que os alunos devem ser levados a explorar e a manipular. Em resumo, o programa preconiza a aprendizagem das principais estruturas matemáticas, adaptado ao nível da criança.

A proposta inovadora considera a obra clássica de Piaget sobre as diferentes fases de desenvolvimento mental da criança, defendendo, para a aprendizagem, a utilização de atividades concretas variadas, buscando na psicologia respostas para questões sobre como ocorre a abstração e a generalização, e sobre o processo da simbolização dos conceitos matemáticos.

Os conteúdos são apresentados sob cinco encaminhamentos: Algébrico, Aritmético, Lógico, Geométrico e Probabilístico/Estatístico40, que se imbricam constantemente.

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Segundo Hernández (1999, p. 61), Nicolas Bourbaki é o pseudônimo de um grupo de alguns dos melhores matemáticos franceses, entre os quais devem ser incluídos H. Cartan, J. Dieudonné, C. Chevalley e A. Weil. Esse grupo publicou a partir do final dos anos 30 do século XX uma série de livros sob o título Elementos de Matemática, de grande repercussão, e na qual a palavra chave era estrutura matemática. Um dos objetivos fundamentais perseguidos parece ter sido a de apresentar uma versão coerente e unificada da matemática, mostrando como os diversos ramos da matemática (Aritmética, Álgebra e Geometria) que até então se desenvolviam de forma independente, poderiam ser organizados de acordo com critérios simples e bem articulados.

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Ce programme est indissociable de certains principes psychologique et pédagogiques. Son application doit s'accompagner d'un changement d'attitude vis-à-vis de l'enseignement, de l'apprentissage, du rôle des programmes, des manuels et des examens (DIENES, GAULIN, LUNKENBEIN, 1969).

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Cheminement algébrique; cheminement arithmétique; cheminement logique; cheminement géometrique e cheminement probabiliste et statistique Este último encaminhamento, ainda em construção no momento da divulgação do documento, conforme pode ser lido na página 36 desse material impresso, com a observação “contenu encore à l'étude”, isto é: o conteúdo ainda em estudo.

Na parte aritmética, os conteúdos propostos são: aprendizagem de número natural, a partir de noções de conjuntos; relações e operações numéricas; “Bases de numeração” 41 _{(grifo da autora); As quatro operações aritméticas; Comutatividade,} associatividade e distributividade; Generalização com números racionais positivos; Potências, logaritmos e raízes; Introdução dos números negativos; reta numérica; o plano e o espaço cartesiano; Generalização com polinômios; Formas proposicionais e conjuntos solução; Concretizações no domínio numérico de estruturas de grupo, anel, corpo; etc.

O detalhamento dos Princípios psicológicos subjacentes ao Programa considera que para estar em conformidade com as necessidades atuais e futuras, um Programa deve refletir não somente a concepção contemporânea da matemática (matemática estruturalista), mas igualmente os dados mais recentes da psicogênese.

Este programa traz como princípios psicológicos subjacentes, o trabalho de Piaget, conforme pode ser lido neste recorte:

Nós presumimos, segundo o trabalho de Piaget, a existência de estágios de desenvolvimento pensamento. A Criança do Ensino Elementar está localizada no estágio operatório concreto (ou intuitivo). No desenvolvimento de tais conhecimentos, pois insistimos na aprendizagem da matemática usando várias atividades concretas, um enfoque na criança e em uma metodologia adaptada (DIENES; GAULIN; LUNKENBEIN, 1969, p.36, tradução da autora)42.

Os autores do Programa insistem que para a abstração de um conceito são necessárias múltiplas concretizações e explica as fases de abstração de um conceito, à luz da teoria piagetiana, admitindo que a teoria de Dienes sobre o processo de abstração é análoga à teoria de Piaget sobre o desenvolvimento mental da criança e que sua proposta poderia ser comparada a uma aplicação microscópica dela.

São propostas três fases no processo de abstração: a fase do jogo livre, quando a criança brinca com o conceito ou explora e interage com o ambiente; a

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Este Programa, no segmento voltado a Aritmética contempla, como poderia ser previsto pelo trabalho que Dienes desenvolveu em Leicester, sistemas de numeração em diversas bases.

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Nous prenons pour acquis, à la suite des travaux de Piaget, l'existence de stades dans le développement de la pensé. L´enfant de l'Elementaire se trouve au stade operatóire concret (ou intuitif). Dans le développement de ces connaissances, nous insistons done sur un apprentissage de la mathématique faisant appel à des activités concrètes variées, sur une pédagogie centré sur lénfant et sur une méthodologie adapté.

segunda fase já supõe atividades mais estruturadas, que admitam certas restrições, ao modo dos jogos com regras; a terceira fase é a da abstração propriamente, que pode ocorrer a partir de uma série de situações aparentemente diferentes, mas conceitualmente equivalentes, ou seja, a partir de ‘concretizações múltiplas’ de uma estrutura conceitual, de onde se extrai mentalmente uma propriedade comum a estas situações.

