35 → 35035 35035 : 13 = 2695
2695 : 11 = 245 245 : 7 = 35
1.12
Uma Aplicação Geométrica
Um retângulo de lados inteiros 6 e 10 é dividido em quadrados de lado 1. Um raio de luz entra no retângulo por um dos vértices, na direção da bissetriz do ângulo reto, e é refletido sucessivamente nos lados do retângulo. Quantos quadrados são atravessados pelo raio de luz?
Observe que seja qual for o trajeto, o raio deve atravessar um múltiplo de 6 quadrados, cada vez que vai do lado de baixo até o
lado de cima, ou de cima para baixo (mesmo ricocheteando). Isso também é verdade para os trajetos que vão de um lado para outro, só que aí deve ser um múltiplo de 10 quadrados. Na primeira vez que o raio atinge um vértice (depois da entrada) ele percorreu um número de quadrados múltiplo de 10 e de 6, na verdade o menor múltiplo comum pois é a primeira vez que isso acontece. Como mmc(10; 6) = 30, o raio percorreu 30 quadrados.
Observação. Para que essa solução esteja correta temos que garantir
que o raio de luz não passe pelo mesmo quadrado duas vezes. Uma forma de ver isto é colorir os quadrados alternadamente, como no tabuleiro de jogo de damas. Observe que o raio atravessa quadrados de mesma cor até refletir, quando então passa a atravessar quadrados da outra cor. Assim, raios paralelos passam por quadrados da mesma cor e raios perpendiculares passam por quadrados de cores diferentes. Se o raio de luz passar pelo centro de uma casa anteriormenete visitada haveria dois raios perpendiculares passando por casas da mesma cor, o que já vimos que não pode acontecer.
SEC. 1.12: UMA APLICAÇÃO GEOMÉTRICA 65 Pergunta 1: Se eu quiser que o raio atravesse todos os quadrados, que di-
mensões deve ter o meu retângulo?
Pergunta 2: Se eu quiser que o raio atravesse o retângulo sem ricochetear, que dimensões deve ter o meu retângulo?
Uma outra forma de visualizar o problema é “pavimentar” o plano com cópias do retângulo (veja figura adiante). Fica bastante aparente que tenho que percorrer 3 vezes a largura (3 × 10 = 30) e 5 vezes a altura (5 × 6 = 30) do retângulo.
Esta visualização dá uma pista para responder à pergunta 2 acima.
66666
10 10 10
30
Capítulo 2
Aritmética Modular
Uma Introdução Passo a Passo
Os conceitos de divisibilidade, mdc e mmc que acabamos de ver podem parecer bem simples, mas são a semente de uma parte muito interessante da Matemática. Vamos abordar algumas idéias através de questões e respostas, passo a passo.
A tabela da página seguinte mostra os números naturais (e o zero) até 115 colocados em determinada ordem. Você acha que todos os números naturais poderiam entrar nesta tabela? (Se tivéssemos papel e tempo suficiente, é claro).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 Tabela 1
69 1.1. Em que coluna você colocaria:
(a) o número 116 ? (b) o número 117 ? (c) o número 119 ? (d) o número 200 ? (e) o número 223 ? (f) o número 15792732 ? (g) o número 1359735 ?
1.2. Nessa tabela qual o número que fica: (a) imediatamente abaixo do número 53 ? (b) imediatamente acima do número 107 ?
(c) imediatamente abaixo do número 563 ? (d) imediatamente acima do número 107 ?
(e) imediatamente acima do número 15792732 ? (f) imediatamente abaixo do número 15792732 ?
(g) 5 linhas abaixo do número 114 (mas na mesma coluna)? (h) 5 linhas acima do número 1421 (mas na mesma coluna)? 1.3. Como você descreveria os números da coluna do 0 ?
1.4. Se você somar dois números quaisquer da coluna do 0, em que coluna vai cair o resultado?
1.5. Observe que a tabela apresentada pode ser considerada como uma “tabuada”. Se quisermos saber a soma de 84 + 3 basta
encontrar o número que está na linha do 84 e na coluna do 3, isto, é 87.
1.6. Na questão 1.3 você deu uma descrição da primeira coluna: são os múltiplos naturais de 4 (lembre-se que estamos incluindo o 0). Podemos escrever isso em “Matematiquez”:
“O conjunto dos números da forma 4n, onde n é um número natural”
ou ainda
{4 · n | n ∈ N}.
