Vejamos uma aplicação de sistemas de equações lineares em cir-
cuitos elétricos�
Para isso precisamos considerar alguns conceitos físicos envol-
vendo capacitores e resistores: um capacitor é uma fonte de ener-
gia elétrica, como uma bateria, e um resistor é um elemento que dissipa energia elétrica, como uma lâmpada. Na figura 9(a) temos um diagrama esquemático de um circuito com um capacitor (re- presentado pelo símbolo ), e um resistor (representado pelo símbolo ) e uma chave� O capacitor tem um polo positivo (+) e um polo negativo (-)� Quando a chave está fechada, consideramos a corrente elétrica fluindo a partir do polo positivo do capacitor, através do resistor e de volta ao polo negativo do capacitor (indi- cado pela seta na figura 2.9(a)).
Figura 2.9
A corrente elétrica, que é um fluxo de elétrons por fios, tem um comportamento muito parecido com o do fluxo de água por canos� Um capacitor funciona como uma bomba que cria “pressão elétrica” para aumentar a taxa de fluxo dos elétrons e um resistor age como uma restrição num cano que reduz a taxa de fluxo dos elétrons� O termo técnico para a pressão elétrica é tensão elétrica, que usualmente é medida em volts (V)� A resistência é o quanto o resistor reduz a tensão elétrica e costuma ser medida em ohms (Ω)� A taxa de fluxo dos elétrons num fio é denominada intensidade de corrente e é usualmente medida em ampères (A)�
Leis físicas envolvidas:
lei de ohm: “Se uma corrente de I ampères passa por um resistor de R ohms, então resulta uma queda de tensão elétrica de E volts que é o produto da corrente pela resistência, ou seja, E RI= ”�
Uma rede elétrica padrão possui vários capacitores e resistores li- gados por alguma configuração de fios. Um ponto no qual três ou mais fios da rede se encontram é um nó da rede� Um ramo é um fio ligando
Texto baseado na aplicação de circuitos elétricos em sistemas de equações lineares que consta no livro de Álgebra linear contempo- rânea, dos autores Anton e Busby, editora Bookman, 2006�
dois nós e um laço fechado é uma sucessão de ramos conectados que começa e termina no mesmo nó; se não houver autointerseções, dize- mos que o laço fechado é uma malha. Na figura 9(b) temos um circuito elétrico com dois nós, duas malhas internas e um laço externo. À me- dida que a corrente flui pelo circuito elétrico, ela passa por aumentos e diminuições de tensão elétrica, que são as elevações e as quedas de voltagem, respectivamente� O comportamento da corrente nos nós e em torno de laços fechados é governado pos duas leis fundamentais.
lei das Correntes de kirChhoFF: “A soma das correntes fluindo para dentro de qualquer nó é igual à soma das correntes fluindo para fora do nó”�
lei das tensões de kirChhoFF: “Em uma volta em torno de qual- quer laço fechado, a soma das elevações de voltagem é igual à soma das quedas de voltagem”�
A lei das correntes de Kirchhoff é uma versão para circuitos elétricos do princípio da conservação do fluxo num nó, que enun- ciamos para redes gerais� Assim, por exemplo, as correntes no nó da figura 10(a) satisfazem a equação = +I1 I2 I3�
Em geral não é possível saber de antemão os sentidos nos quais estão fluindo as correntes em circuitos com vários laços e capacitores; por isso, na análise de circuitos, é costume atribuir sentidos arbitrários aos fluxos das correntes nos vários ramos; os cálculos matemáticos determinam se os sentidos atribuídos estão, ou não, corretos� Além de atribuir sentidos aos fluxos de corrente, a lei de tensões de Kirchho- ff requer um sentido de percurso para cada laço fechado. A escolha é sempre arbitrária, mas, para obter alguma consistência, tomaremos este sentido como sendo sempre o horário, vejamos a figura 2.10 (b).
Figura 2.10
Também introduzimos as seguintes convenções:
Se o sentido associado à corrente através do resistor é o mes- •
mo que o sentido ao laço, então ocorre uma queda de volta- gem no resistor, e, se o sentido associado à corrente através do resistor é o oposto do sentido associado ao laço, então ocorre uma elevação de voltagem no resistor.
Se o sentido associado à corrente através do laço é de – para •
+ num capacitor, então ocorre uma elevação de voltagem no capacitor, e, se o sentido associado à corrente através do laço é de + para – num capacitor, então ocorre uma queda de vol- tagem no capacitor�
Seguindo essas convenções, ao calcular intensidades de cor- rentes, as correntes cujos sentidos de fluxo foram atribuídos corre- tamente serão positivas, e aquelas cujo fluxo foi atribuído incorre- tamente serão negativas�
Exemplo 21 (aplicado)
Seja um circuito elétrico com uma malha, conforme a figura 2.11. Determinar a corrente I do circuito�
Figura 2.11
Como o sentido atribuído à corrente pelo resistor é igual ao sentido do laço, temos uma queda de voltagem no resistor. Pela lei
de Ohm, esta voltagem é E RI 3I= = � Também, como o sentido do
laço é de - para + no capacitor, temos um aumento de voltagem de 6 volts no capacitor. Assim, pela lei das tensões de Kirchhoff, segue que 3I 6= � Logo a corrente é igual a I 2= A� Como Ié positivo, está correto o sentido atribuído ao fluxo da corrente.
Exemplo 22 (aplicado)
Consideremos um circuito elétrico com três laços fechados, confor- me a figura 2.12. Determinar as correntes I , I e I1 2 3 do circuito�
Usando os sentidos atribuídos às correntes e a lei das corren- tes de Kirchhoff, temos uma equação para cada nó (corrente para dentro = corrente para fora):
Nó A ⇒ I1+I =I2 3
Nó B ⇒ I3 = +I1 I2
Contudo, essas equações realmente são iguais, pois ambas po- dem ser escritas como I1+ − =I2 I3 0�
Para encontrar valores únicos para as correntes, vamos pre- cisar de mais duas equações, que obtemos da lei das tensões de Kirchhoff. Podemos ver, pelo diagrama do circuito, que há três la- ços fechados, um dos quais é a malha interna à esquerda com um capacitor de 50V, outro a malha interna à direita com um capacitor de 30V, e o terceiro o laço externo que contém ambos capacitores. Assim, a lei das tensões de Kirchhoff de fato fornece três equações. Num percurso de horários dos laços, as quedas e as elevações de voltagem nesses três laços são as seguintes:
Elevação de voltagem Queda de voltagem Malha interna à esquerda 50 5I1 + 20I3
Malha interna à direita 30 + 10I2 + 20I3 0 Laço externo 30 + 50 + 10I2 5I1
Reescrevendo estas condições, resulta nos sistemas:
+ = + = − − = 1 3 2 3 1 2 5I 20I 50 10I 20I 30 5I 10I 80 ⇒ + − = + = + = − 1 2 3 1 3 2 3 I I I 0 5I 20I 50 10I 20I 30
No primeiro sistema, podemos observar que a diferença das duas equações resulta na terceira equação, assim, a última equa- ção é desnecessária. Combinando as duas primeiras com a equação obtida anteriormente, forma-se o último sistema� E resolvendo-o por eliminação de Gauss, resulta que I1=6A, I2 = −5A e I3=1A�
Como I2 é negativo, vemos que o sentido da corrente é o oposto
do indicado na figura 2.12.
Aplique a eliminação de Gauss no sistema do exemplo, verifi- cando a solução dada.