Explica ainda as fases seguintes à abstração: a representação, a simbolização e a axiomatização. Essas fases, já explicitadas anteriormente neste estudo, são enunciadas detalhadamente e exemplificadas por Dienes, em seu livro As Seis etapas do processo de aprendizagem em matemática, publicado originalmente com o título Les six étapes du processos d’apprentissage em mathématique, em Paris, 1967.

Na perspectiva dos autores, a generalização de um conceito matemático será facilitada pela construção, pelas crianças, de isomorfismos entre várias configurações deste conceito, ou seja, quando ela descobre a existência de uma relação abstrata de semelhança entre situações aparentemente diferentes. Em outras palavras, quando ela percebe “que as equivalências entre as séries de movimentos de um jogo correspondem exatamente a equivalências correspondentes de outro jogo” (DIENES, 1975a, p. 38).

Ao abordar a generalização de um conceito ou de uma estrutura, explica que, paralelamente ao processo de abstração, o de generalização assume um papel muito importante na aprendizagem da matemática. Considera, também, que:

Um conceito em matemática, muitas vezes, pode ser aprendido em vários níveis de generalidade, por exemplo, podemos estudar a essência da numeração de posição apenas na base dez (como é tradicionalmente feito) ou em várias bases de uma só vez (como é sugerido cada vez mais) (DIENES; GAULIN; LUNKENBEIN, 1969, p.47, tradução da autora) 43.

Esse recorte do texto do programa, bem como a indicação do conteúdo “bases de numeração” no segmento aritmético, permitem supor que Dienes e seus companheiros na elaboração deste programa estavam convictos das vantagens da

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Un concept, en mathématique, peut souvent être appris à divers niveaux de genéralité, par exemple, selon que l'on étudie l'essentiel de la numération de position dans la base 10 seulement (comme on le faisait traditionnellement) ou bien dans plusieurs bases à la fois (comme on le suggère de plus en plus), ou selon que l'on apprend la géometrie ou l'algèbre linéaire dans deux, trois, quatre dimensions.

contagem em diversas bases para a compreensão do Sistema de numeração Decimal.

E esclarecido, também, a partir das experiências feitas em Adelaide, Austrália, que em certos casos, a aprendizagem de um conceito mais geral (no caso, o valor de posição dos algarismos em um número), inicialmente, é mais eficaz, embora contradiga parcialmente a regra clássica ‘do simples ao complexo’, aplicando-se naturalmente à base dez.

No caso do SND, a defesa dos autores sugere que após a formação do conceito do valor de posição a partir de contagens, agrupamentos e reagrupamentos em diferentes bases, o valor posicional dos algarismos em um número pode ser abstraído e generalizado, aplicando-se naturalmente à base dez.

Afinal, o SND é apenas um caso particular: um sistema de numeração que utiliza o valor de posição e a base dez. Ao variarem-se as bases, contempla-se, também, o princípio da ‘variabilidade matemática’, que segundo Dienes (1970, p. 190), “estabelece que todos os aspectos essenciais da estrutura do conceito devem ser variados, para que se possa focalizar o que é realmente constante”.

Ao abordar os princípios pedagógicos subjacentes ao programa, é lembrada a importância de colocar a criança como centro do processo de aprendizagem, a utilização de metodologias adequadas que assegurem, a cada aluno, a possibilidade de iniciar e concluir o processo de abstração e generalização necessárias, e a necessidade de preparação dos futuros mestres na perspectiva apresentada.

Oportunamente, é lembrado que para colocar esse programa em prática é necessário, antes de tudo, que o professor coloque o estudante como o centro do processo educativo, e para isso deve reexaminar o seu próprio papel de mestre. Ainda, que se pressupõe por parte das autoridades e dos professores, uma “mudança radical de atitude frente ao papel da educação, programas e exames” (DIENES, GOLDIN E LUNKENBEIN, 1969, p. 48, tradução da autora) 44.

Conclui o texto, sugerindo que o programa foi bem aceito e que as autoridades locais pretendem uma progressiva adoção na região de Sherbrooke. De um modo geral, todas as recomendações deste programa correspondem às proposições teórico-metodológicas para a aprendizagem da matemática, contidas

44 _{“Changement radical d’attitude vis-à-vis de l’enseignement, de leur propre rôle, des programmes et}

nos livros publicados por Dienes e ou em conjunto com Golding, Jeevens, e nos relatórios nos Jornais do ISGML.

Pela relação que este Programa tem com as proposições de Dienes, com as pesquisas psicogenéticas de Piaget e com a matemática estruturalista do Grupo Bourbaki, o presente estudo toma essa direção.