Se quisermos descrever os números da segunda coluna (a coluna do 1) podemos escrever:
“O conjunto dos números naturais que, quando divididos por 4, dão resto 1” ou
“O conjunto dos números da forma 4 · n + 1, onde n ∈ N” ou ainda
{4 · n + 1 | n ∈ N}
Observação. Você deve ter notado que passamos a usar a
notação de ponto para indicar a multiplicação. Isso se deve a que agora estamos indicando multiplicação entre símbolos literais (letras), em que o símbolo × poderia gerar confusão. Para indicar a multiplicação entre números continuaremos a usar ×, pois o ponto poderia nos confundir - embora usemos vírgulas para números decimais menores do que 1 as máquinas de calcular que usamos utilizam o ponto.
71 1.7. Como você descreveria os elementos da coluna embaixo do 2? 1.8. E da coluna embaixo do 3 ?
1.9. Se você escolher dois números da coluna do 3 e subtrair o menor do maior, em que coluna estará a diferença ?
1.10. Se você escolher dois números da coluna do 2 e subtrair o menor do maior, em que coluna estará a diferença ?
1.11. Como você escreveria um resultado geral que se aplique a pares que estão na mesma coluna?
1.12. Se você escolher dois números da coluna do 3, em que coluna estará a soma desses números?
1.13. Se você escolher um número da coluna do 2 e um número da coluna do 3, em que coluna estará a soma desses números?
Vamos organizar uma tabela de adição. Algumas casas estão pre- enchidas, outras ficaram para você:
+ números na números na números na números na
mod4 coluna do 0 coluna do 1 coluna do 2 coluna do 3
números na coluna do 0
números na números na
coluna do 1 coluna do 2
números na números na números na
coluna do 2 coluna do 0 coluna do 1
números na coluna do 3
Tabela 2
Essa tabela é chamada de “adição módulo 4” , ou “soma mó- dulo 4” . Quando dois números têm o mesmo resto quando divididos por 4, dizemos que eles são congruentes módulo 4. Os números congruentes módulo 4 são aqueles que estão na mesma coluna da tabela 1.
Em geral, escrevemos 47 ≡ 43 mod 4. Isto quer dizer que o resto de 47 : 4 é o mesmo de 43 : 4. Usando a questão 1.11 podemos escrever:
47 ≡ 43 mod 4 é o mesmo que dizer que:
47 − 43 é múltiplo de 4.
Exemplo: Mostre que 107 ≡ 83 mod 4. Solução:
73
Agora experimente você:
2.1. Mostre que 158 ≡ 126 mod 4. 2.2. Mostre que 113 ≡ 77 mod 4. 2.3. Mostre que 15107 ≡ 34803 mod 4. 2.4. Mostre que 99999 ≡ 55555 mod 4. 2.5. Mostre que 15807 ≡ 4575 mod 4.
Outra forma de escrever a tabela acima é (você completa o resto): + mod4 0 1 2 3 0 1 2 1 3 0
Para que o tracinho em cima dos números? Note que não estamos falando do número 1 mas de qualquer número que esteja na coluna do 1 na tabela do módulo 4. A soma também não é a soma que estamos acostumados. Depois de somarmos temos que verificar em que coluna estará o resultado.
Exemplo: 473 + 486 473 ≡ 1 mod 4 486 ≡ 2 mod 4
473 + 486 = 959 ≡ 3 mod 4
O resultado estará na coluna do 3.
A tabela adiante tem 5 colunas (e não 4 como a tabela 1). Você conseguiria fazer uma tabela semelhante àquela que fizemos para a primeira tabela (tabela 2)?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 Tabela 3
75 Exemplo: Mostre que 107 ≡ 82 mod 5.
Solução:
107 − 82 = 25 e 25 é múltiplo de 5.
Experimente você:
3.1. Mostre que 158 ≡ 123 mod 5. 3.2. Mostre que 112 ≡ 77 mod 5. 3.3. Mostre que 1510 ≡ 34805 mod 5. 3.4. Mostre que 12380 ≡ 55555 mod 5. 3.5. Mostre que 15801 ≡ 4576 mod 5.
Observação. A esta altura dos acontecimentos você já percebeu que
podemos fazer tabelas para todos os números naturais.
Na tabela 1, escrevemos os números de 4 em 4. Mostramos que todos os números naturais podem ser escritos na forma:
4 · n ou 4 · n + 1 ou 4 · n + 2 ou 4 · n + 3 em que n ∈ N.
Na tabela 3, vimos que todos os naturais podem ser escritos na forma:
Baseado no que foi feito até agora, responda:
1. Se tomassemos uma tabela que tivesse 7 colunas, até que número iria a primeira linha?
2. Em que coluna estaria o número 48? 3. Em que coluna estaria o número 1001?
4. Que formas essa tabela nos sugeriria para escrever os números naturais (como na observação acima) ?
Até agora só trabalhamos com os números naturais e incluímos o zero. Será que poderíamos estender nossa tabela para os números negativos? −20 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Tabela 4
77 A tabela 4 mostra que isto é possível. Acabamos de estender a tabela 1 “para trás” e agora não temos só números naturais - pode- mos perceber que poderemos incluir nesta tabela todos os números inteiros, positivos, 0 e negativos. Estamos lidando com o conjunto dos números inteiros, o conjunto Z.
Quais os números que estão na coluna do 0? Ainda são os múltiplos de 4.
Mas a divisão que trabalhamos até agora não deixa resto negativo, lembre-se da equação de Euclides (a nossa equação (1.1)):
D = d × q + r , r < d , d > 0 ; D, d, q, r ∈ N ∪ {0},
onde:
• D é o dividendo;
• d é o divisor (que deve ser diferente de 0); • q é o quociente;
• r é o resto (que deve ser menor que d).
Entretanto, ainda podemos falar em módulo d ! Exemplos:
1. 34 ≡ −14 mod 4, pois 34−(−14) = 34+14 = 48 e 48 é múltiplo de 4.
2. −9 ≡ −33 mod 4, pois −9 − (−33) = −9 + 33 = 24 e 24 é múltiplo de 4.
Agora é com você.
4.1. Mostre que 36 ≡ −36 mod 4. 4.2. Mostre que −34 ≡ +14 mod 4. 4.3. Mostre que 334 ≡ −714 mod 4. 4.4. Mostre que 45 ≡ −35 mod 4. 4.5. Mostre que 31 ≡ −17 mod 4. 4.6. Mostre que 31 ≡ −1017 mod 4.
Observe que, na tabela 4, o número 3 e o número −3 estão em colunas diferentes, mas os números 22 e−22 estão na mesma coluna; isso mostra que devemos ter cuidado - as situações variam de tabela para tabela.
Uma forma simples de localizar números negativos na tabela é usar um artifício conhecido, somar o divisor, no caso 4.
Exemplo:
Em que coluna estará o número−1437 ? Solução:
Se fosse −1436 a resposta seria fácil: na coluna do 0 pois 1436 é múltiplo de 4. Se aceitarmos que o resto possa ser negativo, desde que não fique maior do que−3, poderemos escrever uma equação parecida com a equação (1.1) que chamaremos de equação (2.1):
79
D = d × q + r, −d < r < d, d > 0; D, q, r ∈ Z, d ∈ N (2.1)
Repare que os números D, q e r agora podem ser negativos, d continuará sendo positivo (por conveniência) e o resto r pode ir de
−d a d .
No nosso exemplo, −1437 = 4 × (−359) − 1, o que nos dá resto igual a −1. Para saber em que coluna −1437 estará, basta somar 4 ao seu resto. Assim, como −1 estará na coluna (−1) + 4 = 3 segue que−1437 também estará na coluna do 3.
Agora é com você.
Em que coluna da tabela do módulo 4 (tabela 4) se encontra: 4.7. o número−147 ?
4.8. o número−1487 ? 4.9. o número−140 ? 4.10. o número−473 ? 4.11. o número−4732 ?
Observação. Note que, ao aceitarmos valores negativos para r perde-
mos a unicidade. De fato, agora temos a possibilidade de um resto positivo e um resto negativo. Isso não é um problema, na verdade isso é necessário para podermos localizar os números negativos na nossa tabela.
Vamos estender a tabela do módulo 5 (tabela 3)? −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tabela 5
Em que coluna da tabela 5 você colocaria: 5.1. o número−147 ?
5.2. o número−1487 ? 5.3. o número−140 ? 5.4. o número−473 ? 5.5. o número−4732 ?
81
Vamos estender a tabela do módulo 7 ?
−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Tabela 6
Estenda a tabela nos dois sentidos (positivo e negativo). Em que coluna da tabela 6 se encontra:
6.1. o número−147 ? 6.2. o número−1487 ? 6.3. o número−140 ? 6.4. o número−473 ?
6.5. o número−4732 ?
Até agora nos aproveitamos do fato de que dois números na mesma coluna têm a mesma forma. Por exemplo, na tabela 1:
• 473 fica na coluna do 1, pois é da forma 4 × 118 + 1.
• 1013 também fica na coluna do 1, pois é da forma 4 × 253 + 1.
Os dois são da forma 4 · n + 1.
Se subtraímos dois números desta forma temos:
(4a + 1) − (4b + 1) = 4a + 1 − 4b − 1 = 4(a − b) que será sempre um múltiplo de 4.
A soma também “se comportou bem”, pois os números estão sendo representados pelo resto da divisão por 4. Por exemplo:
473 = 4 × 118 + 1 → 473 fica na coluna do 1 → 473 é representado pelo 1.
1027 = 4 × 256 + 3 → 1027 fica na coluna do 3 → 1027 é representado pelo 3.
A soma 473 + 1027 ficará na coluna do 0, pois na tabela que constru- ímos:
1 + 3 = 0
Vamos tentar estender nossas idéias para a multiplicação modu- lar.
83 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Tabela 7
7.1. Escolha um número da coluna do 1 e outro da coluna do 3. Multiplique estes dois números. Em que coluna caiu o produto? Exemplo:
9 × 7 = 63; 63 está na coluna do 3, pois 63 = 4 × 15 + 3.
7.2. Repita a experiência. O produto cai sempre na mesma coluna? 7.3. Experimente pegar dois números da coluna do 3. Em que coluna
cai o produto? Repita a experiência.
Se você fez as contas direito reparou que nos itens 7.1 e 7.2 o resultado cai na coluna do 3. Nenhuma surpresa, pois 1 × 3 = 3.
Já no item 7.3, os produtos recaem na coluna do 1. Como 3 × 3 = 9 e 9 ≡ 1 mod 4, podemos desconfiar que a multiplicação também vai se “comportar direitinho” na nossa aritmética dos módulos. Em vez de desconfiar, vamos demonstrar.
Vamos primeiro ver um caso simples. Vamos escolher um número da coluna do 2 e um número da coluna do 3. Eles podem ser escritos
como:
4 · a + 2 e 4 · b + 3.
O seu produto é
(4 · a + 2) · (4 · b + 3) = 16 · a · b + 12 · a + 8 · b + 6
Observe que os termos literais (que contém letras) são todos múl- tiplos de 4. Resta-nos o 6, que está na coluna do 2, pois 6 ≡ 2 mod 4. Podemos fazer o mesmo raciocínio para todos os números e fabri- car uma tabuada de multiplicação módulo 4.
× mod4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Tabela 8
Você pode usar a tabela do módulo 5 (tabela 3) para fabricar a tabuada de multiplicação módulo 5. Já colocamos alguns resultados, você preenche o resto.
85 × mod5 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 1 3 3 4 4 2 1 Tabela 9 Exercícios 1. Fabrique a tabela do 7.
2. Fabrique a tabuada de adição módulo 7.
3. Fabrique a tabuada de multiplicação módulo 7.
Nos exemplos a seguir, veremos casos em que se aplicam as tabuadas e outros em que seu uso não é necessário.
Exemplos:
1. Qual o resto de 712: 4 ? Solução:
Poderíamos calcular 712 = 13841287201 e verificar que o resto é 1; mas podemos fazer de forma mais simples.
7 ≡ 3 mod 4, então podemos trabalhar com 312. 312= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Mas olhando a tabuada de multiplicação módulo 4, verificamos que 3 × 3 ≡ 1 mod 4. Chegamos à conclusão que
712≡ 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 mod 4, isto é, 712≡ 1 mod 4. O resto de 712: 4 é 1.
2. Qual o resto de 415: 7 ? Solução:
Se você fez a tabuada de multiplicação módulo 7 podemos cal- cular:
42≡ 2 mod 7,
43≡ 2 × 4 mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7, 415=435 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7. O resto de 415: 7 é 1.
Não precisaremos sempre formar a tabuada.
3. Qual o resto de 730: 11 ? Solução:
Vamos calcular passo-a-passo:
72= 49 ≡ 5 mod 11 (pois 49 = 4 × 11 + 5) 74≡ 52mod 11 ≡ 25 mod 11 ≡ 3 mod 11 78≡ 32mod 11 ≡ 9 mod 11
716≡ 92 mod 11 ≡ 81 mod 11 ≡ 4 mod 11
87 730≡ 36 × 15 mod 11 ≡ 3 × 4 mod 11 ≡ 12 mod 11 ≡ 1 mod 11 O resto de 730: 11 é 1.
4. Mostre que 41 divide 220− 1.
(Sugestão: prove que 220≡ 1 mod 41.) Solução(uma delas):
210= 1024 ≡ 40 mod 41. Mas 40 ≡ −1 mod 41 220= 210× 210≡ (−1) × (−1) mod 41 ≡ 1 mod 41. Como 220≡ 1 mod 41 220− 1 é múltiplo de 41. Exercícios
1. Diga se é Verdadeiro ou Falso: (a) 19 ≡ 7 mod 2.
(b) 52 ≡ −18 mod 10. (c) 1213 ≡ 212 mod 13.
2. Se 1066 ≡ 1776 mod m, quais são os possíveis valores de m? 3. Ache todos os inteiros x, tais que 0 < x < 15 e
3 · x ≡ 6 mod 15.
4. Dê todos os inteiros positivos x menores que 100, tais que x ≡ 8 mod 13.
5. Ache o resto da divisão 250: 7. 6. Mostre que 89 divide 244− 1.
Capítulo 3
Material Complementar
A seqüência de Fibonacci
A seqüência de Fibonacci é:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .
isto é, cada termo é igual à soma dos dois anteriores (com exceção dos dois primeiros que são iguais a 1). Costumamos simbolizar os termos desta seqüência por Fn. Por exemplo, F1 = 1 e F7= 13.
A formação da seqüência pode ser expressa por:
Fn= Fn−1+ Fn−2, n ∈ Z.
Exercícios Resolvidos
1. Mostre que dois termos seguidos da seqüência de Fibonacci são
primos entre si, i.é., mdc(Fn, Fn−1) = 1. Demonstração:
Utilizando o algoritmo de Euclides obtemos a seguinte seqüência:
Fn= Fn−1+ Fn−2 onde Fn−2 é o resto;
Fn−1= Fn−2+ Fn−3 onde Fn−3 é o resto;
. . . e assim por diante. Por indução, esta seqüência terminará com resto 1.
Por exemplo, calculando o mdc(89, 55): 89 = 55 + 34 55 = 34 + 21 34 = 21 + 13 21 = 13 + 8 13 = 8 + 5 8 = 5 + 3 5 = 3 + 2 3 = 2 + 1
91 2. Mostre que dois números alternados da seqüência de Fibonacci são
primos entre si, i.é., mdc(Fn, Fn−2) = 1.
Demonstração:
Utilizando o algoritmo de Euclides obtemos a seguinte seqüência:
Fn= Fn−1+ Fn−2⇒ Fn= Fn−2+ Fn−3+ Fn−2 Fn= 2 · Fn−2+ Fn−3 onde Fn−3 é o resto; Fn−2= Fn−3+ Fn−4 onde Fn−3 é o resto; . . . e o problema se reduz ao ítem anterior.
3. Mostre que F5k é múltiplo de 5 para qualquer valor de k.
Demonstração:
Queremos mostrar que F5k é múltiplo de 5. Usaremos a indução sobre k.
Se k = 1, F5k= F5 = 1.
Se F5k é múltiplo de 5 o que acontece com F5(k+1) = F5k+5?
F5k+5= F5k+4+ F5k+3= F5k+3+ F5k+2+ F5k+2+ F5k+1
F5k+5= F5k+3+ 2 · F5k+2+ F5k+1
F5k+5= F5k+2+ F5k+1+ 2 · F5k+1+ 2 · F5k+ F5k+1 = F5k+2+ 4 · F5k+1+ 2 · F5k
F5k+5= F5k+1+ F5k+ 4 · F5k+1+ 2 · F5k= 5 · F5k+1+ 2 · F5k As duas parcelas à direita são múltiplos de 5 (a segunda parcela pela hipótese de indução) logo, F5k é múltiplo de 5 para qualquer valor de k.
No capítulo 2 você construiu a tabela de multiplicação módulo 5 (tabela 9): × mod5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1
Observe que para obter 0 tivemos que ter 0 como fator. Também fabricamos a tabela da multiplicação módulo 4 (tabela 8):
× mod4 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1
Você consegue encontrar um produto que dê 0 com os dois fatores diferentes de 0 ? Isto é o que chamamos um divisor de 0.
93 Exemplos:
1. Você encontra divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo 7 ?
Solução:
Não há divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo 7. 2. Você encontra divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo
6 ?
Solução: Sim, o 2 e o 3.
3. Em que tabelas você encontra divisores de 0 ? e quem são os divisores 0?
Solução:
Encontramos divisores de 0 na tabela de multiplicação módulo
n se e só se n não for primo. Se o número n for composto os
divisores de 0 são os números m para os quais mdc(m, n) > 1.
A Função
φ de Euler
Dizemos que um número n é co-primo com m se mdc(m, n) = 1, isto é, se m e n são primos entre si. A função φ de Euler conta, para um número natural n, os naturais, menores que n e que são co-primos com ele, isto é,
Exemplos: 1. φ(6) = 2 pois : mdc(1, 6) = 1, mdc(2, 6) = 2, mdc(3, 6) = 3, mdc(4, 6) = 2, mdc(5, 6) = 1. 2. φ(8) = 4 pois : mdc(1, 8) = 1, mdc(2, 8) = 2, mdc(3, 8) = 1, mdc(4, 8) = 4, mdc(5, 8) = 1, mdc(6, 8) = 2, mdc(7, 8) = 1. 3. Calcule: (a) φ(1) = (g) φ(7) = (b) φ(2) = (h) φ(8) = (c) φ(3) = (i) φ(9) = (d) φ(4) = (j) φ(10) = (e) φ(5) = (k) φ(11) = (f) φ(6) = (l) φ(12) = Solução:
95 (b) φ(2) = 1, o conjunto de co-primos é {1}
(c) φ(3) = 2, o conjunto de co-primos é {1; 2} (d) φ(4) = 2, o conjunto de co-primos é {1; 3}
(e) φ(5) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 2; 3; 4} (f) φ(6) = 2, o conjunto de co-primos é {1; 5}
(g) φ(7) = 6, o conjunto de co-primos é {1; 2; 3; 4; 5; 6} (h) φ(8) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 3; 5; 7}
(i) φ(9) = 6, o conjunto de co-primos é {1; 2; 4; 5; 7; 8} (j) φ(10) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 3; 7; 9}
(k) φ(11) = 10, o conjunto de co-primos é
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
(l) φ(12) = 4, o conjunto de co-primos é {1; 5; 7; 11}
4. Quais são os números naturais n para os quais φ(n) = n − 1 ? Solução: n deve ser primo.
Equações com Números Inteiros:
Equações
Diofantinas
Vamos agora trabalhar com equações com números inteiros. Elas são chamadas diofantinas em homenagem a Diophante de Alexan- dria, matemático grego que viveu nos meados do século III.
Diophante é considerado como um dos fundadores da álgebra. Es- creveu uma obra sobre Aritmética em 13 volumes e dos quais apenas
seis se preservaram. Seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos.
Os símbolos criados por Diophante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser represen- tadas com abreviações.
Procuraremos números inteiros que satisfaçam às expressões al- gébricas.
Exemplos:
1. Determine uma solução inteira da equação: 5X + 3Y = 1
Solução:
Nestes primeiros exemplos, a idéia é procurar por meio de ten- tativa e erro. Os primeiros são simples, depois começa a com- plicar. Existe mais do que uma solução, logo as respostas devem ser verificadas.
Por exemplo
X = −1 Y = 2.
2. Determine uma solução inteira da equação: 17X + 5Y = 4
97 Por exemplo
X = −3 Y = 11
3. Determine uma solução inteira da equação: 3X + 6Y = 4 Solução:
É impossível. O mdc(3, 6) = 3 logo o termo à direita tem que ser múltiplo de 3, o que não acontece.
4. Determine uma solução inteira da equação: 119X + 35Y = 6
Pista: Qual o mdc(119, 35) ? Por que isso é importante ? Solução:
É impossível. O mdc(119, 35) = 7 logo o termo à direita tem que ser múltiplo de 7, o que não acontece.
5. Determine uma solução inteira da equação: 119X + 35Y = 14
Solução:
O mdc(119, 35) = 7 e o termo à direita é múltiplo de 7, logo podemos simplificar para:
Por exemplo
X = 1 Y = −3
6. Suponha que mdc(a, b) não divida o número inteiro c. Mostre que a equação:
aX + bY = c
não admite soluções inteiras. Solução:
aX +bY será sempre múltiplo de mdc(a, b), logo c também deve
ser, caso contrário, a equação não tem solução.
Observação. O que vem a seguir depende do entendimento do Algo-
ritmo de Euclides, abordado na apostila 1.
Vamos encontrar uma solução para a equação: 5X + 3Y = 1
Começamos executando o algoritmo de Euclides (veja o capítulo 1).
Quociente 1 1
5 3 2
Resto 2 1
mdc(5, 3) = 1
99
5 = 1 × 3 + 2 ⇒ 2 = 5 − 1 × 3 3 = 1 × 2 + 1 ⇒ 1 = 3 − 1 × 2 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 1.
1 = 3 − 1 × 2
Substituimos o 2 por seu valor na outra equação: 1 = 3 − 1 × 2 = 3 − 1 × (5 − 1 × 3) O que nos dá
1 = 3 − 1 × 5 + 1 × 3 = 2 × 3 − 1 × 5
Observe que conseguimos uma solução inteira para nossa equação !
X = −1 Y = 2
De fato 5 · (−1) + 3 · 2 = 1.
Acabamos de encontrar uma solução inteira para 5X + 3Y = 1
a saber
X = −1 Y = 2
Exemplo: Encontre soluções para as equações:
Observação. As soluções das equações a seguir se obtém por multi-
1. 5X + 3Y = 3 Solução: X = −3 Y = 6 2. 5X + 3Y = 7 Solução: X = −7 Y = 14 3. 5X + 3Y = −2 Solução: X = 2 Y = −4 4. 5X + 3Y = −127 Solução: X = 127 Y = −254
Podemos agora enunciar a seguinte proposição:
Proposição. Sejam a,b e c números inteiros diferentes de 0. A
equação:
aX + bY = c
101 Outro exemplo: Determine números X e Y inteiros que satisfaçam às equações (ou mostre que é impossível):
24X + 9Y = 6
Como mdc(24, 9) = 3 e 3 divide 6, a equação terá soluções. Mais ainda, a equação é equivalente a:
8X + 3Y = 2 Quociente 2 1
8 3 2
Resto 2 1
mdc(8, 3) = 1
Quais foram as etapas ?
8 = 2 × 3 + 2 ⇒ 2 = 8 − 2 × 3 3 = 1 × 2 + 1 ⇒ 1 = 3 − 1 × 2 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 1.
1 = 3 − 1 × 2
Substituimos o 2 por seu valor na outra equação: 1 = 3 − 1 × 2 = 3 − 1 × (8 − 2 × 3) O que nos dá
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 8X + 3Y = 1
X = −1 Y = 3
Mas nossa equação é:
8X + 3Y = 2 Fazemos: X = −2 Y = 6 De fato, 8 · (−2) + 6 · 3 = 2. Exemplos:
Determine números X e Y inteiros que satisfaçam às equações (ou mostre que é impossível):
1. 7X + 4Y = 5 Solução:
mdc(4, 7) = 1
Quais foram as etapas ?
7 = 4 + 3 4 = 3 + 1 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 1.
103 Substituimos o 3 por seu valor na outra equação:
1 = 4 − (7 − 4) O que nos dá
1 = 2 × 4 − 1 × 7
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 7X + 4Y = 1
X = −1 Y = 2
Mas nossa equação é:
7X + 4Y = 5 Fazemos: X = −5 Y = 10 De fato 7 · (−5) + 10 · 4 = 5. 2. 8X + 6Y = 12 Solução: mdc(8, 6) = 2
Quais foram as etapas ?
Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 2. 2 = 8 − 6 O que nos dá
2 = 1 × 8 − 1 × 6
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 8X + 6Y = 2
X = 1 Y = −1
Mas nossa equação é:
8X + 6Y = 12 Fazemos: X = 6 Y = −6 De fato 8 · (6) + 6 · (−6) = 12. 3. 8X + 12Y = 18 Solução:
mdc(8, 12) = 4 que não divide 18. Logo a equação não tem
solução. 4. 7X + 3Y = 2
105
mdc(7, 3) = 1
Quais foram as etapas ?
7 = 2 × 3 + 1 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 2. 1 = 7 − 2 × 3
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 7X + 3Y = 1
X = 1 Y = −2
Mas nossa equação é:
7X + 3Y = 2 Fazemos: X = 2 Y = −4 De fato 7 · (2) + 3 · (−4) = 2. 5. 8X + 12Y = 16 Solução: mdc(8, 12) = 4
12 = 8 + 4 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 4.
4 = 12 − 8
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 8X + 12Y = 4
X = −1 Y = 1
Mas nossa equação é:
8X + 12Y = 16 Fazemos: X = −4 Y = 4 De fato 8 · (−4) − 12 · 4 = 16. 6. 14X + 24Y = 8 Solução: mdc(14, 24) = 2
Quais foram as etapas ?
107 14 = 10 + 4
10 = 2 × 4 + 2 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 2.
2 = 10 − 2 × 4
2 = 10 − 2 × (14 − 10) = 3 × 10 − 2 × 14 2 = 3 × (24 − 14) − 2 × 14 = 3 × 24 − 5 × 14
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 14X + 24Y = 2
X = −5 Y = 3
Mas nossa equação é:
14X + 24Y = 8 Fazemos: X = −20 Y = 12 De fato 14 · (−20) − 24 · 12 = 8. 7. 15X + 12Y = 20 Solução:
mdc(15, 12) = 3 que não divide 20. Logo a equação não tem
8. 4X + 6Y = 9 Solução:
mdc(4, 6) = 2 que não divide 9. Logo a equação não tem
solução. 9. 3X + 6Y = 9
Solução:
mdc(3, 6) = 3
Quais foram as etapas ?
6 = 2 × 3 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 3.
Neste caso a reconstrução é extremamente simples: 3 = 3
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 3X + 6Y = 3
X = 1 Y = 0
Mas nossa equação é:
3X + 6Y = 9 Fazemos:
109
Y = 0
De fato 3 · (3) + 6 · 0 = 9. 10. 128X + 64Y = 32
Solução:
mdc(128, 64) = 64 que não divide 32. Logo a equação não tem
solução.
11. 3X + 2Y = 493 Solução:
mdc(3, 2) = 1
Quais foram as etapas ?
3 = 2 + 1 Vamos “reconstruir” o mdc, no caso 2.
1 = 3 − 2
Observe que conseguimos uma solução inteira para a equação: 3X + 2Y = 1
X = 1 Y = −1
Mas nossa equação é:
Fazemos:
X = 493 Y = −493
De fato 3 · (493) − 2 · (493) = 493.
Encontre todasas soluções inteiras da equação: 5X + 3Y = 1
Solução:
Já temos uma solução (encontrada em itens anteriores):
X = −1 Y = 2
Podemos somar e subtrair o mesmo número ao lado esquerdo e a equação será equivalente. Escolherei para somar e subtrair (quem adivinha ?) o mmc(5, 3) = 15.
5X + 15 + 3Y − 15 = 1 5(X + 3) + 3(Y − 5) = 1
Isso mostra que posso somar/subtrair 3 do valor de X desde que eu subtraia/some 5 ao valor de Y . Por exemplo:
X = −1 + 3 = 2 Y = 2 − 5 = −3
111 também é solução da equação original. Verificando:
5(2) + 3(−3) = 10 − 9 = 1 Portanto a solução geral da equação
5X + 3Y = 1 é
X = −1 + 3t
Y = 2 − 5t , t ∈ Z.
Observação. Podemos nos perguntar se realmente encontramos to- das as soluções da equação. Isso equivale a perguntar se as soluções
são todas da forma encontrada. Vamos demonstrar este fato.
Se X = x e Y = y é uma solução arbitrária então 5x + 3y = 1.
Como X = −1 e Y = 2 é uma solução particular então 5 · (−1) + 3 · 2 = 0.
Como X = −1 e Y = 2 é uma solução particular então